第二十二章 二次函数与几何综合压轴题分类训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数与几何综合压轴题分类训练 目录概览 题型1 二次函数与面积综合 题型2 二次函数与线段最值 题型3 二次函数与角相等 题型4二次函数与平行四边形存在性问题 题型5二次函数与矩形存在性问题 题型6二次函数与菱形存在性问题 题型7二次函数与等腰三角形存在性问题 题型8二次函数与直角三角形存在性问题 题型9二次函数与全等三角形存在性问题 题型演练 题型1 二次函数与面积综合 1．如图，已知抛物线L：与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且， (1)求抛物线L的函数表达式； (2)将抛物线L：的图象向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好经过点，求m的值； (3)连接、，在抛物线上是否存在一点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求函数解析式，明确题意，熟练掌握二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． （1）计算出点坐标，待定系数法计算解析式即可； （2）根据平移法则，写出平移后的解析式，代入点坐标计算即可解答； （3）设出点N的坐标，表示出面积，分类讨论计算出点N的坐标． 【详解】（1）解：，， ， ，， 把A，B，C的坐标代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 将向上平移2个单位，向左平移个单位， 得到， 平移后图象过， ， 解得，， ， ； （3）解：存在， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，，， 当时，，， 点N的坐标为或 2．如图，点在的图象上，已知的横坐标分别为，2，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点在二次函数的图象上，且的面积等于的面积的2倍，则这样的点共有___________个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数上坐标点的特点，熟练掌握相关性质，分情况讨论是解题关键． （1）将A，B的横坐标分别代入求出函数y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （3）分点P在直线的上方，点P在直线的上方，且位于y轴右侧，点P在直线的上方，且位于y轴左侧，三种情况根据分割法求解即可． 【详解】（1）解：点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为，2， ∴当时，，当时，， ∴点的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，连接， 对于直线： ， 当时，， ， ； （3）解：设点P的坐标为， 的面积等于的面积的2倍， 的面积等于， ①当点P在直线的下方时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得， ∵，方程无解， ②当点P在直线的上方，且位于y轴右侧时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得， 解得（舍）， 点的坐标为； ③当点P在直线的上方，且位于y轴左侧时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得， 解得（舍）， 点的坐标为； 综上，函数的图像上存在点P，使的面积等于的面积的2倍，则这样的点P共有2个． 3．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点： (1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，，最大面积为 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，掌握函数相关性质是解题关键； （1）令，可求出；设抛物线的解析式为：，将代入即可求解； （2）由二次函数的对称性可知：点关于对称轴直线对称，故；推出当点是直线与直线的交点时，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小；即可求解； （3）作轴，设点，则，根据即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则； ∴，； 设抛物线的解析式为：， 将代入得：，解得：， ∴； （2）解：由二次函数的对称性可知：点关于对称轴直线对称， 如图所示： ∴； ∴当点是直线与直线的交点时，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小； 当时，； 即此时点M的坐标为； （3）解：作轴，如图所示： 设点，则， ， ∵， ∴当，即点时，有最大值，且最大值为． 4．如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求出的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式以及三角形的面积等知识．解题的关键是： （1）根据二次函数的对称轴可求出，然后把点A的坐标代入求解即可； （2）先求出点C的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）先求出点B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴， 又抛物线经过， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴； （3）解：对于， 当，则， 解得，， ∴， ∴． 题型2 二次函数与线段最值 5．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于D、E两点． (1)求m的值及这个二次函数的解析式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)当时，求线段的最大值； (4)当的值最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4)点P的坐标为． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）根据直线经过点求出，设，将代入计算即可； （2）求出，，根据三角形面积公式计算即可； （3）由题意可知，即，根据二次函数的性质作答即可； （4）作B关于x轴对称的点，连接交x轴于P，点P即为所求，求出直线的解析式，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设 ∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴； （2）解：把代入得， ∴， ∵， ∴直线为 把代入得， ∴， ∴ ∵点P的横坐标为2， ∴ ∴； （3）解：∵是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于D、E两点， ∴， ∴， ∴由二次函数的性质可知当（属于范围）时， 的最大值为； （4）解：如图，作B关于x轴对称的点，连接交x轴于P，点P即为所求， ∵把代入得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴点P的坐标为． 6．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点、点E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，当的值最小时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出，得到，，根据三角形面积公式即可求出答案； （3）求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象与y轴交于，与x轴交于点， ∴ 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得， ∴， ∵点，点、 ∴，， ∴的面积； （3）解：， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， ， ∴由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 7．如图①，是抛物线上任意一点，是过点且与轴平行的直线，过点作直线，垂足为． (1)当时，，；当时，，； (2)对任意，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； (3)如图②，已知线段，端点在抛物线上滑动，直接写出两点到直线的距离之和的最小值． 【答案】(1)1，1；5，5 (2)；证明见解析 (3)6 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）在二次函数的解析式中，令和4，求出对应y的值，确定P的坐标，从而可求长度； （2）由（1）可猜想：，设，求出比较即可证明； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，由（1）知，，分为不过点和过点两种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：对于， 当时，，即，； 当时，，即，； 故答案为：1，1；5，5； （2）解：猜想：，证明如下： 设， 则， ， ∴； （3）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，此时即为点到直线的距离，即为点到直线的距离． ①当不过点时，连接． 在中，，由（2）得，， ∴； ②当过点时， ， ∴的最小值为6． 8．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）根据的面积为列方程可得点的坐标； （3）求解抛物线的对称轴为直线，可得，当共线时，最小，即，求解直线为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线中得： ， 抛物线的解析式为：. （2）解：当时，， 解得，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， . （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 当共线时，最小，即， 当时，， ∴， ∵， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴. 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法，三角形的面积，轴对称的性质，一元二次方程的解法，轴对称的性质等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键． 题型3 二次函数与角相等 9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 10．如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为， (2)； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线的表达式，从而求得抛物线的对称轴； （2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线，根据待定系数法即可求得直线的表达式；设，，，进而得，由得，解，即可得解； （3）先求得点关于直线的对称点为，过点作平分交抛物线于点，交于点，再求得，从而求得设直线的解析式，联立直线为：与抛物线解析式为即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ∵，在上， ∴， 解得， ∴直线为：； 由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且，设， ∵轴，轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，，，， ∴、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴点关于直线的对称点为， ∵、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，连接， ∴与关于直线成轴对称， ∴， 过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分交抛物线于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴，即， 设直线为：， ∵直线为：过，， ∴， 解得， ∴直线为：， 联立直线为与抛物线解析式为得， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 11．如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在点，使的面积最大，面积的最大值为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等角对等边，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据点A的坐标可得的长，则可得到的长，进而得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出直线的解析式为；过点P作交于E，设，则，可求出，，据此求解即可； （3）分点M在点B上方和点M在点B下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在y轴的正半轴， ∴； ∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作交于E，设，则， ∴； ∵ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：如图所示，当点M在B上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在点B下方时，设直线交x轴于F， 设， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 12．抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线上一动点，若，求满足条件的点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M 为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，计算可得，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，求出，表示出，结合，可得，计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，由（2）可得，直线的解析式为，令将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，求出新抛物线，联立，求得，分两种情况：当点位于直线的下方时，此时；当点在直线的上方时，作点关于直线的对称点，连接交新抛物线于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， ， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：或 解可得：或，对应的的坐标为或， 解可得无实数根， ∴点的坐标为或 ，点P是抛物线上一动点，若， （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由（2）可得，直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线， ∴令将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵新抛物线经过点C， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴新抛物线， 联立， 解得：或， ∴， ∵M 为新抛物线上的一动点，且， ∴当点位于直线的下方时，如图， ， 此时， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 如图，当点在直线的上方时，作点关于直线的对称点，连接交新抛物线于， ， 由轴对称的性质可得：，，的中点在直线上， ∴， 设，则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—角度问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型4二次函数与平行四边形存在性问题 13．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． (1)求点及点的坐标． (2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为， 点的坐标为 (2)点的坐标为．点的坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程，确定点的坐标；将抛物线的解析式配方写成顶点式即可确定顶点的坐标． （2）根据抛物线解析式得到点、点的坐标．连接，过点作于，由勾股定理得出、的长，通过边角关系证明为直角三角形，分别延长、，与轴相交于点，． 根据两组角对应相等的两三角形相似证明，根据相似三角形对应边成比例得到，即，运用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两个解析式解方程组，即可求出点的坐标． 设交轴于点，过点作轴于点，先证明，由相似三角形对应边成比例得出．设，再证明，均为等腰直角三角形，然后用含的代数式表示点的坐标，将其代入抛物线解析式中，求出的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， 当时，，解得或， 点的坐标为． ， 顶点的坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， ， ，， 对称轴为直线， 点的坐标为． 如图，连接，过点作于， 则点坐标为， 点的坐标为； ， ，， ， 为直角三角形． 分别延长、，与轴相交于点，． ， ， ， ， 又， ， ， 即， ，即， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为；   如图，点在第一象限抛物线上，设交轴于点，过点作轴于点． ∵，，， ， ， ，， ， ， 即， ． 设，则， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 将点代入抛物线， 得到，解得 或（舍去）， ． 所以，当时，点的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练应用各知识点是解题的关键． 14．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 15．如图1抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）分别计算当时，x的值，当时，y的值，即可得到答案； （2）先证得为等腰直角三角形，则，结合，可知点P在x轴的上方，如图所示，过点A作，交于点M，过点A作x轴的垂线，过点M作于点L，作轴于点R，过点C作于点N，然后利用证明，进而求得点M的坐标，接着利用待定系数法求得直线的表达式，最后联立抛物线方程，即可求得点P的坐标； （3）过点A、E作x轴的垂线，过点D、F作y轴的垂线，交于点G、H、I、J，得到矩形，设，，根据平行四边形的性质可知，，进而推出，，然后根据，得到关于n的一元二次方程，解得n的值即可解答． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 令，得， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为抛物线上一点，且满足， ∴点P在x轴的上方， 如图所示，过点A作，交于点M，过点A作x轴的垂线，过点M作于点L，作轴于点R，过点C作于点N， 则，四边形、、为矩形， ∴， ， ∴，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形、、为矩形， ∴，， ∴， ∴ 设直线的表达式为，代入，， 得， 解得， ∴直线的表达式为， ∴ 解得，（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：过点A、E作x轴的垂线，过点D、F作y轴的垂线，交于点G、H、I、J，如图所示， 则四边形是矩形， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点， ∴设，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 整理得， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点，利用几何性质列出方程是解题的关键． 16．如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）过作轴，交于点，求出直线的函数解析式为，则设点，则，则，然后由，再根据二次函数的性质即可求解； （）求出平移后，设点，然后分以为对角线时，，，以为对角线时，，，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点分别代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 由（）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， 和得，， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积取最大值，此时点的坐标为； （3）解：∵， ∴平移后， ∵点是线段上的一动点， ∴设点， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，满足条件的点不存在， 综上所述，点的坐标为或． 题型5二次函数与矩形存在性问题 17．如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)当时，的面积有最大值 (3)存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先将点B和点C代入抛物线求得b和c的值，然后得到抛物线的解析式，再求得点P的坐标； （2）过点E作y轴的平行线交直线于点F，然后设点E的坐标，得到点F的坐标，再表示出线段的长度，最后表示出的面积，从而利用二次函数的性质求得的面积最大值； （3）先设点M和点N的坐标，然后分情况利用平行四边形的中心对称性列出方程求得点M和点N的坐标． 【详解】（1）解：由已知，、代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，顶点坐标为； （2）解：当时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接，经过点E作x轴的垂线，交直线于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， ∴ （3）解：如图（3）， ∵，， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 综上所述，存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 18．如图，抛物线与轴交于点，点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点． ①求的最大值； ②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形． 【答案】(1) (2)①4，②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）①求出直线的解析式，设，求出点坐标，将的长转化为二次函数，求最值即可； ②根据矩形的性质，推出，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点 设交点式 ，点在轴负半轴， ， 把点代入抛物线解析式得：， ， 抛物线解析式为； （2）①如图1， ， ， 设直线解析式为 ， 解得： 直线 设， 轴， ， 当时，的最大值为4． ②如图2，、关于点对称， 四边形是矩形 ，且与互相平分 ，为中点 由①得当时， 解得：， 的值为或时，四边形为矩形． 19．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，对称轴为直线 (2) (3) (4)能，或 【分析】（1）令解方程即可得到结论，利用对称轴公式求得对称轴； （2）根据直线过，得到直线，解方程得到点的横坐标为4，求得，得到直线的函数表达式为； （3）过作轴交直线于，设，得到，求出，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （4）令，即，得到，设，①若是矩形的一条边，②若是矩形的对角线，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，， 对称轴为直线； （2）解：直线过， ， 即， 直线， 抛物线与直线交于点，， ， 即， ， 点的横坐标为4， ， ， 直线的函数表达式为； （3）解：过作轴交直线于，设， 则，， ， ， ， 的面积的最大值为， 的面积的最大值为， ， 解得； （4）以点、、、为顶点的四边形能成为矩形， 令，即， 解得：，， ， 抛物线的对称轴为直线， 设， ①若是矩形的一条边， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ； ②若是矩形的对角线， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 综上所述，点、、、为顶点的四边形能成为矩形，点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)，，，． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与矩形的综合、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H，设点E的坐标为，根据已知条件可得、、，再求得直线的解析式为，则点F的坐标为，；再根据求得，然后分两种情况求得m的值即可解答； （3）由题意可得对称轴为，设，结合分为矩形的对角线、为矩形的边、为矩形的对角线三种情况，分别根据矩形的对角线相互平分以及一个角为直角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在抛物线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H， 设点E的坐标为， ∵，矩形， ∴， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点F的坐标为， ， ∴ ， ， ∴， ∴， ①时，整理得：， 解得：或， ∴点E的坐标为或． ②时，整理得：， 解得：或（不合题意、舍弃）， ∴点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或或． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设，， ①如图：当为矩形的对角线， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：或4， ∴或 ∴，； ②如图：当为矩形的边时， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：，， ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上，点Q的坐标为，，，． 题型6二次函数与菱形存在性问题 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得的坐标，根据对称性求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点，则，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得的值，进而求得点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点， 则， ∴， ∴， 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或或． 22．如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 【答案】(1)为直角三角形． (2)，当时，四边形的面积为最大， ． (3)或或或或． 【分析】（1）先求解抛物线为：，可得，，结合，证明，即可得到结论． （2）由题意可得：，如图，连接，结合，再进一步求解即可． （3）设，分情况讨论：当时，如图， 当时，如图，当时，再结合菱形性质建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：点是抛物线在第四象限部分上的点， ∴， 如图，连接， ∴ ， 其中：， ∴当时，四边形的面积为最大，最大面积为， 此时． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 设， ∵以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 当时，如图， ∴， 解得：， ∴， 当时，如图， ∴， 解得：， ∴或， 如图，当时， ∴， 解得：， ∴或， 综上：或或或或． 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，列函数关系式，菱形的性质的应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点D的坐标为 ． (3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点E的坐标； (4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点E坐标为时，面积最大，最大值为 (4)点N坐标为，，， 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、一元二次方程，一次函数的图象和性质、轴对称图形的性质、菱形的判定及性质，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． （1）根据点和点的坐标，采用待定系数法即可求得答案． （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，直线与对称轴的交点即为所求． （3）设过点与直线平行的直线的解析式为，根据题意可知，当直线的图象与抛物线的图象只有一个交点时，点到直线的距离最大，此时的面积最大，求得点的坐标，进而可求得的面积． （4）分两种情况讨论：①当点位于原点上方时，根据，，即可求得点的坐标；当点位于点下方时，先求得直线的解析式，根据，可求得点的横坐标，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线过点A，C， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为． （2）∵当时，， 解得，， ∴， 则抛物线对称轴为直线 ∵点D在直线上，点A、B关于直线对称 ∴， ∴当点B、D、C在同一直线上时，最小， 设直线解析式为，将代入，得 ∴， 解得 ∴直线 ∴ ∴ 故答案为． （3）过点E作轴于点G，交直线与点F 设，则 ∴ ∴ ， ∴当时，面积最大 ∴ ∴点E坐标为时，面积最大，最大值为． （4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形． ∵， ， ∴， ①为菱形的边长，如图， 则， ∴，，． ②若为菱形的对角线，如图，则， 设，则 ，， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述，点N坐标为，，，． 题型7二次函数与等腰三角形存在性问题 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积取得最大值为 (3)点的坐标为：，， 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点坐标，过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示，表示的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点坐标，分三种情况讨论分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得， 二次函数的解析式为：y； （2）解：由、， 设， 则， 解得， 所在直线解析式为， 过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示： 设，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积取得最大值为； （3）解：的对称轴为直线， 设，又、， 则，， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、待定系数法确定一次函数解析式、二次函数中求三角形面积、等腰三角形性质、两点之间距离求法等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的求解方法是解决问题的关键． 26．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 28．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积取得最大值为， (3)存在，当是等腰三角形时，则点或或或或． 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质及等腰三角形的性质、两点距离公式是解题的关键． （1）把点和点分别代入解析式进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出直线，设， ，那么，由于，则，再利用二次函数的性质求解即可； （3）可求，直线，由，可得直线，可设点，然后由题意可分①当，②当，③，进而根据两点距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可把点和点分别代入解析式得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，当， ∴， 过点作轴交于点， 设直线， ∴， 解得：， ∴直线， 设， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为，此时； （3）解：直线l上存在点P，使是等腰三角形，理由如下： ∵的横坐标为， ∴纵坐标为：， ∴ ∵，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， ∵， ∴设直线， 代入， 则，解得：， ∴直线， 可设点，则有： ∵点，， ∴①当时，则有：， 解得：， ∴， ∴点； ②当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； ③当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； 综上所述：当是等腰三角形时，则点或或或或． 题型8二次函数与直角三角形存在性问题 29．将放置在如图①所示的平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，其中． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)若点为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结分别与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值． (3)若点为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角，若其直角顶点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标（请直接写出结果）． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)点G的坐标为 【分析】（1）根据勾股定理得到，列得，求出，得到，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出函数解析式； （2）求出直线的解析式，得到，连接，，根据求出答案； （3）抛物线的对称轴为直线，设，分情况画出图形分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 得， 解得, ∴经过三点的抛物线的解析式为； （2）∵点为抛物线上第二象限一动点， ∴， 设直线的解析式为， 得， 解得， ∴， 当时，， 故， 连接，， ， ∵ ∴当时，有最大值； （3）抛物线的对称轴为直线， 设， ①如图：是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ②如图，是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ③当点Q与点B重合时，点A与点Q对称，此时， ∴当是等腰直角三角形时，， ∴， 综上，点G的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，全等三角形的判定，特殊三角形与二次函数，综合掌握所学知识点并熟练应用是解题的关键． 30．已知二次函数的图象（如图），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； (3)已知轴上存在一点．二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角．请求出点的坐标． 【答案】(1)（或） (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一次函数相交问题，二次函数与几何问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由顶点式、顶点坐标及图象经过点即可求解； （2）先求出点、，再求出直线与轴的交点坐标，即可求解； （3）设，过作轴于点，则，分点在轴上方和下方两种情况进行讨论． 【详解】（1）根据题意可得， ， 将代入得， ， 解得，， （或）； （2）令， 整理得，， 解得，， 把分别代入得， ，， ； 如图1，设直线与轴相交于点，则， ． ， ； （3）如图2， 设，过作轴于点，则． 第一种情况，当点在轴上方时， ， 解得，或，即图2中的前两图， 此时，点坐标为或． 第二种情况，当点在轴下方时， ， 解得，，即图2中的最后一图， 此时，点坐标为． 故满足题意的点坐标可以为或或． 31．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与两轴分别交于A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（1，0）．点P在第二象限内的抛物线上运动，作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E． （1）b＝　 　；c＝　 　； （2）求线段PE取最大值时点P的坐标，这个最大值是多少； （3）连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，直接写出对应的P点坐标．    【答案】（1）b=-2，c=3；    （2）当P时，线段PE有最大值；（3） 【分析】（1）只需把点A、B的坐标代入y=-x2+bx+c即可求得b、c的值； （2）用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a，则点P、E的纵坐标就可用a的代数式表示，PE的长度也就可以用a的代数式表示，然后运用二次函数的最值性就可求出PE最大时点P的坐标． （3）等腰直角△APQ的三边都可能是底边，故分三种情况进行讨论，然后构造全等三角形，得到相等线段，然后用一个字母表示一条线段，从而将点P的坐标用该字母表示，然后代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0）， ∴． 解得：． 故答案为：-2、3； （2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2-2x+3． 则点C坐标为（0，3）， 设直线AC的解析式为y=mx+n， 则有 ． 解得：． ∴直线AC的解析式为y=x+3． 设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a． ∴yP=-a2-2a+3，yE=a+3． ∴PE=yP-yE=（-a2-2a+3）-（a+3） =-a2-3a =-（a+）2+． ∵-1＜0， ∴当a=-时，PE取到最大值，此时点P坐标为 故当P时，线段PE有最大值； （3）Ⅰ．若AQ为等腰直角△APQ的底边，如图2，    则有AP=PQ，∠APQ=90°． 过点P作PG⊥OA，垂足为G，过点P作PT⊥QH，垂足为T， ∵∠PGH=∠GHT=∠PTH=90°， ∴四边形PGHT是矩形． ∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT． ∴∠APG=90°-∠GPQ=∠TPQ． 在△AGP和△QTP中， ∵ ∴△AGP≌△QTP． ∴AG=TQ，PG=PT． ∴PG=GH． ∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=, ∴OH=1． 设PG=t（t＞0），则OG=GH+OH=PG+OH=t+1． ∵点P在第二象限， ∴点P的坐标为（-t-1，t）． ∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上， ∴t=-（-t-1）2-2（-t-1）+3． 整理得：t2+t-4=0． 解得：（舍去），， ∴点P的坐标为 Ⅱ．若PQ为等腰直角△APQ的底边，如图3，    则有AP=AQ，∠PAQ=90°． 过点P作PG⊥OA，垂足为G， 则有∠APG=90°-∠PAG=∠HAQ． 在△AGP和△QHA中 ∵ ∴△AGP≌△QHA． ∴PG=AH． ∵AH=AO-OH=3-1=2， ∴PG=2． ∴yP=2． 解-x2-2x+3=2得， ∵点P在第二象限， ∴点P的坐标为（，2）． Ⅲ．若AP为等腰直角△APQ的底边，如图4，    则有AQ=PQ，∠AQP=90°． 过点P作PT⊥QH，垂足为T， 则有∠AQH=90°-∠PQT=∠TPQ． 在△AHQ和△QTP中， ∵ ∴△AHQ≌△QTP． ∴AH=QT，QH=PT． ∵AH=2， ∴QT=2． 设QH=PT=p（p＞0），则TH=p+2， ∵点P在第二象限， ∴点P的坐标为（-p-1，p+2）． ∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上， ∴p+2=-（-p-1）2-2×（-p-1）+3． 整理得：p2+p-2=0． 解得：p1=-2（舍去），p2=1， ∴点P的坐标为（-2，3）． 综上所述：点P的坐标为 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的最值性、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质等知识，还考查了分类讨论的思想，有较强的综合性，有一定的难度．而正确分类及构造全等三角形是解决最后一小题的关键． 32．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=-x2-x+2；(2)S的最大值为；(3)存在，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)． 【分析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，即可求解； (2)S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解； (3)分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a， 即-3a=2，解得：a=-， 故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2， 则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=-1； (2)连接OP，设点P(x，-x2-x+2)， 则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD =(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2， ∵-1＜0，故S有最大值，当x=-时，S的最大值为； (3)存在，理由： △MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示： ①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2， N1的情况(△M1N1O)： 设点N1的坐标为(x，-x2-x+2)，则M1E=x+1， 过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E， ∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O， ∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1， ∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F， 即：x+1=-x2-x+2，解得：x=(舍去负值)， 则点N1(，)； N2的情况(△M2N2O)： 同理可得：点N2(，)； ②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4， 同理可得：点N3、N4的坐标分别为：(，)、(，)； 综上，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏． 题型9二次函数与全等三角形存在性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的抛物线与x轴交于点A，抛物线的顶点为D，对称轴交直线于点H，点E为线段上动点，点F在上，连接，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是等腰三角形，求E点坐标； (3)点P是坐标平面内一点，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)或或． (3)8或12 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）求出，再将代入即可求得抛物线解析式； （2）设，分三种情况讨论：①当时，过点E作轴交于点G，在上截取，得到，可求；②当时，，可求；③当时，，可求； （3）设，由，可得，则有，能求出或，即可求的面积为8或12． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴． （2）解：设， ①当时，过点E作轴交于点G，在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得∶， ∴； 综上所述：E点坐标为或或． （3）解：∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或， ∵， ∴或， ∴的面积为8或12． 34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊三角形形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，过P点作轴交于点G，设，则，求出，进而求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意易证是等腰直角三角形，由与全等，得到是等腰直角三角形，推出，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点代入，得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，四边形面积有最大值， 此时； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或，或， ∴或，或． 35．如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)10 (3)或 【分析】（1）根据直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上，确定点A的坐标为，点B的坐标为，代入解方程组解答即可． （2）不妨设，则，，故，，确定，得到，，结合已知条件，得到方程，解答即可． （3）利用构造平行四边形法，轴对称法构造出符合题意的全等三角形，确定点M的坐标，利用待定系数法，解方程组确定交点N的坐标即可． 本题考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，抛物线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上， 得点A的坐标为，点B的坐标为，代入得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵P是y轴左侧抛物线上一点， 不妨设， ∵轴，交直线于点C， ∴，， ∴，， ∵直线与y轴的交点M的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴，， ∴点B到直线的距离为， ∴三角形的面积为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 根据（2）得，， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故点Q的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 过点P作交对称轴于点M， 由， 故四边形是平行四边形， 根据平行四边形的性质，得与全等， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， ∴； 过点C作直线的对称点M，连接， 则与全等， 设，则， 整理，得， 根据题意，得的中点坐标为，其一定在直线上， 故，整理得， 故， 解得， 故点M的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据一次函数图象的性质得到，把点的坐标代入二次函数，运用待定系数法即可求解； （2）设，结合二次函数图象得到的面积，利用二次函数最值的计算得到，根据造桥问题的最短路径的计算方法：作点关于轴的对称点，则，连接，将向下平移个单位，即点重合，得到，则，连接，交轴于点，此时的线段最短，即的值最小，由两点坐标距离公式即可得到的值，由此即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，则，则，根据全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，平行四边形的性质，结合图形，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：一次函数 中，当时，，当时，， ∴，则直线于坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∴， ∵抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：点C是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， 如图所示，过点作轴，交于点， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴，即， 如图所示，作点关于轴的对称点，则，连接，则，将向下平移个单位，即点重合，得到，则，连接，交轴于点，此时的线段最短，即的值最小， ∴， ∴的最小值为， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，所有满足条件的点 Q 的坐标为或，理由如下， ∵，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵将点N向下平移1个单位得到点P， ∴， ∴，， ， ∵抛物线的表达式为， ∴顶点坐标为， 如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等， ∴抛物线沿直线的方向平移得到的新抛物线 ，若新抛物线 过点则满足条件， ∵， ∴， 在中，， ∴，即是等腰直角三角形， 根据轴对称的性质得到是等腰直角三角形，则， 由（1）可知， ∴，即轴， ∴，即新抛物线的顶点坐标为， ∴，即原抛物线的向右平移个单位，向下平移个单位得到的新抛物线的顶点，但不符合沿方向平移，故舍去； 如图所示，当四边形是平行四边形时，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等， ∴抛物线沿直线的方向平移得到的新抛物线 ，若新抛物线 过点则满足条件， 设，且，，， ∴， 解得，， ∴，即新抛物线的顶点坐标为， ∵，即原抛物线的向右平移个单位，向下平移个单位得到的新抛物线的顶点，但不符合沿方向平移，故舍去， 综上所述，不存在点 Q ，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等． 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数，全等三角形的判定方法，平行四边形的性质，轴对称图形的性质，二次函数与几何图形面积的计算等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 试卷第114页，共115页 试卷第115页，共115页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数与几何综合压轴题分类训练 目录概览 题型1 二次函数与面积综合 题型2 二次函数与线段最值 题型3 二次函数与角相等 题型4二次函数与平行四边形存在性问题 题型5二次函数与矩形存在性问题 题型6二次函数与菱形存在性问题 题型7二次函数与等腰三角形存在性问题 题型8二次函数与直角三角形存在性问题 题型9二次函数与全等三角形存在性问题 题型演练 题型1 二次函数与面积综合 1．如图，已知抛物线L：与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且， (1)求抛物线L的函数表达式； (2)将抛物线L：的图象向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好经过点，求m的值； (3)连接、，在抛物线上是否存在一点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，点在的图象上，已知的横坐标分别为，2，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点在二次函数的图象上，且的面积等于的面积的2倍，则这样的点共有___________个． 3．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点： (1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 4．如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求出的面积． 题型2 二次函数与线段最值 5．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于D、E两点． (1)求m的值及这个二次函数的解析式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)当时，求线段的最大值； (4)当的值最小时，直接写出点P的坐标． 6．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点、点E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，当的值最小时，求点C的坐标． 7．如图①，是抛物线上任意一点，是过点且与轴平行的直线，过点作直线，垂足为． (1)当时，，；当时，，； (2)对任意，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； (3)如图②，已知线段，端点在抛物线上滑动，直接写出两点到直线的距离之和的最小值． 8．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 题型3 二次函数与角相等 9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 10．如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 11．如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 12．抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线上一动点，若，求满足条件的点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M 为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 题型4二次函数与平行四边形存在性问题 13．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． (1)求点及点的坐标． (2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 14．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 15．如图1抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 16．如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 题型5二次函数与矩形存在性问题 17．如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线与轴交于点，点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点． ①求的最大值； ②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形． 19．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 20．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 题型6二次函数与菱形存在性问题 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 22．如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点D的坐标为 ． (3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点E的坐标； (4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7二次函数与等腰三角形存在性问题 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 26．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8二次函数与直角三角形存在性问题 29．将放置在如图①所示的平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，其中． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)若点为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结分别与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值． (3)若点为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角，若其直角顶点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标（请直接写出结果）． 30．已知二次函数的图象（如图），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； (3)已知轴上存在一点．二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角．请求出点的坐标． 31．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与两轴分别交于A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（1，0）．点P在第二象限内的抛物线上运动，作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E． （1）b＝　 　；c＝　 　； （2）求线段PE取最大值时点P的坐标，这个最大值是多少； （3）连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，直接写出对应的P点坐标．    32．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型9二次函数与全等三角形存在性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的抛物线与x轴交于点A，抛物线的顶点为D，对称轴交直线于点H，点E为线段上动点，点F在上，连接，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是等腰三角形，求E点坐标； (3)点P是坐标平面内一点，当时，请直接写出的面积． 34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 35．如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标． 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 第2页，共25页 第1页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $