精品解析：云南省昆明市官渡区云大附中星耀学校2025-2026学年上学期九年级数学期中模拟测试

2025～2026学年云大附中星耀学校 初三年级数学期中模拟测试 一、选择题 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 4. A(-3，2)关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ） A. (3，2) B. (-3，2) C. (3，-2) D. (-2，3) 5. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（　　） A. 两枚骰子朝上一面的点数和为6 B. 两枚骰子朝上一面的点数和不小于2 C. 两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D. 两枚骰子朝上一面的点数均为奇数 6. 已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（　　） A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 0或﹣2 7. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，，若，则的度数是（ ） A. 32° B. 60° C. 68° D. 64° 9. 关于的二次函数的图像过原点，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 10. 如图，四边形内接于， 经过圆心，，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 若，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 12. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ） A. 2m B. 6m C. 8m D. 10m 13. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 14. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 如图是二次函数的图像，其中对称轴为直线，且过点和，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）当时，有最小值为2；（6）当时，．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 17. 如图，将逆时针旋转得到，若，，，则旋转角度是______°． 18. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形，若的半径为1，则这个圆的内接正八边形的面积为______． 19. 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线的图像上，则的值为________________. 三、解答题 20. 用适当的方法解一元二次方程． （1）； （2）． 21. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，A点坐标是，B点坐标是，C点坐标是． （1）将向下平移4个单位，画出平移后的，并写出的坐标； （2）将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出点坐标． 22. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 23. 如图，已知、是的直径，弦于． （1）若cm，cm，求的半径； （2）若，求的度数． 24. 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？ 25. 某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD， ∠AOD=∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； （3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年云大附中星耀学校 初三年级数学期中模拟测试 一、选择题 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简得，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3， 4=4，3＜4， ∴圆与x轴相切，与y轴相交， 故选C． 4. A(-3，2)关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ） A. (3，2) B. (-3，2) C. (3，-2) D. (-2，3) 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的对应的横纵坐标互为相反数可得B点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点C的坐标． 【详解】∵关于原点的对称点是B， ， 关于x轴的对称点是C， 点C的坐标是， 故选A． 【点睛】此题主要考查了两个点关于原点对称和关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（　　） A. 两枚骰子朝上一面的点数和为6 B. 两枚骰子朝上一面的点数和不小于2 C. 两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D. 两枚骰子朝上一面的点数均为奇数 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A、两枚骰子朝上一面的点数和为6为不确定事件，如1+2=3，2+4=6，故不符合题意； B、每枚骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，最小为1，两枚骰子朝上一面的点数和最小为1+1=2，故B正确，是必然事件，符合题意； C、D两枚骰子朝上一面的点数均为偶数、均为奇数为不确定事件，如1，2，故不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（　　） A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 0或﹣2 【答案】A 【解析】 【详解】∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解， ∴4﹣4m+4=0， ∴m=2． 故选A． 7. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 8. 如图，是的直径，，若，则的度数是（ ） A. 32° B. 60° C. 68° D. 64° 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件和圆心角、弧、弦的关系，可知，然后根据对顶角相等即可求解． 【详解】， ． ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、对顶角相等，较简单，掌握基本概念是解题关键． 9. 关于的二次函数的图像过原点，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，关于的二次函数的图像过原点，将坐标代入可得且，解得，从而得到答案． 【详解】解：关于的二次函数的图像过原点， 将坐标代入可得，且二次函数定义知， ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数定义、二次函数图像与性质，根据题意得到且是解决问题的关键． 10. 如图，四边形内接于， 经过圆心，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据圆内接四边形的性质即可得． 【详解】是的直径 四边形内接于 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，熟记圆内接四边形的性质是解题关键． 11. 若，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先求出k的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式判断即可解答． 【详解】解：得，即， ∴方程根的判别式． ∴方程没有实数根． 故选A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 12. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ） A. 2m B. 6m C. 8m D. 10m 【答案】D 【解析】 【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可． 【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， ∴令y=0，则=0， 整理得：x2-8x-20=0， 解得：x1=10，x2=-2（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． 13. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明，再由，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， 又， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：C． 14. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 15. 如图是二次函数的图像，其中对称轴为直线，且过点和，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）当时，有最小值为2；（6）当时，．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，二次函数解析式可化为：， ∴，， ∵抛物线开口向下， ∴，，， ∴，（1）错误； 由图象知抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，（2）正确； ∵， ∴，（3）正确； ∵抛物线过， ∴当时，，（4）错误； 由图像知抛物线的顶点为，开口向下， ∴当时，有最大值，（5）错误； 由图象知，当时，，（6）正确； ∴正确的有（2）（3）（6），三个．   故选：B ． 二、填空题 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再进一步代入计算即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 17. 如图，将逆时针旋转得到，若，，，则旋转角度是______°． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、角的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：根据旋转的性质及可知，≌，旋转角为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 18. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形，若的半径为1，则这个圆的内接正八边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆、三角形的面积的计算、解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 过点作于，得到圆的内接正八边形的圆心角，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， ∵圆的内接正八边形的圆心角为， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正八边形的面积为 故答案为： ． 19. 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线的图像上，则的值为________________. 【答案】 【解析】 【详解】如图，连接OB， ∵四边形OABC是边长为1的正方形， ∴∠BOC=45°，OB=1×= ， 过点B作BD⊥x轴于D， ∵OC与x轴正半轴的夹角为15°， ∴∠BOD=45°-15°=30°， ∴BD=OB= ,OD= , ∴点B的坐标为（,- ）, ∵点B在抛物线的图象上， ∴， ∴， 故答案为-． 三、解答题 20. 用适当的方法解一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键； （1）先求解，再利用公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法化为，再解两个一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 【小问2详解】 解：； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 21. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，A点坐标是，B点坐标是，C点坐标是． （1）将向下平移4个单位，画出平移后的，并写出的坐标； （2）将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出点坐标． 【答案】（1）即为所求； （2）即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换． （1）根据平移的性质确定A、B、C的对称点、、的位置，然后连线，再根据的位置可得坐标． （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点、即可得到，再根据的位置可得坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%；（2）4147．2元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2=3456， 解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）=4147．2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147．2元． 考点：一元二次方程的应用． 23. 如图，已知、是的直径，弦于． （1）若cm，cm，求的半径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）10cm；（2）30° 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理列方程即可求出半径； （2）结合圆周角和圆心角的性质即可解题． 【详解】（1）设半径为r ∵弦， ∴ ∵ ∴ 在△DOE中， ∴ 解得 即的半径为10cm． （2）连接BD ∵是的直径 ∴ ∴ ∵弦 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查圆的基本性质，熟练利用垂径定理以及圆周角圆心角之间的关系进行角度转换是解题的关键． 24. 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？ 【答案】 （1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 用树状图表示所有可能出现的结果如下：     （2）由（1）的表格可知，共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种， ∴P（小杰胜）＝，P（小玉胜）＝， ∴游戏是公平的． 【解析】 【分析】（1）分别使用树状图法或列表法将所有可能出现的结果表示出来，转盘共有3种不同的抽取情况，摸球同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种； （2）通过（1）所列出的表格或是树状图表示的结果，统计“和为3的倍数”、“和为7的倍数”出现的次数，并算出概率，通过概率的比较得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将转盘、摸球所可能发生的情况一一列出，避免遗漏，并通过对可能发生的结果进行统计，计算出游戏各赢法所对应的概率． 25. 某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的应用． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将、代入得，， 解得，， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题意得，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，， 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 26. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD， ∠AOD=∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明:连结OP,∵PD⊥BE,如图. ∴∠OCD=90°， ∴∠ODC+∠COD=90°， ∵OD=OP， ∴∠ODC=∠OPC， ∵∠COD=∠APC， ∴∠OPC+∠APC=90°， ∴∠APO=90°,即AP⊥PO， ∵P在⊙O上,∴AP是⊙O的切线. （2） 【解析】 【分析】（1）连接OP，证明OP⊥AP,利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质证明即可；（2）根据扇形POD面积减去△OPD的面积即为阴影部分的面积，求出相关数据代入计算. 【详解】（1）略 （2）在Rt△APO中，tan∠AOP=， ∴∠AOP=60°，∴∠OPC=30°， ∴OC=2，∴PC= ， ∴PD=， ∵OD=OP，OB⊥PD， ∴∠POB=∠COD=60°， ∴∠POD=120°， ∴阴影部分面积为： . 【点睛】此题主要考查切线的判定及不规则图形面积的求法，应用切线的判定定理证出OP⊥AP是证明圆的切线的关键. 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； （3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点D的坐标为 （3）存在，点 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小，进而求解； （3）过点P作轴交于点H，由题意可设点，则点，由铅垂法可得，然后问题可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， 则点A、C的坐标分别为：、， 将A，C的坐标代入抛物线得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小； 如图1，为最小； 设直线的表达式为：，将点A、C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为，抛物线的对称轴为直线， 当时，，即点D的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积存在最大值；理由如下： 过点P作轴交于点H，如图2， 由（2）可得直线的表达式为， 设点，则点， ∴，的水平宽为3， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $