【单元举一反三测控九04】图形的相似（专项训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似（举一反三+测评把控） 1.理解相似图形的基本概念： ①认识相似图形（如相似三角形）的定义，理解相似比的含义； ②区分相似与全等图形的异同。 2.掌握相似三角形的性质和判定： ①运用相似三角形的判定方法（如AA相似、SAS相似、SSS相似）； ②掌握相似三角形的性质，例如对应角相等、对应边成比例。 3.应用相似原理解决实际问题： ①在几何测量（如计算高度、距离）和生活场景（如地图比例、模型缩放）中应用相似知识； ②解决涉及相似图形的证明题和计算题。 4.发展数学思维和技能： ①培养逻辑推理和空间想象能力； ②学会用相似知识简化复杂几何问题。 一、相似图形的定义与基本概念 1.相似图形的定义：两个图形形状相同但 不一定相等，其中一个图形可以通过另一个图形的放大或缩小得到。相似用符号“ ”表示。 2.相似比（比例系数）：相似图形 的比值，记作 （k > 0）。如果两个图形相似，则它们的相似比是 。 3.相似多边形： 相等；对应边 。例如：如果两个三角形相似，则所有内角分别 ，且三边 。 二、比例线段与基本性质 1. 比例线段的定义：在两条直线上，如果四条线段a,b,c,d满足 ，则称这四线段为 。 2. 比例的性质： · 交叉相乘积相等：若 ，则 。 · 反比性质：若 ，则 。 · 合比性质：若 ，则 。 3. 黄金分割：点C将线段AB分成两部分，较长部分与整体的比等于 ，则点C为线段AB的黄金分割点，黄金分割比为 ，一条线段有 个黄金分割点。 三、相似三角形的判定方法 相似三角形的判定基于以下条件（满足其一即可）： 1. 两角 的两个三角形相似（最常用）。 2. 三边 的两个三角形相似。 3. 两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 四、相似三角形的性质 1. 对应边成比例：相似三角形对应边的比等于 。 2. 对应角相等：所有对应 均相等。 3. 相关比例关系： · 高、中线、角平分线的比都等于 。 · 周长比等于 。 · 面积比等于相 。 4. 中位线定理：连接两对应中位线的三角形相似于原三角形。 五、应用实例与问题类型 1.测量问题：利用相似三角形测量实际物体的高度或距离（如影子法、三角测量）。 2.缩放和映射：地图比例尺应用、模型缩放（比例转换）。 3.证明题思路：结合相似判定，证明线段比例或角度相等。 4.常见错误提示： o混淆相似与全等（全等是相似比 k=1 的特例）。 o忽略比例顺序：对应边必须严格对应。 六、备考策略 o掌握判定的几何语言书写（如符号化表达）。 o多练习比例计算和证明题。结合生活实例（如摄影中的缩放），加深理解。 题型一 比例的性质 【例1】把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】若，则的值是 ． 【变式1-3】填空： （1）如果，那么 ． （2）如果，那么 ．题型二 比例线段 【例2】在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】一个机器零件的长度是8毫米，画在比例尺是的图纸上的长度是（    ） A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米 【变式2-2】已知线段，则的值为（   ） A． B． C．25 D． 【变式2-3】若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 题型三 成比例线段 【例3】下列各组线段是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列各组中的数据分别是四条线段的长，其中能使它们成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知线段，若 ，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知为线段上的一点，且，则线段与的比为 ． 题型四 黄金分割 【例4】如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 【变式4-2】黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（   ）的矩形叫做黄金矩形． A． B． C． D． 【变式4-3】如图，若表示以为边的正方形面积，表示以为长、为宽的矩形面积，且，则图中可看作线段黄金分割点的是 ． 题型五 利用平行判断成比例的线段 【例5】如图，直线，直线，与这组平行线依次交于点，，，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，点分别在上，，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图所示，若，则．依据是 ． 题型六 利用平行截线求线段的长或比值 【例6】五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式6-1】如图，直线，直线、与、、分别交于点、、，、、，若，，，则的长为（    ）． A．7 B． C．8 D． 【变式6-2】如图，在中，，，，，则 ． 【变式6-3】如图，已知在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则 ． 题型七 相似多边形的性质 【例7】如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】两个多边形相似，且相似比为，小多边形的最大边长为8，则大多边形的最大边长为（   ） A．16 B．32 C．4 D．2 【变式7-2】已知五边形五边形，相似比为．若五边形的周长为12，则五边形的周长为（    ） A． B． C．12 D．27 【变式7-3】如图，把一张大矩形纸片沿图中的虚线裁成三张大小相同的小矩形纸片．若得到的小矩形纸片的长与宽的比与原来大矩形纸片长与宽的比相同，则大矩形纸片的长与宽的比值为 ． 题型八 利用两角相等判断三角形相似 【例8】已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】在中，，，平分 ，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是 ． 【变式8-3】如图，在中，，是边上的高，平分，且分别与相交于点E，F．求证：． 题型九 利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似 【例9】如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【变式9-1】已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 【变式9-2】如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 【变式9-3】在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 题型十 相似三角形的判定综合 【例10】如图，在中，，，，则图中与相似的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】下列说法正确的是（　　） A．在和中，，则和不相似 B．在和中，，则 C．两个全等三角形不一定相似 D．所有的菱形都相似 【变式10-2】如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【变式10-3】已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 题型十一 选择或补充条件使两个三角形相似 【例11】已知，如图，是的边上一点，要使则还需具备一个条件是 （只需填一个）．    【变式11-1】在中，D、E分别在的边、上，不能判定的是（　   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，，从下列条件“①；②；③；④．”中选择一个作为添加条件，使．这个条件可能是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式11-3】如图，已知，补充一个条件： ，可使． 题型十二 相似三角形的重要性质 【例12】已知，且相似比为，则与的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【变式12-3】如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（    ） A． B． C． D． 题型十三 相似三角形的判定与性质综合 【例13】如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 【变式13-1】如图，，和分别是和的高，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示） (1)已知，测得的面积为，则的面积为 ． (2)在上述条件下，若和的周长之和为35cm，则的周长是 cm. 【变式13-3】如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 题型十四 图形的位似 【例14】某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【变式14-2】如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 题型十五 相似三角形的实际应用 【例15】如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 【变式15-2】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 【变式15-3】8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 题型十六 相似三角形的综合 【例16】如图，已知，任取一点，连接，分别取点，使，，，连接，得到，给出下列说法：①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为；④与的面积比为．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式16-1】如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（    ） A．98 B．100 C．72 D．70 【变式16-2】如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 【变式16-3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD． （1）直线BD和CE的位置关系是　 　； （2）猜测BD和CE的数量关系并证明； （3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长． 题型十七 相似三角形中的动点问题 【例17】如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【变式17-1】如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 【变式17-2】如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中B点的坐标是，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)求证：． (2)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．下列说法不正确的是（    ） A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的 B．所有的矩形是相似的 C．所有边数相等的正多边形是相似的 D．所有的等边三角形都是相似的 2．如图，直线，直线、分别与直线、、相交于点、、和点、、，若，，，则（   ） A． B． C．4 D． 3．如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么（    ） A．2 B． C． D． 4．如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 5．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A． B．4 C． D．5 6．如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 9．如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；按此方法继续作图．则与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 11．如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使．若小吴测得的长为400米，则 米． 12．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为 4，则的周长是 ． 13．如图，梯形中，对角线与交于点O，如果，那么的值为 ． 14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 15．如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为，并写出点，，的坐标． (2)若点P在内部，且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． 16．如图，在矩形中，． (1)尺规作图：在线段上求作一点E，使得；（保留痕迹，不写作法） (2)连结，若点F为边的中点，连结，求证： ． 17．如图，在中，的高，交于点，连接． (1)试说明的理由； (2)若，求的长． 18．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 19．某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 20．【数学实验】 将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，． 【感知】（1）如图，在绕点A旋转过程中，若连接，，求的值． 【探究】（2）在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的中线上时，求的长． 【拓展】（3）在绕点A旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请直接写出此时的面积；若不能，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的相似（举一反三+测评把控） 1.理解相似图形的基本概念： ①认识相似图形（如相似三角形）的定义，理解相似比的含义； ②区分相似与全等图形的异同。 2.掌握相似三角形的性质和判定： ①运用相似三角形的判定方法（如AA相似、SAS相似、SSS相似）； ②掌握相似三角形的性质，例如对应角相等、对应边成比例。 3.应用相似原理解决实际问题： ①在几何测量（如计算高度、距离）和生活场景（如地图比例、模型缩放）中应用相似知识； ②解决涉及相似图形的证明题和计算题。 4.发展数学思维和技能： ①培养逻辑推理和空间想象能力； ②学会用相似知识简化复杂几何问题。 一、相似图形的定义与基本概念 1.相似图形的定义：两个图形形状相同但大小不一定相等，其中一个图形可以通过另一个图形的放大或缩小得到。相似用符号“∽”表示。 2.相似比（比例系数）：相似图形对应边的比值，记作 （k > 0）。如果两个图形相似，则它们的相似比是定值。 3.相似多边形：对应角相等；对应边成比例。例如：如果两个三角形相似，则所有内角分别相等，且三边成比例。 二、比例线段与基本性质 1. 比例线段的定义：在两条直线上，如果四条线段a,b,c,d满足a:b=c:d，则称这四线段为比例线段。 2. 比例的性质： · 交叉相乘积相等：若 ，则 。 · 反比性质：若 ，则 。 · 合比性质：若 ，则 。 3. 黄金分割：点C将线段AB分成两部分，较长部分与整体的比等于较短部分与较长部分，则点C为线段AB的黄金分割点，黄金分割比为≈0.618，一条线段有两个黄金分割点。 三、相似三角形的判定方法 相似三角形的判定基于以下条件（满足其一即可）： 1. 两角分别相等的两个三角形相似（最常用）。 2. 三边成比例的两个三角形相似。 3. 两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 四、相似三角形的性质 1. 对应边成比例：相似三角形对应边的比等于相似比。 2. 对应角相等：所有对应内角、外角均相等。 3. 相关比例关系： · 高、中线、角平分线的比都等于相似比。 · 周长比等于相似比。 · 面积比等于相似比的平方（）。 4. 中位线定理：连接两对应中位线的三角形相似于原三角形。 五、应用实例与问题类型 1.测量问题：利用相似三角形测量实际物体的高度或距离（如影子法、三角测量）。 2.缩放和映射：地图比例尺应用、模型缩放（比例转换）。 3.证明题思路：结合相似判定，证明线段比例或角度相等。 4.常见错误提示： o混淆相似与全等（全等是相似比 k=1 的特例）。 o忽略比例顺序：对应边必须严格对应。 六、备考策略 o掌握判定的几何语言书写（如符号化表达）。 o多练习比例计算和证明题。结合生活实例（如摄影中的缩放），加深理解。 题型一 比例的性质 【例1】把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】解：， 或或，故A，B，D正确； 由得，故C不正确． 故选：C． 【变式1-1】若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质， 设，则，代入求值即可． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：B 【变式1-2】若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，代入根据比例的性质化简即可． 【详解】解：设， 故答案为：． 【变式1-3】填空： （1）如果，那么 ． （2）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的概念及比例关系的表示方法，熟练掌握将比例关系转换为最简形式进行比较是解题的关键. 已知可以得到，将转换为分数形式，即，即可求解； 已知，根据比例的基本性质，将等式变形，求出的值． 【详解】解：已知 ∴， 故答案为： ． 已知， ∴ 故答案为： ．题型二 比例线段 【例2】在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺为图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 【变式2-1】一个机器零件的长度是8毫米，画在比例尺是的图纸上的长度是（    ） A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米 【答案】C 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离进行求解即可． 【详解】解：由题意得：图上距离：实际距离， ∴图上距离：8毫米， ∴图上距离为80毫米，即为8厘米， 故选：C． 【变式2-2】已知线段，则的值为（   ） A． B． C．25 D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段． 先将单位统一，再计算比值． 【详解】解：1. 统一单位：先将转换为毫米：，故． ，单位已统一为毫米． 2. 计算比值： 故选：D． 【变式2-3】若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求线段的比例关系． 利用将用来表示，从而求出线段的比值． 【详解】解：延长线段到点C，由，可知． 所以． 故选：D．题型三 成比例线段 【例3】下列各组线段是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则是成比例线段，故该选项符合题意； C．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式3-1】下列各组中的数据分别是四条线段的长，其中能使它们成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段. 先对每组线段长度从小到大排序，再判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积， 是否等于中间两个数的乘积．如果等于，则是成比例线段，反之就不是． 【详解】解：A、先排序得：.则有．不是成比例线段，不符合题意． B、由，不是成比例线段，不符合题意． C、先排序得：，则有．不是成比例线段，不符合题意． D、由.则是成比例线段，符合题意． 故选：D． 【变式3-2】已知线段，若 ，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段，由条件得到，然后利用比例的性质求d即可． 【详解】解：∵ ，， ∴，即， 解得：， 故选：B． 【变式3-3】已知为线段上的一点，且，则线段与的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比例关系，涉及到线段的和差及比例的计算 ． 本题可根据线段的和差关系，结合已知的线段比例，求出与的比例关系． 【详解】解：为线段上的一点， 根据线段的和差关系可知， ． ， 可设（，为一个常数 ），那么． ． 综上，线段AB与BP的比为 ． 故答案为： ．题型四 黄金分割 【例4】如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：B． 【变式4-1】如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割、黄金比的定义解答. 【详解】解：∵， ∴线段被点C黄金分割，点C是的黄金分割点，与的比等于黄金比， ∴C不正确，A，B，D正确. 故选：C. 【变式4-2】黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（   ）的矩形叫做黄金矩形． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点定义，利用黄金分割数解答即可． 【详解】解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形， 故选：A． 【变式4-3】如图，若表示以为边的正方形面积，表示以为长、为宽的矩形面积，且，则图中可看作线段黄金分割点的是 ． 【答案】点C和点D 【详解】解：∵ ， ∴ ∴点C是线段的黄金分割点， ∵， ∴， ∴点D是线段的黄金分割点， 综上可知，图中可看作线段黄金分割点的是点C和点D， 故答案为：点C和点D题型五 利用平行判断成比例的线段 【例5】如图，直线，直线，与这组平行线依次交于点，，，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，故B正确； ，故C正确； ，即，故D正确； A选项的，即，不符合平行线分线段成比例定理，故A错误； 故选：A． 【变式5-1】如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 【变式5-2】如图，在中，点分别在上，，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理对选项进行判断． 【详解】解：， ，，，. C选项结论不成立. 故选：C． 【变式5-3】如图所示，若，则．依据是 ． 【答案】平行线分线段成比例定理 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成比例定理是关键． 【详解】∵ ∴． ∴依据是平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理． 题型六 利用平行截线求线段的长或比值 【例6】五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即， 解得：， 故选：C 【变式6-1】如图，直线，直线、与、、分别交于点、、，、、，若，，，则的长为（    ）． A．7 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线等分线线段定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式求出的长，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得∶ ， ∴． 故选B． 【变式6-2】如图，在中，，，，，则 ． 【答案】6 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式6-3】如图，已知在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 利用平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 即. 题型七 相似多边形的性质 【例7】如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】因为两个图形相似： 解得： A选项正确，不符合题意； B选项错误，符合题意； C选项正确，不符合题意； ， D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质；根据性质求出对应边和对应角是解题的关键． 【变式7-1】两个多边形相似，且相似比为，小多边形的最大边长为8，则大多边形的最大边长为（   ） A．16 B．32 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的边长比等于相似比作答即可． 【详解】解：设大多边形的最大边长是x． 依题意有， 解得：． 故大多边形的最大边长是16． 故选：A ． 【变式7-2】已知五边形五边形，相似比为．若五边形的周长为12，则五边形的周长为（    ） A． B． C．12 D．27 【答案】A 【详解】解：五边形五边形，相似比为， 五边形的周长于五边形的周长比为， 五边形的周长为12， 五边形的周长为． 故选：A． 【变式7-3】如图，把一张大矩形纸片沿图中的虚线裁成三张大小相同的小矩形纸片．若得到的小矩形纸片的长与宽的比与原来大矩形纸片长与宽的比相同，则大矩形纸片的长与宽的比值为 ． 【答案】 【分析】设大矩形的长宽分别为，，则小矩形的长和宽分别为，，利用相似多边形的性质列出等式，计算即可． 【详解】解：设大矩形的长、宽分别为，，则小矩形的长和宽分别为，， 由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为：. 题型八 利用两角相等判断三角形相似 【例8】已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 【变式8-1】在中，，，平分 ，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 【变式8-2】如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】和 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【变式8-3】如图，在中，，是边上的高，平分，且分别与相交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据互余可得，再由角平分线得到，即可证明． 【详解】证明：∵是边上的高， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型九 利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似 【例9】如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 【变式9-1】已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意可得，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又， ∴． 【变式9-2】如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：，，，， ，， ， 又， ． 【变式9-3】在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分 和 两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当 时，， 即， 解得， 当 时，， 即， 解得， 故答案为：或． 题型十 相似三角形的判定综合 【例10】如图，在中，，，，则图中与相似的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是掌握相似三角形的判定并能运用求解． 根据相似三角形的判定求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ∵， ， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， ∴与相似共有4个三角形． 故选：D． 【变式10-1】下列说法正确的是（　　） A．在和中，，则和不相似 B．在和中，，则 C．两个全等三角形不一定相似 D．所有的菱形都相似 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似多边形的判定等知识点，掌握相关判定定理成为解题的关键． 根据相似三角形的判定、相似多边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ， ∴和相似，故选项A不符合题意； 和中，， ∴，，， ∴， ∴，故B符合题意； 两个全等三角形一定相似，故C不符合题意； 所有的菱形不一定都相似，故D不符合题意． 故选：B． 【变式10-2】如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 【变式10-3】已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2)见解析； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 则， ∵， 则， 综上所述，共有6对相似三角形； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 即． 题型十一 选择或补充条件使两个三角形相似 【例11】已知，如图，是的边上一点，要使则还需具备一个条件是 （只需填一个）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的证明，已知和，即可证明，即可解题． 【详解】证明：∵和， ∴， 故添加条件即可证明， 故答案为：． 【变式11-1】在中，D、E分别在的边、上，不能判定的是（　   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， A．，但不一定等于，无法判定； B．，，可以判定； C．，，可以判定； D．，则，再由，可以判定； 故选：A． 【变式11-2】如图，，从下列条件“①；②；③；④．”中选择一个作为添加条件，使．这个条件可能是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 先由推出，再根据相似三角形的判定定理，分别分析四个条件是否能使． 【详解】解：因为．所以，即． ①，结合，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得； ②，结合，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得； ③，仅这组边成比例，不能结合判定； ④，即，结合，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得． 综上，能使的条件是①②④， 故选：B 【变式11-3】如图，已知，补充一个条件： ，可使． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，结合题意，求解即可． 【详解】解：补充： ∵， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十二 相似三角形的重要性质 【例12】已知，且相似比为，则与的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3， ∴△ABC与△DEF的对应高之比为2:3， 故选A. 【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质. 【变式12-1】若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，对应中线之比等于相似比得到结果. 【详解】,、、分别与、、对应，且 ∴对应中线之比=. 故选B. 【变式12-2】两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比． 【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为， 两个相似三角形的相似比为， 周长的比为． 故选A． 【变式12-3】如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵DE把△ABC分成的两部分面积相等， ∴S△ADE=S△ABC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 故选：D． 题型十三 相似三角形的判定与性质综合 【例13】如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据点是边的中点可得，然后根据相似三角形的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， 根据题意得当时， ∴， ∴， 解得． 当时， ∴， ∴， 解得． 故选C． 【变式13-1】如图，，和分别是和的高，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边、对应高成比例直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，和分别是和的高， ∴， ∴， 故选：D． 【变式13-2】嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示） (1)已知，测得的面积为，则的面积为 ． (2)在上述条件下，若和的周长之和为35cm，则的周长是 cm. 【答案】(1)9 (2)15 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活应用． 根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：， , ∵的面积为， 的面积为． 故答案为：9． 【变式13-3】如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，，再若添加的条件是，证出，根据相似三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，与相矛盾，只能是，由此即可得添加的条件； （2）根据相似三角形的性质可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若添加的条件是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，与相矛盾，舍去； ∴只能是， ∴添加的条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由（1）可知，只能是， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十四 图形的位似 【例14】某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示：可得两图形的位似比为2， ∵小鱼上的点， ∴对应大鱼上的点为：． 故选：D． 【变式14-1】如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】A 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【变式14-2】如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质和相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据位似图形的性质可得，，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， ， ， 的值为． 故选：C． 【变式14-3】如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的性质，解题关键是利用位似图形的对应边成比例，以及周长比等于相似比来求解．先通过找出四边形与四边形的相似比即，即可得出周长比． 【详解】解析：四边形与四边形关于点位似， ， ， 四边形ABCD与四边形的周长比为． 故选：C． 题型十五 相似三角形的实际应用 【例15】如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 【变式15-1】如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 【答案】C 【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 【变式15-2】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴①②得， ∴，即， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式15-3】8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】(1)飞虹塔的高度是 (2)飞虹塔的大致高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解；‘’ （2）设，依据题意得：，证明，根据相似三角形的性质列出比例式得出，进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：飞虹塔的高度是； （2）解：设，依据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ，经检验，符合题意， 答：飞虹塔的大致高度为． 题型十六 相似三角形的综合 【例16】如图，已知，任取一点，连接，分别取点，使，，，连接，得到，给出下列说法：①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为；④与的面积比为．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据位似图形与相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意，得与是位似图形， ∴与是相似图形，故①②正确； ∵，，， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 与的面积比为，故③正确，④错误， 故选C． 【变式16-1】如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（    ） A．98 B．100 C．72 D．70 【答案】A 【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD，利用相似三角形的性质得出OD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD， ∵∆CBD，∆AOB都是等腰直角三角形， ∴，，∠ABO=∠CBD=45°， ∴，∠ABC=∠OBD， ∴∆ABC~∆OBD， ∴， ∴， ∵AB=8，∠AOB=90°，OA=OB， ∴OA=OB=， ∵AD≤OA+OD， ∴AD≤， AD2≤98， 故选：A． 【变式16-2】如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 【答案】5 【详解】解：过E点作BD的垂线，与BD交于F点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∴ ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴， ∵E是BC的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式16-3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD． （1）直线BD和CE的位置关系是　 　； （2）猜测BD和CE的数量关系并证明； （3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长． 【答案】（1）BD⊥CE；（2）BD＝CE，证明见解析；（3）或． 【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，依据同角的余角相等得到∠DAB＝∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到结论； （2）根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）分为点E在AB上和点E在BA的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△BPE∽△BAD，最后依据相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】解：（1）BD⊥CE， 理由：延长CE交BD于P， ∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°， ∴∠BPC＝90°， ∴BD⊥CE， 故答案为：BD⊥CE； （2）BD和CE的数量是：BD＝CE； 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE； （3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1． ∵∠EAC＝90°， ∴CE＝＝， 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∵∠AEC＝∠BEP， ∴∠BPE＝∠EAC＝90°， ∵∠PBE＝∠ABD， ∴△BPE∽△BAD， ∴＝， ∴＝， ∴BP＝． ②当点E在BA延长线上时，BE＝3， ∵∠EAC＝90°， ∴CE＝＝， 由△BPE∽△BAD， ∴＝， ∴＝， ∴PB＝， 综上所述，PB的长为或． 题型十七 相似三角形中的动点问题 【例17】如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接AE ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE ∴当DE最短时， 即当 时，DE有最小值 ∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴DE的最小值是2 故答案为：B．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【变式17-1】如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 【答案】2或12或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 分两种情况：与若，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：若， ∴，即， 解得或12； ②若， ∴，即， 解得． ∴或12或． 故答案为：2或12或． 【变式17-2】如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中B点的坐标是，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)求证：． (2)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，P的坐标为或 【详解】（1）∵是矩形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∴. ① 若P在上，， 当时，， ∴ 即：， 解得， ∴，（舍去）， ∴P的坐标为； 若P在的延长线上 ① 若， 则 解得（方程无实根）； ②若， 则， 解得，， ∴， ∴P， ∴P的坐标为或. 1．下列说法不正确的是（    ） A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的 B．所有的矩形是相似的 C．所有边数相等的正多边形是相似的 D．所有的等边三角形都是相似的 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的定义，利用相似图形的定义逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】解：A、两三角形对应角相等，故相似； B、所有的矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故不相似； C、所有边数相等的正多边形是相似的； D、所有的等边三角形都相似． 故选：B． 2．如图，直线，直线、分别与直线、、相交于点、、和点、、，若，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：， , ，，， , 解得：， , 故选：D． 3．如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ， 故选：B． 4．如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【详解】解：，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，对于，，即，，由，可得，则选项式子正确，不符合题意； ，例如，当，，，时，， 但是，，，所以选项式子不一定正确，符合题意． 故选：． 5．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．先求出每个小正方形的边长均为1，再延长，交于点，证出四边形是正方形，求出，利用勾股定理可得，然后证出，，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：∵8个小正方形的面积均为1， ∴每个小正方形的边长均为1， 如图，延长，交于点， 由题意得：，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意可知，，，进而利用证明与全等，得到，再证明，，代入计算即可． 【详解】解：连接， 根据题意可知，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则 ∵点H恰好为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴（舍负）， 故选：A． 8．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 9．如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；按此方法继续作图．则与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过证明，可得，证明，可得，找出规律即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， … ， 即， 故选：C． 10．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使．若小吴测得的长为400米，则 米． 【答案】800 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 米， 故答案为：800． 12．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为 4，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似图形的性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8． 故答案为：8． 13．如图，梯形中，对角线与交于点O，如果，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 【答案】1 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得，只要求出BM、BD即可解决问题． 【详解】 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴ ∴， ∴CD=，BD=BC-CD=6-=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴，即， ∴DM=，MB=BD-DM=-=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴， ∴． 15．如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为，并写出点，，的坐标． (2)若点P在内部，且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． 【答案】(1)作图见解析，；； (2) 【详解】（1）解：如图，即为所求 由图可得：，，； （2）解：变化后的对应点的坐标． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，． (1)尺规作图：在线段上求作一点E，使得；（保留痕迹，不写作法） (2)连结，若点F为边的中点，连结，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据尺规作图——作一条线段等于已知线段即可； （2）由，，则，再根据等腰三角形的性质可得，再结合矩形的性质得到，最后通过相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求． （2）证明：∵，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 17．如图，在中，的高，交于点，连接． (1)试说明的理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：的理由如下： 是的高， ， ． （2）解：由（1）得出， ， ， ， ． ， ， ． 18．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1)的长为或9或 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）①先判断出，得出即可； ②由得出，再由知，即可得出结论； （3）过点作于点，证，得，即，再由推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； （2）证明：， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． （3）解：如图2，过点作于点， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 即， ， 又， ， ， ，， ， ． 19．某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 【答案】(1)大树的高度为8米 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在实际测量中的应用，解题的关键是根据实际场景（光的反射、平行光线）识别出相似三角形，并利用相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解． （1）A组根据光的反射定律及直角相等判定，再代入测量数据通过相似比计算大树高度； （2）B组根据平行光线性质及直角相等判定，再通过相似比用已知字母表示大树高度． 【详解】（1）解：∵由光的反射定律可知， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为8米； （2）解：∵阳光下光线平行， ∴， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为米． 20．【数学实验】 将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，． 【感知】 （1）如图，在绕点A旋转过程中，若连接，，求的值． 【探究】 （2）在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的中线上时，求的长． 【拓展】 （3）在绕点A旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请直接写出此时的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）4；（3）或． 【分析】（1）连接，，由含角的直角三角形的性质得到，由旋转的性质得到，进而得到，再利用相似三角形的性质求解； （2）因为，根据含角的直角三角形的性质得到，当点恰好落在的中线上时，点与重合，利用垂直平分线的性质求解； （3）存在两种情况，当点与的中点重合时，点在的延长线上，分别来求解． 【详解】（1）解：如图1，连接，，    ∵，， ∴． 由旋转得，，， ， ∴， ， ∴的值是2； （2）解：如图2，∵， ∴． ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴， ∴当点恰好落在的中线上时，点与重合． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴的长是4．    （3）解：与能相似， 当点与的中点重合时，如图2， 则，，， ， ∴． ∵，，， ∴． 当点在的延长线上，连接，如图3，      ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ， ∴， ∴三点在同一条直线上． ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，与能相似，此时的面积为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $