3.2.1单调性与最大（小）值(第一课时) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性的定义、证明及应用，通过观察函数图象升降趋势（形）到符号语言刻画（数）的问题链，搭建从直观感知到抽象概括的学习支架，衔接前后认知脉络。 其亮点在于以《毛选》诗句导入激发兴趣，结合问题辨析深化定义理解，证明步骤规范且例题融入物理情境，培养数学眼光中的抽象能力和数学思维中的推理意识。助力学生形成逻辑思维，方便教师系统教学。

3.2.1 函数的单调性 第一课时 一 二 三 学习目标 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 能够利用定义证明函数的单调性 掌握函数单调性的简单应用 学习目标 问题1 观察下面各个函数的图象，从升降趋势上看，说说图象有什么变化规律？反映了函数的什么性质？ 图象从左到右上升 图象从左到右有升有降 单调性 3 问题2 前面是从形的角度来刻画函数的单调性，如何从数量的角度来刻画这一性质呢？ 1、在区间________ 上，f(x)随着x的增大而______ . 2、在区间 ________ 上，f(x)随着x的增大而______． f(x)=x2 0 3 2 1 -1 -2 -3 1 2 3 -1 x y 如何用符号语言来描述这一变化趋势呢？ 1.单调性的定义   单调递增 单调递减 定义 图示 ∀x1，x2∈I, 当x1<x2时, 都有 f(x1)>f(x2), 则称函数f(x)在区间I上单调递减, 区间I为f(x)的单调递减区间. 单调性是局部性质 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D， ∀x1，x2∈I, 当x1<x2时, 都有 f(x1)<f(x2), 则称函数f(x)在区间I上单调递增, 区间I为f(x)的单调递增区间. 5 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. ②若f(x)在区间I上单调递增(减)，则称f(x)在区间I具有严格的单调性. 常数函数不具有严格的单调性. 问题3 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1, x2∈A，当x1< x2时，都有f(x1)<f( x2) ，我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？ 6 例1 根据定义，研究函数f (x)=kx +b(k≠0)的单调性. 用定义证明函数的单调性的步骤: (1)取值：∀x1，x2∈D，且x1＜ x2; (2)作差：f(x1)-f(x2); (3)变形：向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积或商的形式 ; (4)定号：确定 f(x1)-f(x2)的符号； (5)结论：确定函数的增减性. 一、判断函数的单调性——定义法 例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之. 例3 根据定义证明函数 在区间上单调递增. 一、判断函数的单调性——定义法 x O y x O y x O y 1 一、判断函数的单调性——图象法 总结：常见函数单调性 1.一次函数 2.二次函数 3.反比例函数 例3 若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是　 　　　. 二、已知单调性求参数的范围 大本P53 延伸探究 2 在本例中，若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a的值为　　　. 二、已知单调性求参数的范围 [补充3] 若函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞，6)上单调递增，则实数a的取值范围是　 　　　. [补充4] 若函数f(x)=x2-kx-8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是　 　　　. 三、利用单调性解不等式 例4 若函数f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 大本P53 延伸探究 5 若f(x)是定义在(-1，1)上的增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　 . 三、利用单调性解不等式 [补充5] 定义在[2，+∞)上的f(x)，∀x1，x2∈[2，+∞),且x1x2 都有 且 f(2a2-5a+4)>f(a2+a+4)，则a的取值范围是　　　　 . 延伸探究 6 若函数f(x)是定义在R上的增函数，则f与 f的大小关系是　　　　　　　 . 大本P53 四、分段函数单调性 四、分段函数单调性 延伸探究 3 若函数f(x)=为R上的增函数，则实数a的取值范围为　　　 　. 大本P53 延伸探究 4 已知函数f(x)= 为R上的增函数， 则实数t的取值范围为　　　　　　 . 四、分段函数单调性 大本P53 增+增=增 减+减=减 五、单调性的性质 注：“增－增”、“减－减”无法确定单调性 ③乘以正数单调性不变 ④乘以负数单调性变 ⑤取倒数单调性变 ⑥开根号单调性不变 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.函数单调性的定义 2.函数单调性的证明 3.函数的单调性的应用 $