第二十二章二次函数应用题压轴分类训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数应用题压轴分类训练 目录概览 题型1 销售问题 题型2 拱桥问题 题型3 图形问题 题型4喷水问题 题型5投球问题 题型6图形运动问题 题型7其他问题 题型演练 题型1 销售问题 1．某宾馆有40个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天220元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于300元，设每个房间的房价增加元（为10的正整数倍）． (1)设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式（无需写自变量的取值范围）； (2)设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)一天订住 32个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是8960 元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握配方法求二次函数的最值是解答此题的关键，不考虑自变量的范围是易错点． （1）根据当每个房间每天房价增加 10 元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）根据题意，宾馆一天的利润每个房间的利润订住的房间数； （3）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题，得， 故与的函数关系式为； （2）解：设宾馆一天的利润为元， ， ∴与的函数关系式为：； （3）解：∵， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵每个房间每天的房价不得高于 300 元， ， ， ∴时，取得最大值，此时，此时， 答：一天订住 32个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是8960 元． 2．某网店推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)当销售单价为多少时，每天获得的利润为3000元？ (3)若销售单价不低于60元且不高于70元，当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为元或元时，每天获得的利润3000元； (3)当销售单价为60元时，每天获得的利润最大，最大值为3000元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据利用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意得到利润为，根据每天获得的利润3000元得到一元二次方程，解方程即可； （3）设利润为，根据题意可得，即，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为； 将代入得： 解得 y与x之间的函数关系式为； （2）由题意可得，利润为， 则， 解得 答：当销售单价为元或元时，每天获得的利润3000元； （3）设利润为，则， 即 ，开口向下 对称轴为，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∴ 则把代入，得 当销售单价为60元时，每天获得的利润最大，最大值为3000元． 3．某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． (1)若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； (2)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】(1)175，3500 (2)（且为整数） (3)当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元 【分析】本题考查一元二次函数的实际应用： （1）根据题意直接求解即可； （2）根据题意每件商品的售价上涨x元，则每件利润为元，销量减少为件，从而可求出总利润y，根据每件单价不能高于70元可求x的范围； （3）根据二次函数图像的性质即可求出最大利润及此时的销售定价． 【详解】（1）解：若上涨5元，每个月可卖出（件）， 每个月的销售利润为（元）， 故答案为：175，3500； （2）解：由题意得：， 由知， 又为正整数， 故（且为整数）； （3）解：二次函数图像的对称轴为， ， ∴二次函数图像开口向下， 根据二次函数图像的对称性可知，当或时，二次函数取到最大值， ∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元． 4．重庆市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮．景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚． (1)设每一枚纪念币降价元，则每天可销售_____枚（用含的代数式表示出来）； (2)若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元？ (3)当纪念币销售单价定为多少元时，该景区一天内销售这种纪念币获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)降价6元 (3)销售单价定为34元时，该景区一天内销售这种纪念币获得的利润最大，最大利润是3920元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据题意列出代数式即可； （2）设每一枚纪念币降价x元，则每天可售出纪念币枚，依题意得，然后解方程并检验即可； （3）设每一枚纪念币降价x元，利润为元，依题意，得，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：每一枚纪念币降价x元，则每天可销售枚， 故答案为：； （2）解：设每一枚纪念币降价x元，则每天可售出纪念币枚， 依题意得：， ∴， 解得：，， ∵想尽可能地减少库存， ∴取， 答：每枚纪念币应降价6元． （3）解：设每一枚纪念币降价x元，利润为元， 依题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，y有最大值为为3920， ∴当纪念币销售单价定为元时，该景区一天内销售这种纪念币获得的利润最大，最大利润是3920元． 题型2 拱桥问题 5．某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)桥拱所在抛物线的解析式为，的宽为米； (2)的宽为米； (3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设桥拱所在抛物线的解析式为，由题意得，，然后代入即可求解； （）根据题意求出米，然后通过线段和差即可求解； （）在抛物线中当时，，然后与比较即可． 【详解】（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为， 由题意得，，， ∴，解得， ∴桥拱所在抛物线的解析式为， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的宽为米； （3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由， 当时，， ∵， ∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过． 6．某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 【答案】(1) (2)这辆货运汽车能安全通过 (3)两排灯的水平距离最小是 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，再把点代入计算，即可作答． （2）理解题意，得出货运汽车的另一侧与地面交点的横坐标为2或10，再把或分别代入，进行计算，即可作答． （3）把代入进行计算，得， ，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵隧道宽度为12米，最高处离地面10米， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为， ∵长方形宽为4米 ∴抛物线经过点， 把代入， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， 即该抛物线的表达式为， （2）解：由（1）得抛物线的顶点为 ∵一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为，隧道内设双向车道， ∴货运汽车靠路面中心线行驶时，或 则其另一侧与地面交点的横坐标为2或10， ∴当时，， 当时，． ∴这辆货运汽车能安全通过． （3）解：由（1）得， 依题意，令，则， ∴， 解得， ， 则， ∴两排灯的水平距离最小是． 7．如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②点E在水平面上方，见解析． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． （2）①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 8．小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 【答案】(1) (2)抛物线的表达式为 (3)卡车载物后的限高应是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，合理分析图象信息是解题的关键． （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标，根据卡车宽求出点F的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． 【详解】（1）解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； ∵卡车宽为， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为：，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵卡车宽为米， ∴时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的最大高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 题型3 图形问题 9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为．设饲养室长为，占地面积为． (1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图2，若要求在图中所示位置留宽的门，请通过计算，判断占地面积能否达到？ 【答案】(1)当饲养室长时，占地面积最大 (2)占地面积不能达到，过程见详解 【分析】此题主要考查了由实际问题列二次函数关系式以及二次函数的最值问题，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题. （1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积长宽计算，再根据二次函数的性质分析即可； （2）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积长宽计算，再根据二次函数的性质分析即可， 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴当时，占地面积y最大， 即当饲养室长时，占地面积最大. （2）解：根据题意可得， ∴当时，占地面积y最大， 即当饲养室长为时，占地面积最大，为338. ∴占地面积不能达到. 10．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 【答案】(1)栅栏的长为米 (2)矩形围栏面积存在最大值，的长为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）设矩形围栏面积为，首先得到，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设栅栏长为米， 米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为米； （2）解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下： 设矩形围栏面积为， 根据题意得，， ， ， ， 当时，即米时，有最大值． 11．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (3)当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； (2)不能围成一个面积为的羊圈； (3)为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 【分析】本题考查一元二次方程解决应用题及二次函数解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． （1）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （2）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （3）设面积为表示出与出解析式，结合函数性质直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 解得：，， 答：能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； （2）解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴不能围成一个面积为的羊圈， 答：不能围成一个面积为的羊圈； （3）解：设面积为，由题意可得， ， ∵， ∴当时，最大，， ∴为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 12．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当时，矩形实验田的面积S能达到， (3)当时，S有最大值 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键； （1）根据，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式； （2）先求出x的取值范围，再将代入函数中，求出x的值； （3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ； ， ， ， ， 即， ， ； （2）解：当时，， 即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积S能达到； （3）解：将函数解析式化为顶点式可得： ， 当时，S有最大值． 题型4喷水问题 13．随着生活水平发展，小车已进入千家万户．洗车时喷水器喷出的水抽象而成抛物线，如图，抛物线是某喷水器喷出的水抽象而成（AB是最近点，是最远点），抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，且点均在坐标轴上． (1)若，求抛物线表达式，并指出的取值范围； (2)求抛物线表达式并指出的取值范围； (3)在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为米，的取值范围_____（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）把和点代入解析式，待定系数法求解析式，令，求得点的坐标，进而求得的范围； （2）设抛物线由抛物线向左平移个单位代入得出，求得平移后的抛物线的解析式，再令，即可求得的坐标，进而求得的范围； （3）由（1）得，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： 把代入， 解得， 抛物线表达式：， 当时，即， 解得：， ， 抛物线表达式：； （2）设抛物线由抛物线向左平移个单位得到， 将代入，得， 解得：（舍去）， 抛物线是由抛物线向左平移4米得到的， 把代入，得： 解得（舍去）， ， 抛物线表达式为： （3）由（1）得，把代入， 得（舍去）， ， ， ； 14．小明家新买了一个高度为的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连续注水，保证鱼缸始终盛满水（水面离鱼缸底部高度即为鱼缸高度）．当在鱼缸侧面离水面竖直距离为（单位：）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系满足关系式：，其中为水面离地面的高度（此处即鱼缸高度）． (1)请写出与的函数关系式，并回答：当为何值时，射程达到最大值？最大射程是多少？ (2)小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等．若第一个小孔离水面的竖直距离为，第二个小孔离水面的竖直距离为，求与之间的关系式； (3)为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座．若垫高后，射出水的最大射程比原来增加了，则垫高后小孔离水面的竖直距离为_____． 【答案】(1)，当时，射程最远为； (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）把代入函数关系式，即可得出与的关系式，利用二次函数求最值即可； （2）根据两孔射出水的射程相同，得到，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∵， ∴当时，函数值最大为900， ∴的最大值为； 故当时，射程最远为； （2）由（1）知：， 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）设垫高的高度为，由题意，得， ∴当时，最大为，此时最大为， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 16．秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一． 某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求水管的长度， (2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与之间的水平距离， ②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？ 【答案】(1)水管的长度为 (2)①景观射灯与之间的水平距离为；②水管要下降 【分析】该题考查了二次函数的应用． （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令求出y值，即可求解； （2）①把代入解析式，即可求解； ②求出降低水管后的水柱所在抛物线的解析式，然后代入求出y值，然后求出解答即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点N的坐标为，点B的坐标为， ∴设第一象限抛物线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴第一象限抛物线的解析式为． ∵当时，， ∴． 答：水管的长度为． （2）解：①当时，， ， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：景观射灯与间的水平距离为． ②设降低水管后，水柱所在的抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴． 当时，， ∴， 答：水管要下降． 题型5投球问题 17．一名运动员第一次在距离篮圈中心（水平距离）远处跳起投篮，篮球在空中运行的路线为一条抛物线球出手点距离地面，在与运动员水平距离为的空中到达最大高度，篮圈中心点距离地面约，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运行路线所在抛物线的解析式． (2)该运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心，请你通过计算说明理由． (3)该运动员在相同位置再次运球准备投篮时，吸引到对方防守人员前来拦截，该运动员立即运球后撤、跳起投篮，篮球经过篮圈中心若该运动员在第二次投篮时的出球高度、角度和力度都与第一次一样，求他后撤的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)他后撤的距离为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）设篮球运行路线所在抛物线的解析式为，将点代入求出，即可得出答案； （2）当时，求出值，比较即可得出答案； （3）将代入求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得点， 设篮球运行路线所在抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， 篮球运行路线所在抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，得点坐标为， 当时，， 点不在篮球运行路线上，即运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心． （3）解：令，得． 解得：，舍去． ， 答：他后撤的距离为． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键； （1）依据题意，由点是抛物线上一点，则，从而计算可以得解； （2）依据题意，由，从而可以判断得解； （3）依据题意可得直线的解析式为，设这束红外线的长度为，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：点是抛物线上一点， ． ． （2）解：， 抛物线最高点的坐标为． （3）解：设直线的解析式为：， 将代入中， 得，解得：， 直线的解析式为． 设这束红外线的长度为，则． ， 小球飞行过程中这束红外线的最大长度为． 19．佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，平移规律： （1）先根据题意建立平面直角坐标系，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，以为原点，为轴，建立如图所示直角坐标系， ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 20．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，水平距离x（单位：）近似满足函数关系，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/ 0 2 m 6 8 竖直距离y/ 1.67 2.63 2.95 2.63 n (1)填空：______，______； (2)填空：实心球竖直高度的最大值为______； (3)求出满足的函数关系． 【答案】(1)4，1.67 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表格数据的特点，可求出抛物线的对称轴为直线，即，然后把，；，代入，可求出a、k的值，然后把，分别代入即可求出m、n的值； （2）根据（1）中函数解析式并结合二次函数的性质求解即可； （3）根据（1）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵当和时，y的值都为2.63， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把，；，代入， 得， 解得， ∴， ∴当时，， 解得， ∴， 当时，， 故答案为：4，1.67； （2）解：由（1）知：当时，y有最大值为2.95， ∴实心球竖直高度的最大值为； （3）解：由（1）知：． 题型6图形运动问题 21．在中，，点从点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)求四边形的面积与的关系式，并求出为何值时，最大，并求出最大值． (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；当时，S有最大值，最大值为； (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，列代数式，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可用含t的式子表示出线段的长，进而可得线段的长； （2）求出的面积，根据列出对应的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）由线段垂直平分线的性质得到，则由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，； （2）解：∵， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴当时，S随t的增大而增大， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； （3）解：当点P在线段的垂直平分线上时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）． ∴当时，点P在线段的垂直平分线上． 22．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 【答案】(1) (2)当秒时,的长度等于 (3)①；②2；48． 【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，勾股定理，二次函数的应用等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）利用勾股定理构建方程即可解决问题； （3）①根据，利用面积公式即可解决问题；②根据①中所求函数表达式，利用二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴当秒时,的长度等于； （3）解：①根据题意得，，，，，，， ∴ ， 故答案为：； ②由①可知，， ∵， ∴当秒时，取得最小值，最小值为， 故答案为：2，48． 23．如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒． (1)求证：； (2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，y有最大值是；即面积的最大值是 【分析】（1）过E作，交于M，交于N，则，结合正方形的性质，先证明，再证明，得到，即可得证； （2）由勾股定理得，根据题意得，，由（1）知：，从而得出，再根据，即可求出解析式； （3）利用配方法求二次函数最大值即可． 【详解】（1）证明：过E作，交于M，交于N，则， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：在中，由勾股定理得：， E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动， ，， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 当时，y有最大值是；即面积的最大值是． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，难度适中，熟练掌握正方形中利用辅助线构建全等来解决问题是本题的关键． 24．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 题型7其他问题 25．某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行． 若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求两段路径所在函数解析式； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)，； (2)两个位置之间的距离 【分析】此题考查了二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴，， 解得，， ∴函数解析式分别为：，； （2）解：， ∴最大值， 当时，则， 解得，， 又∵时，， ∴当时，则． 解得， ， ∴这两个位置之间的距离． 26．一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间（单位：） … 滑行速度（单位：） … 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度与滑行时间之间满足一次函数关系．滑行距离平均速度时间，，其中是初始速度，是秒时的速度． (1)直接写出关于的函数解析式以及关于的函数解析式； (2)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (3)求飞机滑行的最远距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数和一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，求自变量值，理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求解，令， 即可求出的取值范围；根据滑行距离平均速度时间，，将所求得的关于的函数解析式代入即可得到与时间的关系式； （2）令，解一元二次方程即可得解的值，将的值代入关于的函数解析式中即可求得此时飞机的滑行速度； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，由题意可得： ， 解得， ， ， ， 解得， ， ； （2）解：当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，即时， 有， 整理得， 解得或（舍去）， 此时， 答：此时飞机的滑行速度是． （3）解：， ， 当时，取最大值，， 飞机滑行的最远距离为． 27．综合与实践 【问题情境】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”． 【建模分析】锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，把锅纵断面的抛物线记为中，把锅盖纵断面的抛物线记为． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)锅盖能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质。 （1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据炒菜时锅的水位高度是，建立方程求解，即可解题； （3）将底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直居中放入炒菜锅内，得到时，的函数值，进而得到其函数值之差，将差与圆柱形器皿的高进行比较，即可解题。 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题知， 解得， 即抛物线的解析式为； （2）解：炒菜时锅的水位高度是， 此时， 将代入中， 有， 解得， 此时水面的直径为； （3）解：锅盖能正常盖上，理由如下： 将底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直居中放入炒菜锅内， 当时，，，， ， 锅盖能正常盖上； 28．用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物． 试卷第42页，共43页 试卷第43页，共43页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数应用题压轴分类训练 · 目录概览 题型1 销售问题 题型2 拱桥问题 题型3 图形问题 题型4喷水问题 题型5投球问题 题型6图形运动问题 题型7其他问题 · 题型演练 · 题型1 销售问题 1．某宾馆有40个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天220元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于300元，设每个房间的房价增加元（为10的正整数倍）． (1)设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式（无需写自变量的取值范围）； (2)设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 2．某网店推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)当销售单价为多少时，每天获得的利润为3000元？ (3)若销售单价不低于60元且不高于70元，当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 3．某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． (1)若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； (2)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 4．重庆市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮．景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚． (1)设每一枚纪念币降价元，则每天可销售_____枚（用含的代数式表示出来）； (2)若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元？ (3)当纪念币销售单价定为多少元时，该景区一天内销售这种纪念币获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型2 拱桥问题 5．某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 6．某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 7．如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 8．小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 题型3 图形问题 9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为．设饲养室长为，占地面积为． (1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图2，若要求在图中所示位置留宽的门，请通过计算，判断占地面积能否达到？ 10．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 11．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (3)当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？ 12．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 题型4喷水问题 13．随着生活水平发展，小车已进入千家万户．洗车时喷水器喷出的水抽象而成抛物线，如图，抛物线是某喷水器喷出的水抽象而成（AB是最近点，是最远点），抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，且点均在坐标轴上． (1)若，求抛物线表达式，并指出的取值范围； (2)求抛物线表达式并指出的取值范围； (3)在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为米，的取值范围_____（直接写出结果）． 14．小明家新买了一个高度为的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连续注水，保证鱼缸始终盛满水（水面离鱼缸底部高度即为鱼缸高度）．当在鱼缸侧面离水面竖直距离为（单位：）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系满足关系式：，其中为水面离地面的高度（此处即鱼缸高度）． (1)请写出与的函数关系式，并回答：当为何值时，射程达到最大值？最大射程是多少？ (2)小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等．若第一个小孔离水面的竖直距离为，第二个小孔离水面的竖直距离为，求与之间的关系式； (3)为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座．若垫高后，射出水的最大射程比原来增加了，则垫高后小孔离水面的竖直距离为_____． 15．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 16．秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一． 某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求水管的长度， (2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与之间的水平距离， ②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？ 题型5投球问题 17．一名运动员第一次在距离篮圈中心（水平距离）远处跳起投篮，篮球在空中运行的路线为一条抛物线球出手点距离地面，在与运动员水平距离为的空中到达最大高度，篮圈中心点距离地面约，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运行路线所在抛物线的解析式． (2)该运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心，请你通过计算说明理由． (3)该运动员在相同位置再次运球准备投篮时，吸引到对方防守人员前来拦截，该运动员立即运球后撤、跳起投篮，篮球经过篮圈中心若该运动员在第二次投篮时的出球高度、角度和力度都与第一次一样，求他后撤的距离．（结果保留根号） 18．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 19．佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 20．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，水平距离x（单位：）近似满足函数关系，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/ 0 2 m 6 8 竖直距离y/ 1.67 2.63 2.95 2.63 n (1)填空：______，______； (2)填空：实心球竖直高度的最大值为______； (3)求出满足的函数关系． 题型6图形运动问题 21．在中，，点从点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)求四边形的面积与的关系式，并求出为何值时，最大，并求出最大值． (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 23．如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒． (1)求证：； (2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值． 24．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 题型7其他问题 25．某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行． 若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求两段路径所在函数解析式； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 26．一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间（单位：） … 滑行速度（单位：） … 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度与滑行时间之间满足一次函数关系．滑行距离平均速度时间，，其中是初始速度，是秒时的速度． (1)直接写出关于的函数解析式以及关于的函数解析式； (2)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (3)求飞机滑行的最远距离． 27．综合与实践 【问题情境】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”． 【建模分析】锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，把锅纵断面的抛物线记为中，把锅盖纵断面的抛物线记为． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 28．用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 试卷第2页，共18页 试卷第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $