精品解析：山东省德州市庆云县第五中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

庆云县第二中学八年级数学第一次月考试题 2025.10 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡上． 1. 在下列长度中的三条线段中，能组成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三条线段能组成三角形，符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 2. 用我们常用的三角板，作的高，下列三角板位置放置正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【详解】A、B、C都不是△ABC的边上的高． 故选：D． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 3. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案． 【详解】在和中 ， ∴， ∴，即是这个角的平分线， 故选A． 4. 如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用方位角求角度，涉及三角形内角和定理． 如图所示，由题意得，，，求得，再利用三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示： 由题意得，，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，理解并掌握三角形内角和定理是解题关键．根据题意，设，结合三角形内角和定理解得的值，进而确定的值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴，解得， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 6. 如图，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，三角形外角和定理等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知，，结合三角形内角和定理可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，， 又∵， ∴． 故选：A． 7. 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】证明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性质可得HQ=PQ=2，从而求出MQ，即可解决问题． 【详解】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM， ∴∠NQH=∠NRP=∠HRM=90°， ∵∠RHM=∠QHN， ∴∠PMH=∠HNQ， 在△MQP和△NQH中， ， ∴△MQP≌△NQH（ASA）， ∴HQ=PQ=2， ∴QN=QM=MH+QH=5， ∴PN=PQ+QN=7， 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 8. 如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则__． 【答案】116 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据折叠的性质得出，，再由三角形内角和定理得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可． 【详解】∵，将沿折叠后，点A落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：116． 9. 如图，在中，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，连接，，首先根据直角三角形的性质，可求得，再根据作法可知：，，根据全等三角形的判定与性质，即可求解． 【详解】解：如图：连接，， 在中，，， ， 由作法可知：，， ， ， ∴, 故选：A． 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 二、填空题：本题共5小题，共20分，请把答案写在答题卡上． 11. 一个等腰三角形的边长为6cm，周长为20cm，则其他两边长为____________． 【答案】8cm、6cm或7cm、7cm 【解析】 【分析】已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【详解】解：若底边长为6cm，则腰长为：（20﹣6）÷2＝7，所以另两边的长为7cm，7cm，此时能构成三角形； 若腰长为6cm，则底边长为：20﹣6×2＝8，所以另两边的长为8cm，6cm，此时也能构成三角形． 故答案为：8cm、6cm或7cm、7cm 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，正确分类、熟练掌握基本知识是解题的关键． 12. 如图，，，要使，则可添加的一个条件是____________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是_____． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性的应用是解题的关键． 根据三角形的稳定性作答即可． 【详解】解：由题意知，蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 14. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 15. 当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角称为“倍角”.若“倍角三角形”中有一个内角为36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是________________. 【答案】72°、96°、36°. 【解析】 【分析】“倍角三角形”中有一个内角为36°，则有三种情况：①另两个角为72°、72°，72°为倍角；②另两个角分别为48°、96°，96°为倍角；③另两个角分别为18°、126°，36°为倍角，分别求解即可． 【详解】解：∵“倍角三角形”中有一个内角为36°， ∴有三种情况： ①三角形的三个内角为：36°、72°、72°，另两个角为72°、72°，72°为倍角； ②三角形的三个内角为：36°、48°、96°，另两个角分别为48°、96°，96°为倍角； ③三角形的三个内角为：36°、18°、126°，另两个角分别为18°、126°，36°为倍角， 【点睛】本题考查了三角形内角和定理知识，熟知三角形内角和为180°是解题的关键。 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线．已知∠B=40°，∠C=70°.求∠DAE的度数. 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC中由三角形内角和定理可求得∠BAC，由角平分线的定义可求得∠BAE，再利用三角形外角的性质可求得∠AED，在Rt△ADE中由直角三角形的性质可求得∠DAE． 【详解】解：∵∠B=40°,∠C=70°， ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−70°=70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=35°， ∴∠AED=∠B+∠BAE=40°+35°=75°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAE=90°−∠AED=90°−75°=15°， 即∠DAE为15°. 17. 如图，点C是线段的中点，，．求证：． 【答案】 证明：∵点C是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点C是线段的中点得出，再利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】略 18. 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD． （1）求证：∠BAC＝∠EAD； （2）写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明． 【答案】（1）证明：在△ABE和△ACD中, ∵AB=AC，AD=AE，BE=CD ∴△ABE≌△ACD(SSS), ∴∠BAE=∠CAD. ∴∠BAE+ EAC=∠CAD+ EAC . ∴∠BAC=∠EAD. (2) ∠3=∠1+∠2; 理由如下：由图中知， ∠3=∠ABE+∠BAE 又由（1）中知△ABE≌△ACD， ∴ ∠ABE=∠2   ,   ∠BAE=∠1 ∴ ∠3=∠1+∠2 【解析】 【分析】（1）根据SSS证△BAE≌△CAD，推出∠BAE=∠CAD即可； （2）根据全等三角形性质推出∠1=∠BAE，∠2=∠ABE，代入∠3=∠BAE+∠ABE求出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形外角的性质，注意：全等三角形的对应角相等． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴ 20. 如图，用直尺和圆规在直线上找到一点，使点到的两边的距离相等． 【答案】 如图，点即为所作． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法是解题的关键． 作的角平分线交于，根据角平分线的性质可判断点满足条件． 【详解】略 21. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD. （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求证：AB+AD=2AE. 【答案】 （1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°， 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ∴△BCE≌△DCF； （2）证明：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴∠F=∠CEA=90°， 在Rt△FAC和Rt△EAC中，， ∴Rt△FAC≌Rt△EAC， ∴AF=AE， ∵△BCE≌△DCF， ∴BE=DF， ∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE. 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL． 22. 学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； 测得，； 在的延长线上取点，使得； 测得的长度为米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．证明，得出，根据，求出米． 【详解】解：，， ， ∵ ， 在与中， ， ， 又， 米． 23. 【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2） ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）21 【解析】 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ∵，， ，， ， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，过点作于，如图所示：   ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庆云县第二中学八年级数学第一次月考试题 2025.10 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡上． 1. 在下列长度中的三条线段中，能组成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 用我们常用的三角板，作的高，下列三角板位置放置正确的是(　　) A. B. C. D. 3. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6. 如图，的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 8. 如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则__． 9. 如图，在中，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共5小题，共20分，请把答案写在答题卡上． 11. 一个等腰三角形的边长为6cm，周长为20cm，则其他两边长为____________． 12. 如图，，，要使，则可添加的一个条件是____________．（写出一个即可） 13. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是_____． 14. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 15. 当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角称为“倍角”.若“倍角三角形”中有一个内角为36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是________________. 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线．已知∠B=40°，∠C=70°.求∠DAE的度数. 17. 如图，点C是线段的中点，，．求证：． 18. 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD． （1）求证：∠BAC＝∠EAD； （2）写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 如图，用直尺和圆规在直线上找到一点，使点到的两边的距离相等． 21. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD. （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求证：AB+AD=2AE. 22. 学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； 测得，； 在的延长线上取点，使得； 测得的长度为米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 23. 【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $