3.2.1 单调性与最大（小）值 第一课时 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 新授课 第1课时 1.会用符号语言表达函数的单调性 2.能证明简单函数的单调性 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 思考：1.观察这些函数图象，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 2.它们分别反映了相应函数有什么变化规律？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：如何描述二次函数f(x)=x2的单调性. 知识点1：符号语言表达函数的单调性 在初中我们利用函数图象探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性. 图象在区间(-∞,0]逐渐下降，y随x的增大而减小. 任意取x1,x2 ∈(-∞,0] ，得到 ， 有 . 函数 f(x)=x2 在区间(-∞,0]上是单调递减的. 同理，函数 f(x)=x2在[0,+∞)上是单调递增的. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I: 如果∀x1,x2 ∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2) ，那么就称函数f(x)在区间A上单调递增. 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 如何从数学运算的角度说明f(x1)和f(x2)的大小关系？ 作差法： 新课讲授 学习目标 课堂总结 如果∀x1,x2 ∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2) ，那么就称函数f(x)在区间A上单调递减. 若函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：书写函数的单调区间端点有何要求？ 函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+∞)，也可以写成[0，+∞). 反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：函数y=f(x)在定义域的某区间上存在x1，x2满足x1＜x2,且f(x1)＜f(x2)，那么函数y=f(x)在该区间上一定是单调递增吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 理解函数的单调性应注意的问题: (1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集． (2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性． (3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接． 如函数 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b (k≠0)的单调性. 解：函数f(x)=kx+b (k≠0)的定义域是R，∀x1,x2 ∈R且x1＜x2．则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)= k(x1-x2). 由x1＜x2得x1-x2＜0. ①当k＞0时， k(x1-x2)＜0，于是f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). ②当k＜0时， k(x1-x2)＞0，于是f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) 这时，f(x)=kx+b是增函数. 这时，f(x)=kx+b是减函数. 知识点2：证明简单函数的单调性 新课讲授 学习目标 课堂总结 用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:在区间D上任取两个自变量的值任取x1,x2 ∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)-f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差f(x1)-f(x2)的正负； 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性. 总结归纳 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增. 解：∀x1,x2 ∈(1,+∞),且x1＜x2，有 由x1,x2 ∈(1,+∞),得x1＞1，x2＞1.所以x1x2＞1，x1x2-1＞0. 又由x1＜x2，得x1-x2＜0.所以 .即 y1＜y2. 所以，函数 在区间(1,+∞)上单调递增. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 一般地，设函数y= f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （2）∃x0∈I，使得 f(x)=M. 我们称M是函数y= f(x)的最大值. （1）∀x∈I，有 f(x)≤M； 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：仿照函数的最大值的定义，怎么给出函数y= f(x)的最小值的定义？ 一般地，设函数y= f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）∀x∈I，有 f(x)≥M； （2）∃x0∈I，使得 f(x)=M. 我们称M是函数y= f(x)的最小值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度(单位:ｍ)与时间 (单位:ｓ)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1ｍ)？ 知识点2：图象法求函数的最值 解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象. 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 25 20 15 10 5 1 2 3 4 5 t O h 30 新课讲授 学习目标 课堂总结 当 时，函数有最大值 所以，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度是29m. 由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有： 25 20 15 10 5 1 2 3 4 5 t O h 30 新课讲授 学习目标 课堂总结 图象法求函数最值的一般步骤: 1.作：作出函数图象； 2.找：在图象上找到最高点和最低点的纵坐标； 3.定：确定函数的最大（小）值. 总结归纳 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点. 注：函数的最大值和最小值可以有多个. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 已知函数 (x∈[2,6])，求函数的最大值与最小值. 分析：由函数 的图象可知道，函数 在区间[2，6]上单调递减.所以 在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值. 2.5 2 1.5 1 0.5 1 2 3 4 5 x O y 6 解：∀x1,x2 ∈[2,6],且x1＜x2，则 知识点3：单调性求函数的最值 新课讲授 学习目标 课堂总结 由2≤x1＜x2≤6，得 x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0, 于是 即 所以，函数 在区间[2,6]上单调递减. 所以，函数 在区间[2,6]的两个端点上分别取最值．在x=2取得最大值，最大值是2；在x=6取得最小值，最小值是0.4． 2.5 2 1.5 1 0.5 1 2 3 4 5 x O y 6 新课讲授 学习目标 课堂总结 二、函数最值与单调性的关系: 1.若函数y= f(x)在区间[a,b]上单调递增，那么函数的最小值 ymin= f(a)，最大值ymax= f(b)； 2.若函数y= f(x)在区间[a,b]上单调递减，那么函数的最小值 ymin= f(b)，最大值ymax= f(a)； 总结归纳 一、利用单调性求函数最值的一般步骤: 1.判断函数的单调性； 2.利用单调性求出最大（小）值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 C 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 2.已知函数 ，x ∈(0,+∞)，用函数单调性的定义证明f(x)是增函数. 证明：在区间(0,+∞)任取x1,x2 ,设x1＜x2， ∵0＜x1＜x2 ,∴x1－x2＜1，x1x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1) ＜ f(x2) . 所以，函数 f(x)在区间(0,+∞)是增函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： (1)什么叫函数的单调性？能举出一些具体例子吗？ (2)在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $