第二十三章旋转综合压轴题分类训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

· 第二十三章 旋转综合压轴题分类训练 目录概览 题型1 定值问题 题型2 最值问题 题型3 线段问题 题型4面积问题 题型5角度问题 题型6坐标中的旋转问题 题型7坐标中的动点问题 题型演练 题型1 定值问题 1．如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板(含)，将三角板(含)绕点A顺时针方向旋转一个大小为的角，试问： (1)当___________度时，能使图2中的． (2)当旋转到与重叠时（如图3），则___________度． (3)当时，连接（如图4），探求是否是一个定值，如果是，求这个定值，并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)15 (2)45 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及旋转的性质的运用．解题时注意：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． （1）根据平行线的性质求解明即可． （2）根据旋转的性质解决问题即可． （3）先设分别交于点M、N，依据三角形内角和定理以及三角形外角性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴, ;， 故当度时，能使图2中的， 故答案为：； （2）解：当旋转到与重叠时（如图3），则， 故答案为：45． （3）解：如图，当时，，保持不变； 理由：设分别交于点， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 【答案】(1)①；详见解析；②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；详见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识： （1）①由四边形为正方形可以得到，又，而由此可以推出，，进一步得到，由证明，即可得出结论；②由，得出，那么它们都加上四边形的面积，即可四边形的面积=正方形的面积，从而求出其面积； （2）延长至G，使，连接，作于M，由证明，得出，，证出，由证明，得出全等三角形对应边上的高相等即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；理由如下： ∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 即四边形的面积的值始终保持不变，值为4； （2）解：延长至G，使，连接，作于M，如图2所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即点A到线段的距离为2． 3．如图，点，，且，满足． (1)如图，求，的值； (2)如图，点在线段上不与、重合移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若点为轴正半轴上异于原点、点的一个动点，连接，作于点，点在第一象限，且，直线交轴于点，当点在轴正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析； (3)是定值，该定值是． 【分析】本题考查了坐标与图形综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）将原式化成，则，，求出，的值即可； （）过作，交延长线于点，连接，证明，得，然后再证明，得，进而可以解决问题； （）根据题意画出图形，分当点在点左侧和右侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：，理由如下： 如图，过作，交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵点，，，， ∴点，， ， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：是定值， 如图，当点在点右侧时，作于，在上截取， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，该定值是； 如图，当点在点左侧时，作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，该定值是． 综上，是定值，该定值是． 4．如图1，在中，，，，，且，将绕一点按逆时针方向旋转到的位置，点，，的对应点分别为，，，其中，，在同一直线上，连接． (1)求的度数； (2)用不同的方法计算梯形的面积，并以此说明，，之间的数量关系； (3)如图2，取的中点，将梯形分别沿直线、翻折，点、同时落在上的点处，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析，（） (3)是定值， 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，折叠的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，，根据直角三角形中，两锐角互余得出，推得，即可求解； （2）根据旋转的性质得出，，根据两种四边形的面积计算方法，列出等式，即可求解； （3）根据折叠的性质可知：，的面积的面积，的面积的面积，即可得出的面积，根据题意得出，结合（2）的结论得出的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转可知：，， 在中，， ∴， 即， ∵， ∴． （2）解：由旋转可知：，，， ∵梯形的面积， 梯形的面积的面积的面积的面积， 故， 整理得或． （3）解：由折叠的性质可知：，的面积的面积，的面积的面积， 又∵的面积的面积的面积， ∴的面积梯形的面积， ∵， ∴， 整理得； 又∵的面积，由（2）可得 即的面积， ∴， 将代入，得． 5．如图，点，，且a，b满足．    (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若点P为x正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，当点P在x正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)是定值，且 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，进而可得与的长，进一步可求出结果； （2）是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转得到，如图，根据旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系即可推出结论； （3）是定值，作于，在上截取，连接，如图，证，根据余角的性质可得，进而可根据推出，可得，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， 、， ，， 的面积； （2）线段、、之间的数量关系为； 证明：， ， 将绕点逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ， ，即、、三点共线， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 即；    （3）是定值，且； 作于，在上截取，连接，如图，则， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即是定值．    【点睛】本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 题型2 最值问题 6．（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 【答案】（1）①；；②依然成立，证明见解答； （2）或． 【分析】（1）①根据题意判定和为等腰直角三角形，然后通过证明即可得出结论； ②通过辅助线推出，然后根据证明结论； （2）根据（1）的结论得出点P为的中点，然后判定为菱形，当其为正方形时面积最大，然后判定当旋转角或时均符合题意，然后构造即可求解． 【详解】解：（1）①根据旋转的性质可知： ， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 故答案为：；； ②如图，过点F作交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理①可证：（）， ∴， 故依然成立； （2）根据（1）可知，点P为中点， ， ∴、为的中位线， ， ∵， ∴四边形是边长为的菱形， 设四边形底边上的高为h． 由于，故当时，四边形面积取最大值， 此时，四边形为正方形，分为旋转角或两种情况，如图： ①当时，作，H为垂足， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ②当时，四边形为正方形，作，为垂足， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴， 故的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．小张同学对图形旋转前后线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． 在中，，M是平面内任意一点，将线段绕点A按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)如图1，若点M是线段上的任意一点，判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E是延长线上的点，若点M是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． (3)如图3，在中，，，，点P是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)线段长度的最小值为 【分析】（1）由旋转知，，进而得出，判断出，即可得出结论； （2）由旋转知，，进而得出，判断出，即可得出结论； （3）在的截取， 过点作于E，根据旋转得出，，可证，得出，要线段长度的最小，则线段长度最小，而点O为上定点，当时，最小，先求，再利用直角三角形性质求出，利用勾股定理求出，利用等腰直角三角形求出即可． 【详解】（1）结论：． 由旋转知，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 故答案为； （2）（1）中结论仍然成立， 理由：由旋转知，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，在的截取， 过点作于E， 由旋转知，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 要线段长度的最小，则线段长度最小， 而点O为上定点，当时，最小， 在中，， 在中， ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴，， ∴， ∴ 即：线段长度的最小值为． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，构造出是解本题的关键． 8．问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 (2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析 【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点，与直线交于点，点 即为所求．； （2）把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可知是等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理可知，从而求得，即可求解； （3）连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， ，由旋转的性质，、是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当时最短，从而得到最小值为的长，点为、的交点，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求． （2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； 故； （3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，，，，， 、是等边三角形， ， ， 根据两点间线段距离最短得：当时最短， 是等边三角形， 以为一边作等边三角形， 最小值为的长，此时点在线段上， 点为、的交点． 若点与点重合，即在对角线 上， 则点为与的交点，此时点（E）与点重合， 显然不符合题意，故点不在对角线上， 即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键． 9．【发现奥秘】 (1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______． 【解法探索】 (2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接） 【拓展应用】 (3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值． 【答案】(1)四点共线， (2)的值最小时，此时 (3) 【分析】(1)证明得到进而得到B，E，F，D四个点满足四点共线时，的值最小为，再由等边△及求出的长； (2)同(1)中思路证明得到，当B，P，D，E四点共线时，的值最小为；进一步得到，即可求出，再过点C作于点F，利用即可求出的值； (3)同(2)中思路即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质，可知， ，， ∴， ∴， ∴， 且， ∴， ∴当B，E，F，D四点共线时，的值最小为，如图所示： 连接AC，设AC与BD交于点O， ∵ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠OCB=60°， ∴， 此时． （2）解：由旋转的性质，可知， ，， ∴， ∴， ∴， 且均为等边三角形，, ∴， ∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，如图1所示． ∵均为等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时； 过点C作于点F，如图1所示． ∵， ∴是线段的中垂线， ∴C，P，F三点共线， ∴， 设，则． ∴， ∴． （3）解：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接， 过点E作，交BC的延长线于点F，如图2所示： 由(2)可知，当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时， 由(2)知：， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴在中由勾股定理得到， 过点C作，垂足为G，如图2所示． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中由勾股定理得到， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题． 10．问题的提出：如果点是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点到的三顶点的距离之和的值为最小？ (1)问题的转化：把绕点逆时针旋转得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图甲证明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′ (2)问题的解决：当点到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时点的位置__________． (3)问题的延伸：图乙是有一个锐角为的直角三角形，如果斜边为2，点是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为 【分析】（1）问题的转化：根据旋转的性质证明是等边三角形，则，可得结论． （2）问题的解决：运用类比的思想，把绕点逆时针旋转60度得到，连接，，由“问题的转化”可知：当、、、在同一直线上时，的值为最小，确定当：时，满足三点共线． （3）问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角，利用勾股定理求的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【详解】（1）解：如图，由旋转得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （2）； 满足：时，的值为最小； 理由是：如图，把绕点逆时针旋转60度得到，连接， 由（1）可知：当、、、在同一直线上时，的值为最小， ∵，， ∴，   ∴、、在同一直线上， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴、、在同一直线上， ∴、、、在同一直线上， ∴此时的值为最小， 故答案为：；                     （3）如图，中，∵，， ∴，， 把绕点逆时针旋转60度得到，连接， 当、、、在同一直线上时，的值为最小， 由旋转得：，，，， ∴是等边三角形，                                 ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 则点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．           【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型3 线段问题 11．[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【详解】（1）解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：    当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 12．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； (3)． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 13．在中，，D是平面内一点，连接．将绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到，且满足，连接． (1)如图1，，D是边上一点，求的度数； (2)如图2，D是平面内一点，F是的中点，连接．猜想与存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； (3)在（2）的条件下，若，在直线上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，由，，得到，进而推出，结合，证明，得到，由即可得出结果； （2）延长到M，使得，连接，推出，证明，得到，即可得出结论； （3）证明为等边三角形，再证明，得到，由，当为菱形的边时，推出点M与点C重合，进而得到，即，根据，推出，点是的中点，根据，同理，当为菱形对角线时，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：旋转的性质得到，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：延长到M，使得，连接， A是的中点， F是的中点， 是的中位线， ， ，， ，即， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图， ， ， ， 为等边三角形， ， 当为菱形的边时， 四边形是锐角为的菱形， ，，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点M与点C重合， ， ， ， ， ， ， ； 当为菱形的对角线时，点M在点处， 四边形是锐角为的菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 综上，． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，求正切值，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 14．如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 【答案】(1)，见详解 (2) (3)或 【分析】（1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可； （3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即，以及位置关系，始终有垂直，继而设，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：与的位置关系为． ∵，D，E分别为的中点， ∴，即， ∵，即， ∴, ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即：． （2）解：中，， ∴，同理可求， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴． （3）解：①经过点B时，题（2）已求； ②经过点A时，如图所示， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； ③再次经过点B时，如下图： 同理可证：，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 15．如图1，在中，，,点D，E分别在边，，连接，，点F是线段中点,连接交于点H． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ______，位置关系是_____； (2)探究证明：把处点C逆时针旋转α．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 (3)拓展延伸∶把绕点C旋转，当点D旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2)，仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线． (1)证明，，，则可得出结论； (2) 延长至点G，使，连接，如图，证明，得出，，证明得到，，则可得出结论； (3)分两种情况，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）解：在和中， ， ． ． ∵点F是线段中点，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， 故答案为：，； （2），仍然成立． 理由：延长至点G，使，连接，如图， ∴F是的中点， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ∵将图1中的绕点C逆时针旋转， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 仍然成立． ，， ， ， ． （3）如图，当点E在的延长线上时，延长，使，连接， 由可知，，, ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴； 当点E在线段上时，延长，使,连接， 同理可得出四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 综上所述，与、之间的数量关系是或． 题型4面积问题 16．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 17．已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】(1)7 (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 18．已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，则，，即可判断的形状； （2）由（1）知等边三角形的边长为，过点作于点，结合等腰三角形三线合一性质及勾股定理求出，再求出即可； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，再求出和的面积和即可． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 即的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）如图，过点作于点， ∵，，， ∴，，， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，腰直角三角形的判定和性质，等积代换思想，类比思想等知识点，构造直角三角形，求出三角形的高是解题的关键． 19．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 20．如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，或；② 【分析】（1）延长交于，根据四边形是正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证； （2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时的长最大，由即可得到答案． 【详解】（1）如图，延长交于， 点是正方形两对角线的交点， ，， 四边形是正方形 在和中， ， ， ， ， ， ， 即； （2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况： 如图2，由增大到过程中， 当时， ， 在中， ， ，， ， ，即； 由增大到过程中，当时，如图 同理可求， ， 综上所述，当时，或； ②如图，连接， 四边形是正方形， ，， 正方形的边长为2， ， ， 则， 当时， 、、在一条直线上，此时的长最大， 最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型5角度问题 21．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积的最大值为，旋转角 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 22．如图，在平面直角坐标系，点A、B的坐标分别为，，且，将点B向右平移24个单位长度得到C．    (1)求A,B两点的坐标： (2)点P，Q分别为线段，两个动点，P自B点向C点以2个单位长度/秒向右运动，同时点Q自A点向O点以4个单位长度/秒向左运动，设运动的时间为t，连接，当恰好平分四边形的面积时，求t的值： (3)点D是直线上一点，连接，作，边与的延长线相交于点E，平分平分，当点Q运动时，的度数是否变化?请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b的值即可得到答案； （2）根据平分四边形的面积，即可得到根据梯形面积公式即可得到，然后列式求解即可得到答案； （3）分三种情况：当D在线段的延长线上时；当D在线段的延长线上时；当D在线段上时；利用角平分线的定义求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 解得： ∴，； （2）解：∵点B向右平移24个单位长度得到C， ∴， 设，，，， ∵平分四边形的面积， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得； （3）解：当点Q运动时，的度数有变化，理由如下： 如图，当D在线段的延长线上时， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴；    同理求得当D在线段的延长线上时，；    当点D在线段上时，    ∵平分，平分， ∴，， 设 ∵ ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对的非负性，梯形面积公式，角平分线的定义，利用分类讨论的思想是解题的关键. 23．在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点G，过点C作于点F． (1)如图1，当旋转时，若，求的长； (2)如图2，当旋转时，连接，，延长交于点E，连接，求证：； (3)如图3，点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会转化的思想思考问题 （1）过点G作于点H，得到，即可求得，再由，勾股定理求得； （2）延长交于点T，连接，求得，可得，，由，得到，即可得到 （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接、，当点P、Q、N、A四点共线时，的值最小，此时是等腰直角三角形的一条中线，即可求得的面积 【详解】（1）解：如图1，当旋转时，则， 过点G作于点H，则， 在等腰中，， 则， 则， 在等腰中， ； （2）证明：如图2，过点D作于点M，过点B作于点N， ∵， ∴ ∵，， ∴ 而， ∴ 又，， ∴四边形是矩形 ∴ 延长交的延长线于点T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，将绕点B逆时针旋转得到， 连接，． 则，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴当P，Q，N，A共线时，的值最小． 此时，，， 并且是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且 又， ∴，， ∴， ∴的面积． 24．已知在中，，四边形是正方形，H为所在的直线与的交点． 问题解决： (1)如图1，当点F在上时，请判断和的关系，并说明理由． 问题探究： (2)如图2，将正方形绕点C旋转，当点D在直线右侧时，求证：； 问题拓展： (3)将正方形绕点C旋转一周，当时，若，请直接写出线段的长．    【答案】(1)且，理由见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先证可得，再证即可解答； （2）如图，在线段上截取，连接．先证可得，再证是等腰直角三角形，则；最后根据线段的和差即可证明结论； （3）分和两种情况，分别画出图形，并运用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：且．理由如下： ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，  ……………….……………………… 在与中， ， ∴， ∴， …………………………………..…………… ∵， ∴， ∴； 综上：且． （2）证明：如图，在线段上截取，连接．    由（1）可知：， 在和中， ， ∴，…………………………………………………… ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，         …………………………………………………… ∴． （3）……………………………………… 解：线段的长为或． ①如图，当三点共线时，．    由（1）可知，，且， ， ∵， ∴． 设，则， 在中， ∴,解得:或（舍去）， ∴； ②如图，当三点共线时，， 设， ∵， ∴， 在中， ∴，解得：或（舍去）， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、等要三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 25．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或60或70秒 【分析】（1）先根据平分，得到，即可求出； （2）先根据题意可得，，然后作差即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）平分， ， 三角板旋转的角：， （2）当在外部时，，理由如下： ，， ，， ； 当在内部时，，理由如下： ，， ； （3）射线平分，射线平分， ，， 选择前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，， ； ④，解得，， ， 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或60或70 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 题型6坐标中的旋转问题 26．如图1，在平面直角坐标系中，点． (1)探究 与之间的关系； (2)点D在x轴上，且，连接，把线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点E的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，连接，把线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点B作于点G，交于点H． ① 求点F的坐标； ② 求证：． 【答案】(1)且 (2)点E的坐标为或 (3)①；②证明见解析 【分析】（1）过点B作轴于点E，过点C作交的延长线于点D，延长交y轴于点I．证明．得． 可得．得，得； （2）过点B作轴于点G，过点E作交的延长线于点F，延长交y轴于点J，得．分两种情况：当点D在点A右侧时，当点D在点A左侧时，可得点E的坐标为或； （3）①连接，延长交的延长线于点P．连接． 证明．得，，得，由，得．②过点F作于点M，过点A作于点N．证明，，，即得． 【详解】（1）解：如图1，过点B作轴于点E，过点C作交的延长线于点D，延长交y轴于点I． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴且． （2）∵ 点D在x轴上，且， ∴ 分两种情况． 过点B作轴于点G，过点E作交的延长线于点F，延长交y轴于点J． ∴． ⅰ． 当点D在点A右侧时，如图2． ∵ 线段BE是由线段绕点B顺时针旋转得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ⅱ． 当点D在点A左侧时，如图3． ∵，∴． ∴． 同理①，可证． ∴． ∴． ∴． 综上所述，点E的坐标为或． （3）① 如图4，连接，延长交的延长线于点P． ∵ 线段是由线段绕点B顺时针旋转得到的， ∴． 由（1），知． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴． 连接． ∴，即． ∴，即． ∴． ∵， ∴轴， ∴．轴， ∴． ∵， ∴． ② 证明：如图4，过点F作于点M，过点A作于点N． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∠BFM=∠EBG． 在和中， ， ∴． ∴． 同理，得． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)的最小值为4，. 【分析】（1）根据题意得，即可求证； （2）根据题意得，再证，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴ （2） 理由：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴        ∴ （3）由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，如图； ∵， ∴ ∵， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4 ∴. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键． 28．平面直角坐标系中，，且． (1)求点、坐标； (2)若是直线上一点，且，求点坐标； (3)如图，当时有．若射线以每秒9度的速度顺时针绕点旋转，射线以每秒6度的速度逆时针绕点旋转，两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动，求多少秒时，与互相垂直． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或秒时，与互相垂直 【分析】本题考查算术平方根的非负性，直角坐标系与面积综合，角度旋转综合； （1）根据算术平方根的非负性得到推出，即可得到，，，即可求出坐标； （2）由，得到，根据可以得到为底的高的关系，据此求解即可； （3）设旋转时间为秒，先根据两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动，得到，再根据与的位置分情况讨论，分别画出图形，最后根据与垂直列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， 若是直线上一点，且，， 如图，分两种情况： 当点D在第三象限，过作轴于点E，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在第一象限，过作轴于点F，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设旋转时间为秒，射线以每秒9度的速度顺时针绕点旋转得到射线，射线以每秒6度的速度逆时针绕点旋转得到，直线和交于点， ∵两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动， ∴， 解得， 当第一次与轴重合时，解得； 当第二次与轴重合时，解得； 当与线段共线时，解得； 当与轴重合时，解得； 当时，如图，此时与不可能垂直，即与不可能垂直； 当时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 当时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 当时，如图，此时与不可能垂直，即与不可能垂直； 当时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 综上所述，或或秒时，与互相垂直． 29．定义：如图1，在平面直角坐标系中，，两点位置不同，将点绕着点顺时针旋转后得到点，称点为点关于点的顺时针“垂直关联点”，将点绕着点逆时针旋转后得到点，称点为点关于点的逆时针“垂直关联点”． (1)如图2，已知点坐标为，点坐标，求出点关于点的逆时针“垂直关联点”坐标．小明提出连接，作，使，点为点关于点的逆时针“垂直关联点”，作轴于点，作轴于点，可以证明，则，，则点关于点的逆时针“垂直关联点”坐标为________； (2)如图3，已知直线与轴，轴分别交于，两点，求出点关于点的顺时针“垂直关联点”的坐标； (3)如图4，已知直线与轴，轴分别交，两点，点在第二象限内，点坐标为，若点关于点的“垂直关联点”刚好落在直线上，求点关于点的“垂直关联点”的坐标． 【答案】(1)坐标为 (2) (3)点关于点的“垂直关联点”的坐标为或 【分析】（1）由，，得坐标为； （2）作，使，点为点关于点的顺时针“垂直关联点”，作轴于点，易证，进而得出的坐标为     （3）当逆时针旋转时，如图4，过点作轴，作于，作于，同（2）可证，得出，根据点关于点的“垂直关联点”刚好落在直线上，可得得出；当顺时针旋转时，过点作轴，作于，作于，同理求得，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴坐标为； 故答案为：． （2）解：如图3，作，使，则点为点关于点的顺时针“垂直关联点”， 作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 对于直线，当时，， ∴，即． 当时，， ∴，即． ∴，， ∴， ∴， ∴点关于点的顺时针“垂直关联点”的坐标为． （3）解：由（2）可知，，； 当逆时针旋转时，如图4，过点作轴， 作于，作于， ∵点坐标为 ∴， 同（2）可证，， ∴， ∴           ∵点关于点的“垂直关联点”刚好落在直线上 ∴ ∴， ∴           如图5，当顺时针旋转时，过点作轴， 作于，作于， ∵点坐标为， ∴，， 同（2）可证，， ∴，， ∴， ∵点关于点的“垂直关联点”刚好落在直线上， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点关于点的“垂直关联点”的坐标为或 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，全等三角形判定与性质，旋转的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 30．【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）3.4；（3） 【分析】（1）证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （2）证明，得出，设，则，由勾股定理可得出答案； （3）构造正方形，由（1）知，则，，设，则，，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 由轴对称可知，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴∠BAF=∠PAF， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，构造正方形，由（1）知， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型7坐标中的动点问题 31．在平面直角坐标系中，已知点在x轴的负半轴上，点在y轴的正半轴上． (1)如图1，过点B作，且，连接，点C在第一象限，若实数a、b满足：，请直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图2，在x轴上一点，于点N，连接，求证：平分； (3)如图3，若，，点在x轴正半轴上，于点Q，连接，当平分时，求m的值及的面积． 【答案】(1)，， (2)详见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． （1）根据绝对值与算术平方根的非负性求出的值，进而得到坐标，再通过作辅助线构造全等三角形求出 点坐标即可； （2）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边上的高相等得出，再利用角平分线的判定即可得证； （3）如图，过Q点作，过Q点作，利用角平分线的性质和三角形的面积公式得出，再通过全等三角形的性质求出的值，最后根据三角形面积公式求出 的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 如图，过 C 作 轴于 D， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图，过O点作，过O点作，设与交于点G， ∵，， ∴， ∵于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴平分； （3）解：如图，过Q点作，过Q点作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在x轴正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的认识，二次根式和绝对值的非负性，动点问题． （1）利用二次根式和绝对值的非负性求出即可求出，判断的运动位置即可求出点的坐标． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． （3）根据的不同位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，, , 当时，运动10个单位，此时运动到点，故坐标为． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． 在点时：， 在点时：， 故答案为：． （3）①当在线段上时， ，即， ， ； ②当在线段上时， ，即， ， ， ； 故答案为：或． 33．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)当时，请直接写出点坐标与； (2)连接，当时，求点坐标； (3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标并求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)，或, 或, ． 【分析】此题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，分类讨论，解题的关键是根据点P的不同位置进行分类讨论． （1）根据点P运动的时间和速度相乘得到，求出，由此得到点P的坐标及的面积； （2）分两种情况讨论|：当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据面积分别求出点P的坐标； （3）分三种情况，分别求出的长以及的长，即可得出所有点P的坐标和t的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动5秒， ∴， ∴，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 当点P在点C左侧时，，则, 即，解得 ∴, ∴； 当点P在点C右侧时，，则, 即，解得 ∴, ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图， 当时，     ∵，   ∴，， ∴，；   当时，   ∵ ,,，   ∴，   ∴，， ∴,；   当时，设，则，   ∴，解得，   ∴，   ∴ , ． 综上，，或, 或, ． 34．如图，中，，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． (1)如图1所示，点坐标为，点坐标为，求点的坐标 (2)如图2所示，过作轴于，求证：； (3)如图3所示，若轴恰好平分，与x轴交于点，过作轴于，求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，结合等腰三角形的性质、等角的余角相等求解是解题的关键． （1）作轴于，如图1，易得，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用等角的余角相等得到，证明，得到，，所以； （2）与（1）一样的方法可证明，得到，，易得； （3）如图3，和的延长线相交于点，先证明得到，再利用对称性质得，进而得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于， ，， ，， 是等腰三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． （2）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）证明：如图3，延长与的延长线相交于， ， 轴， ， ， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ． 35．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）由题意得，，再分点在上和点在的延长线上两种情况解答即可； （）设点，由平移的性质得，过点作轴于，可得，，进而得到，即得到，再根据得，解方程即可求解； 本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，轴于，轴于， ∴，， 由题意得，，， 当点在上，即时，则， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在的延长线上，即时，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的取值范围为或； （3）解：设点，则， ∵，， ∴由平移的性质得，， 过点作轴于，如图， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第84页，共97页 试卷第85页，共97页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 第二十三章旋转综合压轴题分类训练 目录概览 题型1 定值问题 题型2 最值问题 题型3 线段问题 题型4面积问题 题型5角度问题 题型6坐标中的旋转问题 题型7坐标中的动点问题 题型演练 题型1 定值问题 1．如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板(含)，将三角板(含)绕点A顺时针方向旋转一个大小为的角，试问： (1)当___________度时，能使图2中的． (2)当旋转到与重叠时（如图3），则___________度． (3)当时，连接（如图4），探求是否是一个定值，如果是，求这个定值，并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 2．如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 3．如图，点，，且，满足． (1)如图，求，的值； (2)如图，点在线段上不与、重合移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若点为轴正半轴上异于原点、点的一个动点，连接，作于点，点在第一象限，且，直线交轴于点，当点在轴正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 4．如图1，在中，，，，，且，将绕一点按逆时针方向旋转到的位置，点，，的对应点分别为，，，其中，，在同一直线上，连接． (1)求的度数； (2)用不同的方法计算梯形的面积，并以此说明，，之间的数量关系； (3)如图2，取的中点，将梯形分别沿直线、翻折，点、同时落在上的点处，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 5．如图，点，，且a，b满足．    (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若点P为x正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，当点P在x正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 题型2 最值问题 6．（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 7．小张同学对图形旋转前后线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． 在中，，M是平面内任意一点，将线段绕点A按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)如图1，若点M是线段上的任意一点，判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E是延长线上的点，若点M是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． (3)如图3，在中，，，，点P是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小． 8．问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 (2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 9．【发现奥秘】 (1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______． 【解法探索】 (2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接） 【拓展应用】 (3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值． 10．问题的提出：如果点是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点到的三顶点的距离之和的值为最小？ (1)问题的转化：把绕点逆时针旋转得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图甲证明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′ (2)问题的解决：当点到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时点的位置__________． (3)问题的延伸：图乙是有一个锐角为的直角三角形，如果斜边为2，点是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 题型3 线段问题 11．[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 12．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 13．在中，，D是平面内一点，连接．将绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到，且满足，连接． (1)如图1，，D是边上一点，求的度数； (2)如图2，D是平面内一点，F是的中点，连接．猜想与存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； (3)在（2）的条件下，若，在直线上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 14．如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 15．如图1，在中，，,点D，E分别在边，，连接，，点F是线段中点,连接交于点H． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ______，位置关系是_____； (2)探究证明：把处点C逆时针旋转α．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 (3)拓展延伸∶把绕点C旋转，当点D旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 题型4面积问题 16．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 17．已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 18．已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 19．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 20．如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 题型5角度问题 21．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 22．如图，在平面直角坐标系，点A、B的坐标分别为，，且，将点B向右平移24个单位长度得到C．    (1)求A,B两点的坐标： (2)点P，Q分别为线段，两个动点，P自B点向C点以2个单位长度/秒向右运动，同时点Q自A点向O点以4个单位长度/秒向左运动，设运动的时间为t，连接，当恰好平分四边形的面积时，求t的值： (3)点D是直线上一点，连接，作，边与的延长线相交于点E，平分平分，当点Q运动时，的度数是否变化?请说明理由． 23．在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点G，过点C作于点F． (1)如图1，当旋转时，若，求的长； (2)如图2，当旋转时，连接，，延长交于点E，连接，求证：； (3)如图3，点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，若，请直接写出的面积． 24．已知在中，，四边形是正方形，H为所在的直线与的交点． 问题解决： (1)如图1，当点F在上时，请判断和的关系，并说明理由． 问题探究： (2)如图2，将正方形绕点C旋转，当点D在直线右侧时，求证：； 问题拓展： (3)将正方形绕点C旋转一周，当时，若，请直接写出线段的长．    25．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 题型6坐标中的旋转问题 26．如图1，在平面直角坐标系中，点． (1)探究 与之间的关系； (2)点D在x轴上，且，连接，把线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点E的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，连接，把线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点B作于点G，交于点H． ① 求点F的坐标； ② 求证：． 27．如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 28．平面直角坐标系中，，且． (1)求点、坐标； (2)若是直线上一点，且，求点坐标； (3)如图，当时有．若射线以每秒9度的速度顺时针绕点旋转，射线以每秒6度的速度逆时针绕点旋转，两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动，求多少秒时，与互相垂直． 29．定义：如图1，在平面直角坐标系中，，两点位置不同，将点绕着点顺时针旋转后得到点，称点为点关于点的顺时针“垂直关联点”，将点绕着点逆时针旋转后得到点，称点为点关于点的逆时针“垂直关联点”． (1)如图2，已知点坐标为，点坐标，求出点关于点的逆时针“垂直关联点”坐标．小明提出连接，作，使，点为点关于点的逆时针“垂直关联点”，作轴于点，作轴于点，可以证明，则，，则点关于点的逆时针“垂直关联点”坐标为________； (2)如图3，已知直线与轴，轴分别交于，两点，求出点关于点的顺时针“垂直关联点”的坐标； (3)如图4，已知直线与轴，轴分别交，两点，点在第二象限内，点坐标为，若点关于点的“垂直关联点”刚好落在直线上，求点关于点的“垂直关联点”的坐标． 30．【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 题型7坐标中的动点问题 31．在平面直角坐标系中，已知点在x轴的负半轴上，点在y轴的正半轴上． (1)如图1，过点B作，且，连接，点C在第一象限，若实数a、b满足：，请直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图2，在x轴上一点，于点N，连接，求证：平分； (3)如图3，若，，点在x轴正半轴上，于点Q，连接，当平分时，求m的值及的面积． 32．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 33．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)当时，请直接写出点坐标与； (2)连接，当时，求点坐标； (3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标并求的值；若不存在，请说明理由． 34．如图，中，，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． (1)如图1所示，点坐标为，点坐标为，求点的坐标 (2)如图2所示，过作轴于，求证：； (3)如图3所示，若轴恰好平分，与x轴交于点，过作轴于，求证：． 35．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 第2页，共23页 第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $