专题13 相似三角形相关压轴问题（4种类型32道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题13 相似三角形相关压轴问题 （4种类型32道） 考点01 相似相关综合问题 考点02 相似相关最值问题 考点03 相似相关折叠问题 考点04 相似相关动点求值 考点01 相似相关综合问题 1．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是延长线上一点且，交于点，交于点，交于点．以下结论：①；②；③；④若，则．正确的有（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可判断①；作交于Q，证明和，利用相似三角形的性质得到，进而证明得到，利用平行线的判定可判断②；证明得到＝＝，结合可判断③；利用勾股定理求得，再结合可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故①正确； 如图，作交于Q， ∴，， ∴，， ∴， ∴点Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不正确； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 2．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线分别交于点F、G，以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．下面结论： ①    ② ③    ④ ⑤正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．根据尺规作图可知是的垂直平分线，点是的中点，根据尺规作图可知线段之间的长度关系和角之间的关系，根据边角之间的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质求出三角形的面积之间的关系． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 故③正确， 在上取点，使用， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故①错误； 由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故②正确； 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故④正确； ， 设，，则， ， 整理得：， 或(不符合题意，舍去)， ，故⑤错误． 故选：C． 3．如图，在矩形中，，将矩形对折，得到折痕，沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为.下列结论：①是直角三角形；②；③；④；其中正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得到，，于是得到，求得是直角三角形；设，则，由相似三角形的性质可得，可求，可判断②③；由折叠的性质和平行线的性质可得，可证，则可解答． 【详解】解：沿着折叠，点的对应点为， ， 沿着折叠，使得与重合，折痕为， ， ， ， 是直角三角形；故①符合题意； ， 设，则， 将矩形对折，得到折痕， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，故②符合题意； ， 沿着折叠，使得与重合， ， ，故③符合题意； ， ， 沿着折叠，使得与重合， ， ， ，故④不符合题意； 综上：①②③符合题意，共3个， 故选：B． 【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键． 4．已知四边形为矩形，延长到E，使，连接，F为的中点，连接交于点G，下列结论： （1）；（2）；（3）；（4） 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，设的交点为，证明，判断（1）；过作，判断出，利用面积公式判断（2）；证明，判断（3）；证明，推出平分，利用同（等）高的三角形的面积比等于底边比，得到，等量代换，判断（4）． 【详解】解：连接，设的交点为， ∵，F为的中点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴；故（1）正确； 过作， 在中：， 在中：， ∵， ∴， ∵， ∴；故（2）错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故（3）正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴平分， ∴点到的距离相等， ∴ ∵， ∴；故（4）正确； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，综合性强，难度大，属于选择题中的压轴题，掌握相关性质，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 5．如图，是等边三角形，点D、E分别在、上，且，，、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④，正确的结论有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质． 根据等边三角形的性质可证得，得到，从而利用三角形外角的性质得到，据此可判断①； 从上截取，连接，则是等边三角形，从而有，，根据等边三角形的性质和边的关系可得，从而，根据等腰三角形的“等边对顶角”和三角形外角的性质求得，从而判断②； 易证，根据相似三角形的性质即可判断③； 易证，根据相似三角形的性质即可判断④． 【详解】∵是等边三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴①正确； 如图，从上截取，连接，则是等边三角形 ∴， ∵，，， ∴， ∴点D，点M是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴②正确； ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴③正确； ∵，是公共角 ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴④正确． 故选：D． 6．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形与、分别交于点．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定． ①由等腰和等腰三边关系可证；②通过等积式倒推可知，证明即可；③转化为，证明，问题可证；④根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：由已知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以②正确； 由②，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以③正确； 设与相交于O，则， ∵， ∴， ∴， 所以④正确， 综上，正确的结论共有4个， 故选：D． 7．如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）个．    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】延长交于M，作于N，由，可得，从而判断①；由，，得出，从而判断②；先证，可得，从而判断③，由结合等角的转化，得出，从而判断④． 【详解】解：延长交于M，作于N，则，    ∵， ∴，故①不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理的含义，平行线分线段成比例的应用，关键是灵活应用这些知识点． 8．如图，在中，于点M，于点N，P为边中点，连接，则下列结论：①；②；③为等边三角形：④当时，．其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；再证明，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，再结合①得，即可判定③正确；当时，由P为边的中点，得出即可判断④正确． 【详解】解：①∵于点M，于点N，P为边中点，， ∴， ∴，①正确； ②在与中， ∵， ∴， ∴，即②正确； ③∵，于点M，于点N， ∴， 在中，， ∵点P是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，即③正确； ④当时， ∵于点N， ∴， ∴， ∵P为边的中点， ∴为等腰直角三角形 ∴，即④错误． 故①②③正确，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质、相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． 考点02 相似相关最值问题 9．如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】通过构造正方形，利用正方形和等腰直角三角形的性质证明三角形相似、全等，确定点的运动轨迹（过且与夹角为的直线），再结合垂线段最短求的最小值． 【详解】解：取、的中点、，连接． ∵矩形中，，，点、是、的中点， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． ∴， ∴，即点在过且与夹角为的直线上运动． 当时，最小． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 最终的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及垂线段最短，熟练掌握构造辅助图形确定点的运动轨迹是解题的关键． 10．如图，矩形中，，点M在上，点N在上，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过B点作的垂线，垂足为点，延长至点，使得，连接，过点作交于点， 证明，结合勾股定理以及矩形的性质求出，由作图可得垂直平分，则，那么，故当点共线，且点重合时，取得最小值即为． 【详解】解：过B点作的垂线，垂足为点，延长至点，使得，连接，过点作交于点， ∵矩形中，, ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴， 当点共线，且点重合时，取得最小值即为， ∴的最小值为 故选：D． 11．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 12．如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，由勾股定理可求BE=4，根据AAS可证△AEB≌△AGC，得CG=BE=4，易证△BDF∽△BAE，得出=，得出DF=，求最小值，即求DF+CD的最小值，由垂线段最短求解即可. 【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G 又于点 ∴∠AEB=90°，∠DFB=90°，∠AGC=90° 又∠ABE为公共角 ∴△BDF∽△BAE ∴= 又， ∴DF= ∴=DF+CD ∵DF+CD≥CG ∴≥CG 即的最小值为CG的长 在Rt△ABE中 BE===4 ∵，∠AEB=90°，∠AGC=90° 又∠A为公共角 ∴△AEB≌△AGC（AAS） ∴CG=BE=4 ∴的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查最短路径中的垂线段最短问题，解决本题借助了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形以及勾股定理求边长，综合性较强，难度较大. 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE•BD，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先证明通过△CDE∽△BDC说明∠BEC＝90°，取BC中点Q，则EQ＝BC＝1，FQ＝AC＝，再由E、F、Q三点共线时，EF可以取到﹣1，即可得到答案， 【详解】解：在△CED和△BDC中， ∵CD2＝DE•BD， ∴， ∵∠EDC＝∠CDB， ∴△CDE∽△BDC， ∴∠DEC＝∠DCB＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣∠DEC＝90°， 如图，取BC中点Q，则EQ＝BC＝1， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4， ∴AC＝， ∵F为AB中点，Q为BC中点， ∴FQ＝AC＝， ∵EF≥FQ－EQ，当且仅当E、F、Q三点共线时，EF可以取到﹣1， ∴EF最小值为﹣1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明∠BEC＝90°，取BC中点Q，构造直角三角形的斜边中线等于斜边一半． 14．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，通过证明得到，即可将的最小值转化为求的最小值，利用两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：连接AF， ∵，，为中点， ∴， ∴点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动， 在AB上取点G，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短等内容，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 15．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为斜边在右侧作等腰Rt△CDE，连接AE，则AE最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】作CF⊥AB于F，作FP⊥BC于P，证明△CFD∽△CPE，可证点E在PF上移动，然后根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：作CF⊥AB于F，作FP⊥BC于P，连接PE， ∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=90°，AC=BC， ∠ECD=90°，CE=DE， ∴AF=CF=BF． ∵FP⊥BC， ∴CP=FP=BP， ∴△CPF是等腰直角三角形， ∴∠PCF=∠ECD=45°， ∴FCD=∠PCE． ∵CE2+DE2=CD2， ∴， 同理：， ∴， ∴△CFD∽△CPE， ∴∠CFD=∠CPE=90°， ∴PE⊥BC． ∵PF⊥BC， ∴F，P，E三点共线，即点E在PF上移动， ∴当AE⊥PF时，AE的值最小． ∵AC=4，AF2+CF2=AC2， ∴AF=AC=2， ∵∠CFE=45°， ∴∠=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得=AF=2． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最小等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 16．如图，正方形中，，是中点，上有一动点，连接、，将沿着翻折得到．连接、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BG＝，连接FG，首先证明△BGF∽△BFC，从而可得到FG＝FC，然后依据三角形的三边关系可知DF+FC＝DF+FG≥DG，然后依据勾股定理求得DG的值即可． 【详解】解：如图所示：取BG＝，连接FG． ∵BC＝2，E是BC的中点， ∴BE＝1． 由翻折的性质可知BF＝BE＝1． ∵BF＝1，BC＝2，GB＝， ∴BF2＝BC•GB． ∴． 又∵∠FBG＝∠FBC， ∴△BGF∽△BFC， ∴＝＝， ∴FG＝FC． ∴DF+FC＝DF+FG≥DG＝＝＝． ∴DF+FC的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、三角形的三边关系，构造△BGF使△BGF∽△BFC是解题的关键． 考点03 相似相关折叠问题 17．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据矩形的性质，折叠的性质，得到，再结合等腰三角形性质，即可求出的长，利用勾股定理求出，进而得到，过点作于点，证明，利用相似三角形性质求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ； 由勾股定理可得，， ，， ， 解得， ，， 过点作于点， ， ， ， 即， 解得， 的面积为． 故答案为：，． 18．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将沿着折叠得到，分别与、相交于点，；则（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质，合理作辅助线是关键． 如图所示，连接，设交于点，根据三角形等面积法得到，运用勾股定理，中位线的判定和性质得到，证明，即可求解的值，再证明，可得到的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，即点是的中点， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，，即， ∴，即点是中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，且， ∴， ∴； 故答案为：①，②． 19．如图，在矩形中，，，是上的动点（不与点，重合），连接交对角线于点，将沿折叠，点落在点处，若经过的中点，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，设与相交于点，由矩形的性质得，，，即得，，，又由折叠的性质得，，，，得到，即得到，由点是的中点得，进而可证，得到，即得到，再利用勾股定理可得或，最后根据求得或即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， 由折叠得，，，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，, ∴， ∴． 故答案为：或． 20．如图，一张矩形纸片中，（为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点． （1）当，若，，则的长为 ． （2）当点落在的中点时，且，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键． （1）连接，过点作于，则，，，根据，设出，，，利用勾股定理求得，进一步求得，，再证得，利用相似三角形的性质求得，，得到，在中，利用勾股定理求得即可求得； （2）根据，设，则，根据，得到①，在中，利用勾股定理得到②，解①②即可求解． 【详解】（1）连接，过点作于，则，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设，， ，则， 由折叠的性质得，，，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ，即，解得， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴； （2）∵， 设，则， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴① ∵，，， ∴， 在中，， ∴②， 解①②得， ∴， ∴， 故答案为：；． 21．如图，是等边三角形的边上一点，且现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在和上，且的值为 ． 【答案】 【分析】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质（用含有的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 借助翻折变换的性质得到，设，则，则的周长为，的周长为，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：设，则， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 由折叠得， 的周长为，的周长为， 与的相似比为 ． 故答案为：． 22．如图，在矩形中，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当最短时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质． 先利用矩形的性质求得，，，再得出当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，然后根据折叠的性质可知，，，再利用三角形相似的判定可证，列出比例式，利用勾股定理求得，从而可求得，代入比例式，即可得解． 【详解】解：如图所示， 四边形是矩形，，， ，，， 当点在边上运动时，根据折叠的性质可知，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点在矩形的对角线上时，最短， 此时，由折叠可得，，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 23．如图，在等腰三角形中，，在底边上取一点，连接，使得，将沿着所在直线折叠，使得点落在点处，连接，得到四边形，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题, 与交于点只要证明，得，只要求出、即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，. ∵，， ∴，， ∴，即， ∴，. ∵， ∴，，，四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∴. 故答案为． 24．如图，在正方形中，是上的一点，将绕点逆时针旋转后得到，将沿折叠得到，连接，若，，则的长 ． 【答案】 【分析】根据正方形和折叠的性质，推出、、三点共线，延长交于点，连接，过点作于点，证明，设，在中，利用勾股定理求出，，，再证明，利用对应边成比例求出，，进得到，即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， 由旋转的性质可知，， ，，， ， 、、三点共线， 由折叠的性质可知，，，，， 如图，延长交于点，连接，过点作于点， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， ， 解得：， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 考点04 相似相关动点求值 25．如图，等边的边长为，为上一点，，是线段上的动点，若点和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点D作于点M，利用勾股定理和等边三角形的性质求出；根据题意，分两种情况讨论，即或，进而证明与，利用相似三角形的性质列出比例式即可求出的长． 【详解】解：如下图，过点D作于点M， 等边的边长为，， ，，， ∴， ∴， ， ， ； 分两种情况：①如下图，连接，若， ，， ， ，即，解得， ②如下图，连接，若， ，， ， ，即，解得， 综上所述， 的长为或， 故答案为：或． 26．如图，在矩形中，，，是的中点，连结，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时， ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由折叠知，设，则，再分和两种情况，可证与相似，利用对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， 由折叠知，设，则， ∵是直角三角形时， ∴当时， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：或． 27．如图，在长方形中，已知，，点E是边上的一个动点，连接，作点A关于直线的对称点F，连接，，以F为直角顶点，为直角边，在右侧作等腰，且，则当最小时，的周长为 ． 【答案】 【分析】延长到点G，使，连接，证明，，得，得，当点M运动到上时，，取得最小值，此时点F在上，，，，得，即得． 【详解】解：延长到点G，使，连接， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， 当点M运动到上时， ，取得最小值， 此时点F在上，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了长方形旋转．熟练掌握长方形性质，旋转性质，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 28．如图，在菱形中，点O为其对称中心，连接，点P为中点，，．若点E、F分别在边上的动点，满足，则四边形PEBF的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，连接，过点P分别作的垂线，垂足分别为G、H，过点D作的垂线，垂足为T，由题意可得点O是的交点，利用勾股定理得到，则，利用等面积法求出，再求出，证明，得到，由对称性可得，证明，最后根据计算求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点P分别作的垂线，垂足分别为G、H，过点D作的垂线，垂足为T， ∵在菱形中，点O为其对称中心， ∴点O是的交点，     ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∵点P为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：．    29．如图，在等腰直角三角形中，，是直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点的位置随点的位置变化而变化，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】构造正方形，连接与交于点P，连接．根据正方形的性质和旋转的性质可推出，，证明，得到，推出点在直线上，在中，根据勾股定理求出，分两种情况：当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，根据勾股定理和三角形的面积公式求解即可． 【详解】如图1，构造正方形，连接与交于点P，连接． ，，， 由旋转可得：，， ， ， ，即， 又， ， ， 点在直线上， 在中，，则， 分以下两种情况：①如图2，当点在的延长线上时，， 此时点与点重合． 的面积为； ②如图3，当点在的延长线上时，， ， ， 的面积为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论． 30．如图，在矩形中，，，为边上一动点，连接，过点作于点，与对角线交于点．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，根据，得到，证明，得到，，在证明，求出，再证明，即可得到答案； 【详解】解：过E作，    ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， 故答案为：． 31．如图，点E是矩形的对角线上的动点，过点E作于点F，已知，若上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则的长为 ． 【答案】3或1或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、，、，三种情况，分别根据题意作出图形，利用等腰三角形的定义、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：由题意可知，需分三种情况讨论∶ ①如图（1），当、时， 此时点G与点B重合， 即； ②如图(2)，当，时， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． ③如图（3），当时，过点G作于点H，则四边形是矩形， ∵，， ∴ ∴四边形是正方形， ∴．，即，． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 综上，的长为3或1或． 32．如图，菱形中，点F是上一动点，连接，沿折叠至，满足，，，则 ，连接， ． 【答案】 10 / 【分析】由勾股定理求出，作于点H，连接，证明得，设，证明是等腰直角三角形得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 作于点H，连接， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 相似三角形相关压轴问题 （4种类型32道） 考点01 相似相关综合问题 考点02 相似相关最值问题 考点03 相似相关折叠问题 考点04 相似相关动点求值 考点01 相似相关综合问题 1．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是延长线上一点且，交于点，交于点，交于点．以下结论：①；②；③；④若，则．正确的有（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 2．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线分别交于点F、G，以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．下面结论： ①    ② ③    ④ ⑤正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在矩形中，，将矩形对折，得到折痕，沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为.下列结论：①是直角三角形；②；③；④；其中正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．已知四边形为矩形，延长到E，使，连接，F为的中点，连接交于点G，下列结论： （1）；（2）；（3）；（4） 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，是等边三角形，点D、E分别在、上，且，，、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④，正确的结论有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形与、分别交于点．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）个．    A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在中，于点M，于点N，P为边中点，连接，则下列结论：①；②；③为等边三角形：④当时，．其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点02 相似相关最值问题 9．如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 10．如图，矩形中，，点M在上，点N在上，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 11．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE•BD，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 14．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为斜边在右侧作等腰Rt△CDE，连接AE，则AE最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．4 16．如图，正方形中，，是中点，上有一动点，连接、，将沿着翻折得到．连接、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点03 相似相关折叠问题 17．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 18．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将沿着折叠得到，分别与、相交于点，；则（1） ；（2） ． 19．如图，在矩形中，，，是上的动点（不与点，重合），连接交对角线于点，将沿折叠，点落在点处，若经过的中点，则的长为 ． 20．如图，一张矩形纸片中，（为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点． （1）当，若，，则的长为 ． （2）当点落在的中点时，且，则 ． 21．如图，是等边三角形的边上一点，且现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在和上，且的值为 ． 22．如图，在矩形中，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当最短时，的长为 ． 23．如图，在等腰三角形中，，在底边上取一点，连接，使得，将沿着所在直线折叠，使得点落在点处，连接，得到四边形，则的长是 ． 24．如图，在正方形中，是上的一点，将绕点逆时针旋转后得到，将沿折叠得到，连接，若，，则的长 ． 考点04 相似相关动点求值 25．如图，等边的边长为，为上一点，，是线段上的动点，若点和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为 ． 26．如图，在矩形中，，，是的中点，连结，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时， ．    27．如图，在长方形中，已知，，点E是边上的一个动点，连接，作点A关于直线的对称点F，连接，，以F为直角顶点，为直角边，在右侧作等腰，且，则当最小时，的周长为 ． 28．如图，在菱形中，点O为其对称中心，连接，点P为中点，，．若点E、F分别在边上的动点，满足，则四边形PEBF的面积为 ．    29．如图，在等腰直角三角形中，，是直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点的位置随点的位置变化而变化，连接．若，，则的面积为 ． 30．如图，在矩形中，，，为边上一动点，连接，过点作于点，与对角线交于点．若，则的长是 ． 31．如图，点E是矩形的对角线上的动点，过点E作于点F，已知，若上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则的长为 ． 32．如图，菱形中，点F是上一动点，连接，沿折叠至，满足，，，则 ，连接， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $