精品解析：广东省汕头市潮阳一中明光学校2025-2026学年高三上学期10月阶段考试数学试卷

潮阳一中明光学校2025-2026学年度第二阶段考试 高三级数学科试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 命题人：林桢 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符号要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意， 可得，则得，故A正确. 故选：A. 2. 已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法求出，进而求出对应点所在象限. 【详解】由，得， 所以复数在复平面对应的点位于第四象限. 故选：D 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再根据指数函数和对数函数的单调性结合中间值比较大小即可. 【详解】， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 故选：A. 4. 已知向量与的夹角为 ，且则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的模结合向量的数量积的运算律求解即得. 【详解】与的夹角 则， 解得. 故选：C. 5. 若直线过圆的圆心，则的最小值为 A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可． 【详解】圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0的圆心（﹣2，2）在直线ax﹣by+2＝0上， 所以﹣2a﹣2b+2＝0，即1＝a+b， （）（a+b）＝55+2（a＞0，b＞0当且仅当ab时取等号） 故选C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式，是中档题． 6. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由得， 又因为， 故选：B. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到其渐近线方程，结合示意图分析条件求出点坐标，利用向量的坐标运算得到点坐标，代入渐近线方程，化简计算即可求得离心率. 【详解】 由双曲线可知渐近线方程为， 因为，所以， 在中，，，可得. 即， 则 又因为点在渐近线上，所以，解得，可得. 故选：B. 8. 已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件变形为，然后由的单调性可得，然后可得，然后利用导数求出的最小值即可. 【详解】由得 即， 构造，即 因为在上单调递增，所以，所以 所以，令，则 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，所以，即 又，即 所以的取值范围是 故选：B 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第百分位数是 B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 已知随机变量，若，，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数的概念及计算方式可判断A选项；根据相关系数的概念直接可判断B选项；根据二项分布的期望及方差公式可判断C选项；根据正态分布的对称性可判断D选项. 【详解】A选项：个数据从小到大排列，由于， 所以第百分位数应该是第个与第个的平均数，故A选项错误； B选项：因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故B选项正确； C选项：因为，，， 所以，解得，故C选项正确； 对于选项D，由，，得， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 以线段为直径的圆与相切 C. 存在直线，使得 D. 若直线交于点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A选项：先设直线方程与抛物线联立，得出和的值，再结合求出，进而得到直线斜率和倾斜角.对于B选项：利用抛物线定义，找到AB中点到准线距离与的关系，判断圆与准线是否相切.对于C选项：通过向量垂直性质，计算，看是否能满足.对于D选项：先求出直线AO与准线交点的纵坐标，再结合，判断与纵坐标是否相同，确定BD与准线的位置关系. 【详解】对于A选项，抛物线的焦点，准线.设直线AB的方程为，，. 联立，消去得，则，. 由抛物线的定义知，. 因为，所以，即. 又，联立可解得，则直线AB的斜率，倾斜角为或，所以A选项错误. 对于B选项，设AB的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为. 根据抛物线的定义，，，则. 所以以线段AB为直径的圆与相切，B选项正确. 对于C选项，，，若，则. 由，，可得，则，所以不存在直线AB使得，C选项错误. 对于D选项，直线AO的方程为，令，得. 因为，所以. 又，则，所以点的纵坐标与点的纵坐标相同，即，D选项正确. 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求出可判断A；利用，可判断B；利用， 可判断C；设，又， 得，可判断D． 【详解】对于A，令，则，可得， 解得，故A正确； 对于B，由，可得， 所以函数的图象关于点中心对称，故B错误； 对于C，由可得， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，设①， 又②，由①②可得， 所以，即， 所以，所以， ，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，求得，得到展开式的通项，结合通项，即可求解. 【详解】因为二项式展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 则二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的常数项为. 13. 高二年级甲，乙两班进行拔河比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲班获胜的概率为，乙班获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，那么在甲班获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘积公式及条件概率公式计算求解即可. 【详解】甲班获胜的总概率为P(甲胜) 比赛进行3局且甲班获胜的概率为P(3局且甲胜) 条件概率为P(3局|甲胜) 故答案为：. 14. 记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】先求出等差数列的通项公式，得到，取对数后，由的单调性判断出最大. 【详解】设等差数列的公差为d， 由题意可得：. 所以，两边同时取对数得： 令，则. 令得：；令得：， 所以在上单增，在上单减， 所以的最大值在或处取得. 而，所以.所以当最大时，的值为3. 故答案为：3． 四．解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若，且的内切圆半径，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换求出，即可求; (2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出，即可求面积. 【小问1详解】 由正弦定理得： ， 即， 即， 即. 因为，所以，所以. 因为， 所以. 【小问2详解】 面积， 代入，和，整理得：①， 由余弦定理：，得： ， 即②， ①②联立可得：，解得：或（舍去）， 所以. 16. 已知椭圆的左，右焦点分别是，且，过作直线与交于、两点，的周长为． （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据焦距以及椭圆的定义，列式子即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式以及面积公式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为． 【小问2详解】 设， 联立，可得，， 设，，所以，， 所以， 由， 解得， 所以的方程为或． 17. 体育课上，甲、乙两名同学向丙发起乒乓球挑战.挑战规则如下： ①第一局甲挑战丙. ②若一人挑战成功，则下一局继续由该同学挑战，否则换另一名同学挑战. 已知每一局甲挑战成功的概率为，乙挑战成功的概率为，每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立. （1）求前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率. （2）求第局比赛是甲挑战丙的概率，并判断当比赛局数足够大时的值是否趋近于一个常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）设每一局，设甲、乙挑战成功分别为事件和事件，前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次为事件，根据题意可得，利用独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）根据题意求出及，之间的递推关系，利用待定系数法和等比数列的性质求出，再根据极限思想求解即可. 【小问1详解】 设每一局，设甲、乙挑战成功分别为事件和事件，前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次为事件， 则，，，，， 因为每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立， 所以 ， 所以前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率为. 【小问2详解】 由题意可知且，即， 令，则，所以，解得， 所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，， 当足够大时，故， 所以当比赛局数足够大时的值趋近于一个常数，该常数是. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 已知，． （1）讨论的单调性； （2）已知恰有三个零点，求实数a的取值范围； （3）已知，是不为1的两个零点，求证：． 【答案】（1）当a≤0时，f(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2） （3） 证明：由（2）知，，是不为1的零点，也是不为1的零点， 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证，又， ∴只需证，即证， 令，即， 则， ∴函数在R上单调递增．由，可得，即， ，又函数在上单调递减， ，即得证． 【解析】 【分析】（1）利用导数工具分和两种情况研究函数的导数正负情况即可得函数单调性； （2）将问题转化成研究函数有两个不为1的两点，再利用导数工具研究即可； （3），是不为1的两个零点等价为不为1的零点，利用分析法将问题转化为证，令，再利用导数研究函数单调性即可求证. 【小问1详解】 由题知定义域为R，， 当时，，∴在区间上单调递增； 当时，当时，；当时，，当且仅当时， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知，显然是的一个零点， 设，， 当时，，∴在区间上单调递增， ∴最多有一个零点，即最多有两个零点； 当时，当时，；当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，， 所以要使恰有3个零点，则需恰有2个不为1的零点， 则，解得， ，， 设，， 设，，∴在区间上单调递增， ∴，∴在区间上单调递增，， ∴存在，使，即， ∴实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳一中明光学校2025-2026学年度第二阶段考试 高三级数学科试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 命题人：林桢 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符号要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与的夹角为 ，且则 （ ） A. B. C. D. 5. 若直线过圆的圆心，则的最小值为 A. 10 B. C. D. 6. 已知，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第百分位数是 B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 已知随机变量，若，，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 以线段为直径的圆与相切 C. 存在直线，使得 D. 若直线交于点，则 11. 已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为___________.（用数字作答） 13. 高二年级甲，乙两班进行拔河比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲班获胜的概率为，乙班获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，那么在甲班获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为________. 14. 记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为__________. 四．解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若，且的内切圆半径，求的面积． 16. 已知椭圆的左，右焦点分别是，且，过作直线与交于、两点，的周长为． （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程． 17. 体育课上，甲、乙两名同学向丙发起乒乓球挑战.挑战规则如下： ①第一局甲挑战丙. ②若一人挑战成功，则下一局继续由该同学挑战，否则换另一名同学挑战. 已知每一局甲挑战成功的概率为，乙挑战成功的概率为，每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立. （1）求前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率. （2）求第局比赛是甲挑战丙的概率，并判断当比赛局数足够大时的值是否趋近于一个常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知，． （1）讨论的单调性； （2）已知恰有三个零点，求实数a的取值范围； （3）已知，是不为1的两个零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $