精品解析：安徽省滁州市天长市2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025年秋季期中测试卷 九年级数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义以及三种形式回答即可． 【详解】解：A．，是反比例函数，故该选项不符合题意； B．，反比例函数，故该选项不符合题意； C．，；是反比例函数，故该选项不符合题意是 D．，正比例函数，不是反比例函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 下列各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的知识．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意； B、由于，所以成比例，符合题意； C、由于，所以不成比例，不符合题意； D、由于，所以不成比例，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 7 B. 14 C. 28 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入相关数据计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， 故选A 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线是 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规则是解本题的关键． 6. 抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．根据抛物线解析式得其对称轴为直线，设另一个交点是，则，进而可得答案． 【详解】解：∵对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴两个交点关于直线对称， 设另一个交点是， 则， 解得：， ∴另一个交点为． 故选：C． 7. 若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选：D． 8. 已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A. 该二次函数的图象与轴有交点 B. 该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C. 若点在该二次函数的图象上，则 D. 若点，都在的图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，由判断A，由对称轴公式判断B，根据抛物线上点的坐标特征判断C、D． 【详解】解：A、令，则， ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴且， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵点在的图象上， ∴， 若，则， ∵， ∴，故C不正确，符合题意； D、∵点、都在的图象上，， ∴，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 9. 已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，然后确定一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：当时，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，与y轴正半轴交于一点， 即，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限．C选项符合题意 当时，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，与y轴负半轴交于一点， 即，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 故选：C． 10. 如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，二次函数关系式，中位线定理，勾股定理的应用，由为边的中点，，则，从而得知点在以为圆心，长度为半径的圆上，由垂径定理得出，，则，，再由中位线性质得，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为边的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上， 如图， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， 在和中， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴选项图象符合题意， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 写一个图像位于第一、三象限的反比例函数的表达式：______． 【答案】答案不唯一，如， 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，难度不大，但具有开放性．根据反比例函数的性质可知，反比例函数过一、三象限则比例系数为正数，据此可写出函数解析式． 【详解】解：由于反比例函数图象经过一、三象限，所以比例系数为正数， 所以解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在中，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，反比例函数的图象上有一点，经过点作轴的垂线，交轴于点，连接．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数系数的几何意义是解题关键．设点的坐标为，则，，根据点在反比例函数的图象上，得到，再结合求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， ，， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是此函数的“幸运数”，则的值为___________． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”，且，则的取值范围为___________． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义得到抛物线经过点，将点代入求解即可； （2）由题意得抛物线经过点，并在直线上，令，根据求得解得，而，则当时，，即可求解． 【详解】解：（1）若7是此函数的“幸运数”，则抛物线经过点， 将点代入， 得， 解得， 故答案为：； （2）由题意得抛物线经过点， 而点在直线上， 令， 整理，得 函数有两个相异的“幸运数”， ， 解得． 设． ， 当时，， 解得， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 抛物线的顶点坐标为，且与轴的交点坐标为，求此抛物线的函数表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．设顶点式，然后把代入求出a即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 此抛物线的函数表达式为． 16. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点，当时，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，把代入解析式求出解析式，根据增减性，求出的取值范围即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， 当时，， ∴当时，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求出该二次函数图象的开口方向、对称轴及其与轴的交点坐标． （2）直接写出当为何值时，随的增大而增大？ 【答案】（1）开口向下，对称轴为直线，与轴的交点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据的符号，判断开口方向，对称轴的计算公式，求出对称轴，令求出与轴的交点坐标即可； （2）根据二次函数的增减性，作答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴图象与轴的交点坐标为：； 【小问2详解】 ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 18. 如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高y是小孔到蜡烛的距离x的反比例函数，且当时，． （1）求y关于x的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数表达式即可； （2）把代入函数表达式求解即可． 【小问1详解】 解：设． 把，代入，得， 关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，把代入，得， 小孔到蜡烛的距离为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 安徽某校球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）已知球门高为2.7米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球能射进球门 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是求得二次函数表达式； （1）由题意可设该抛物线的函数表达式为，然后根据待定系数法可求解函数关系式； （2）由（1）可令，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知抛物线的顶点坐标为． 设该抛物线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 球能射进球门． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点，与轴交于点，连接，的面积为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，当时，比较两个函数值的大小． 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数的表达式； （2）当时，反比例函数值大于一次函数值；当时，反比例函数值小于一次函数值． 【解析】 【分析】（）先由一次函数与轴交于点，求出，再根据的面积为，得出点，最后由待定系数法求解析式即可； （）根据函数图象分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数与轴交于点， ∴， ∴， ∵的面积为，第一象限的点， ∴， ∴，解得：， ∴点， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点， ∴，， ∴，， ∴一次函数表达式为，反比例函数的表达式； 【小问2详解】 解：根据图象可知：当时，反比例函数值大于一次函数值； 当时，反比例函数值小于一次函数值． 六、（本题满分12分) 21. 某超市销售一种成本为每千克元的商品，已知这种商品的月销售是（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为． （1）当这种商品的销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？ （2）如果这种商品的销售单价不超过元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本商品每千克的成本月销售量） 【答案】（1）销售单价定为元时，每月可获得最大利润 （2）月投资总成本最少是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用．读懂题意，找到等量关系，正确列出函数关系是解题关键． （1）根据利润=（售价进价）销售量求解即可，结合题意即可直接得出自变量取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可； 小问1详解】 解：设利润为，则由题意得 ， ， 答：这种商品的销售单价定为元时，每月可获得最大利润； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，， ， 抛物线开口向下， 时，， ， 当时，， 设成本为元，由题意，得：， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是元； 七、（本题满分12分) 22. 如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）一次函数解析式为y＝x+2；反比例解析式为y＝；（2）存在，D（6，2）． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一得出，从而可得出点P的坐标，再利用待定系数法可分别反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）先根据一次函数的解析式求出点C的坐标，再根据菱形的性质求出点D的纵坐标，然后利用反比例函数的解析式可得点D的横坐标，由此即可得出答案． 【详解】（1）， ， ∵， （等腰三角形的三线合一）， ， 轴于点B， ∴， 将代入反比例的解析式得，解得， 故反比例的解析式为， 将代入得：， 解得， 故一次函数的解析式为； （2）对于一次函数， 当时，， 则点C的坐标为， 如图，四边形BCPD为菱形， ， 轴， 轴， 点D的纵坐标与点C的纵坐标相等，即为2， 又点D在反比例函数的图象上， 将代入反比例函数的解析式得：，解得， 则点D的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、菱形的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，较难的是题（2），利用菱形的性质得出点D的纵坐标是解题关键． 八、（本题满分14分) 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在抛物线上，且位于第三象限． ①如图1，作轴于点，交于点．若为的中点，求点的横坐标． ②如图2，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2）①点的横坐标为；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，，代入直线解析式得出，求解即可；②作轴，与的延长线交于点，则，由相似三角形的性质可得，推出，由题意可得，则，设，则点的纵坐标为，代入直线得出，从而得出，表示，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①在中，令，则，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵为的中点， ∴， 将代入直线得， 整理得：； 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点的横坐标为； ②如图，作轴，与的延长线交于点， ， 则， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期中测试卷 九年级数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 7 B. 14 C. 28 D. 无法确定 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 若点，，均在反比例函数（为常数）图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A. 该二次函数的图象与轴有交点 B. 该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C. 若点在该二次函数的图象上，则 D. 若点，都在的图象上，则 9. 已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（ ） A. B. C D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 写一个图像位于第一、三象限的反比例函数的表达式：______． 12. 如图，在中，，则的值为________． 13. 如图，反比例函数的图象上有一点，经过点作轴的垂线，交轴于点，连接．若，则_______． 14. 定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是此函数的“幸运数”，则的值为___________． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”，且，则的取值范围为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 抛物线的顶点坐标为，且与轴的交点坐标为，求此抛物线的函数表达式． 16. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数图象经过点，当时，求的取值范围． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求出该二次函数图象的开口方向、对称轴及其与轴的交点坐标． （2）直接写出当为何值时，随的增大而增大？ 18. 如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高y是小孔到蜡烛的距离x的反比例函数，且当时，． （1）求y关于x函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 安徽某校球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）已知球门高为2.7米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点，与轴交于点，连接，的面积为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，当时，比较两个函数值的大小． 六、（本题满分12分) 21. 某超市销售一种成本为每千克元的商品，已知这种商品的月销售是（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为． （1）当这种商品的销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？ （2）如果这种商品的销售单价不超过元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本商品每千克的成本月销售量） 七、（本题满分12分) 22. 如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 八、（本题满分14分) 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在抛物线上，且位于第三象限． ①如图1，作轴于点，交于点．若为中点，求点的横坐标． ②如图2，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $