精品解析：辽宁省部分学校2026届高三上学期10月联考数学试卷

数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】集合，即. 集合，所以. 故选： 2. 若函数的最小正周期为，则（ ） A. 8 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可得的最小正周期，则，解得． 故选：C. 3. 为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解. 【详解】， 只需要将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象， 故选：D 4. 函数在上的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析奇偶性，可排除两个选项C、D，再对特殊点进行分析，排除A即可. 【详解】因为， 所以为偶函数，排除C，D； 又因为，所以排除A. 故选：. 5. “”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式恒成立求出的取值范围，根据充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】由的定义域为，得. 当时，40恒成立； 当时，由解得. 所以当函数的定义域为时，的取值范围为，， 所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件. 故选：B 6. 已知函数，且在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，对数函数的单调性以及二次函数的单调性列不等式，即可得到答案. 【详解】由题意得， 得. 故选：C 7. 某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 80米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，进而利用余弦定理求解即可. 【详解】根据题意画出图形，如下图所示： 设米，则米，米，米， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 解得或（舍去），则米. 故选：C 8. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，判断的单调性，然后对不等式进行变形化简，进而得出结果. 【详解】设函数，因为是上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增. 不等式，即不等式. 因为，所以，所以， 则不等式等价于不等式， 所以，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，若，则，不满足，故A错误. 对选项B，若，则，故B正确. 对选项C，因为，所以，， 所以，所以，故C正确. 对选项D，因为，由B知：，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 若函数在上有最小值而没有最大值，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求的取值范围，进而结合的图象列不等式组求解. 【详解】由，得． 因为，所以，， 作出在上的图象，如图所示， 依题意可得，，解得． 故选：BCD 11. 已知，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】构造函数，利用导数法得到的单调性，求，与0的大小，从而得到与的大小；构造函数，利用导数法得到的单调性，求出，从而得到与的大小，从而得解. 【详解】设，则. 由，得， 由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，所以，则. 因为，， 所以，，则，即，即. 设，则. 当时，，则在上单调递减， 所以， 所以，即. 综上，. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得，再结合基本不等式即可解题. 【详解】因为， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的值域是. 故答案为： 13. 若函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，则，再利用导数的概念求解即可． 【详解】因为，， 所以． 故答案为：． 14. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调区间来求解参数范围即可. 【详解】由可得：， 因为正弦函数的单调递增区间是， 所以，解得：， 由解得：， 因为，所以当时，有， 当时，有， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且. （1）求的值， （2）若，且的面积为3，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得出，结合角的取值范围应用同角三角函数关系可求得的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，又因为， 所以， ，则，可得. 【小问2详解】 由已知可得，则， 由余弦定理可得， 所以， 所以，因此的周长为. 16. 已知两点分别在函数且与的图象上，直线与轴垂直，点在点的上方，且.设函数. （1）求的解析式； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2）当时，， . 因为， 所以. 因为函数在上单调递增，所以 【解析】 【分析】（1）根据图象上的点，代入可得，再由求即可得解； （2）根据对数运算化简后，转化为比较真数大小，利用作差法比较即可. 【小问1详解】 因为在的图象上，所以， 解得. 因为直线与轴垂直，且， 所以， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）求图象的对称中心的坐标， （2）求在上的值域， （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开，再由辅助角公式得到，再由整体代入法即可求解； （2）由，得到，再结合正弦函数的性质即可求解； （3）令，问题转换成对任意的，不等式恒成立，由二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ， 令， 解得：， 所以图象的对称中心的坐标为； 【小问2详解】 因为，所以， 当，即时，取得最大值，； 当，即时，取得最小值，； 所以在上的值域是 【小问3详解】 设， 则对任意的，不等式恒成立，等价于： 对任意的，不等式恒成立， 所以， 解得：， 即的取值范围是. 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）将原不等式化简可得，则构造函数可得，结合范围及单调性计算可得，再计算范围即可得. 【小问1详解】 当时，，则， ，又， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由题意可得在时恒成立， 则 ， 则，即有， 令，则， 即有对任意恒成立， ，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则， 当时，，则， 则当时，有对任意恒成立， 当时，若，则； 综上可得，则对任意恒成立， 当时，，又在上单调递增， 则，则. 19. 已知函数. （1）讨论的图象与直线的交点个数. （2）已知函数有五个不同的零点，且. ①求的取值范围； ②比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1）当时，的图象与直线的交点个数为0； 当或时，的图象与直线的交点个数为1； 当时，的图象与直线的交点个数为2. （2）①； ②，理由如下： 由①可得 所以16. 易得，构造函数， 则 ， 当时，得，得，则在上单调递增. 因为，所以，得. 又在上单调递减， 所以，得. 又， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数判断单调，然后利用数形结合，即分类可得交点个数； （2）①利用零点概念求解第一段函数零点，第二段函数利用复合函数思想，结合二次方程根的分布来确定参数范围； ②利用复合函数变量分析，把要证明的不等式进行化简，再构造函数，利用导数，结合单调性进行证明即可. 【小问1详解】 由题意求导可得. 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 则. 当时，，当时，，当时，. 所以的大致图象如图所示. 当时，的图象与直线的交点个数为0； 当或时，的图象与直线的交点个数为1； 当时，的图象与直线的交点个数为2. 【小问2详解】 ①当时，由，解得或. 因为，所以. 当时，有三个零点，令，则有两个不同的实数根， 由（1）可得二次方程根的分布：或 当时，则. 当时，，解得：. 综上可得，的取值范围为. ②略 【点睛】方法点睛：（1）利用导数判断单调性，再通过数形结合，分类讨论可得到零点个数； （2）①通过复合函数思想，利用二次方程根的分布来求参数的范围； ②利用构造函数来分析不等式，从而可得到证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的最小正周期为，则（ ） A. 8 B. 2 C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 函数在上的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，且在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 80米 8. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 若函数在上有最小值而没有最大值，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是__________. 13. 若函数，则______． 14. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且. （1）求的值， （2）若，且的面积为3，求的周长. 16. 已知两点分别在函数且与的图象上，直线与轴垂直，点在点的上方，且.设函数. （1）求的解析式； （2）证明：当时，. 17. 已知函数. （1）求图象的对称中心的坐标， （2）求在上的值域， （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的图象与直线的交点个数. （2）已知函数有五个不同的零点，且. ①求的取值范围； ②比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $