精品解析：河北省盐山中学2026届高三上学期高考调研模拟（一）（10月月考）数学试题

2026届全国高考调研模拟信息卷（一） 数 学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（a，，为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 3. 已知向量，满足，，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某圆台形容器有上底，无下底，若该容器的表面积为，上底面的半径为5cm，母线长13cm，则该容器的容积为（该容器壁与底的厚度忽略不计）（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的单调递增区间为， D. 图象的对称中心为， 10. 已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（ ） A. B. 当且仅当时，取得最小值 C. D. 数列中第5项的值最大 11. 已知直线l与圆C：交于，两点，且，，O为坐标原点，D为圆C上一动点，若，则（ ） A. 圆C的方程为 B. 直线l的方程为 C. 圆C上存在三个点到l的距离均为1 D. 当的面积最大时，的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为_______. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则______． 14. 已知曲线C上任意一点A到，的距离之积为，为上一点，两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点，若的面积为，则四边形的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校组织了“AI人工智能”知识竞赛，从该校随机抽取300名参赛学生的成绩，统计成绩情况如下表： 竞赛成绩及格 竞赛成绩未及格 合计 男 90 60 150 女 100 50 150 合计 190 110 300 （1）记该校竞赛成绩未及格者是女生的概率为p，求出p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为竞赛成绩是否及格与性别有关联？ 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为棱，BC，的中点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 在数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为． （1）求C的方程； （2）过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点． （i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求； （ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值． 19. 已知函数，． （1）若，证明：； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届全国高考调研模拟信息卷（一） 数 学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补集的定义求出集合在全集下的补集，再根据交集的定义求出与的交集. 【详解】集合，集合， 补集， 交集. 故选：B. 2. 已知（a，，为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及复数相等的条件，得，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 故选：A. 3. 已知向量，满足，，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的定义求出，再利用即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：D 4. 若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线平行于直线，利用斜率相等求出，再根据虚轴定义求得答案. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为， 因为双曲线C：的一条渐近线平行于直线， 即， 解得， 所以双曲线方程为：， 所以虚轴长为， 故选：D． 5. 已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件概率定义即可求得. 【详解】因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球， 又因为事件发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球. ， 故选：A. 6. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 7. 某圆台形容器有上底，无下底，若该容器的表面积为，上底面的半径为5cm，母线长13cm，则该容器的容积为（该容器壁与底的厚度忽略不计）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台表面积公式，结合圆台体积公式和圆台的几何性质进行求解即可. 【详解】设容器的下底面的半径为， 因为该容器的表面积为，上底面的半径为5cm，母线长13cm， 所以有， 设容器的高为，如图所示： ， 所以该容器的容积为. 故选：A 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】定义域为，且对， ， 所以是偶函数. ， 当时，，所以，， 又， 所以（当且仅当时取等号），即在单调递增. 因为，所以，即， 解得， 所以的解集为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的单调递增区间为， D. 图象的对称中心为， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正切函数的周期公式得即可判断A；再直接代入计算即可判断B；利用正切函数的单调性和对称性即可判断CD. 【详解】对A，由题意得，则，则，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，令，解得， 则其单调递增区间为，，故C正确； 对D，由，得到， 所以的对称中心为，故选项D错误； 故选：BC. 10. 已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（ ） A. B. 当且仅当时，取得最小值 C. D. 数列中第5项的值最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以本选项正确； B：由上可知：， 因为，所以当或时，取得最小值，因此本选项不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以本选项正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，因此本选项正确， 故选：ACD 11. 已知直线l与圆C：交于，两点，且，，O为坐标原点，D为圆C上一动点，若，则（ ） A. 圆C的方程为 B. 直线l的方程为 C. 圆C上存在三个点到l的距离均为1 D. 当的面积最大时，的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，，从而可得，解得，即可判断A；结合A，可知圆心到直线的距离为1，由，可得直线的斜率为2，设出直线的斜截式方程，利用点到线的距离求解即可；对于C，根据圆的半径为2，圆心到直线的距离为1，即可判断；对于D，由题意可得当点D到直线的距离取最大值3时，的面积最大，求出此时的周长，即可判断. 【详解】对于A，设，则， 又因为为等腰三角形，所以， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以， 又因为，， 所以，解得， 所以圆的方程为，故A错误； 对于B，因为， 所以， 所以直线的斜率， 设直线的方程为， 由A可知为等腰三角形，两腰分别为2，底边为， 所以底边上的高为1，即圆心到直线的距离为1， 所以，解得， 所以直线的方程为，故B正确； 对于C，因为圆C的半径，圆心到直线的距离为1， 所以圆C上存在三个点到l的距离均为1，故C正确； 对于D，因为点D在圆C上，， 所以当点D到直线的距离最大时，的面积最大， 又因为圆C上的点到直线的距离最大值为2+1=3， 此时， 所以的周长为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. 故答案为： 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理可得出，进而得出，再约束出，最后利用即可. 【详解】因，，， 可得，则， 因，则，则， 所以. 故答案为： 14. 已知曲线C上任意一点A到，的距离之积为，为上一点，两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点，若的面积为，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，从而得曲线：，可得其图形关于原点对称，从而可得到点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，即四边形为平行四边形，可得四边形的面积，即可求解. 【详解】由题可得，解得， 设曲线上任意一点，则，即， 化简得， 将代入曲线得，化简得， 所以可得曲线是中心对称图形，且对称中心为原点. 因两条直线，均过坐标原点O，和交于，两点，和交于，两点， 所以点和点关于原点对称，点和点关于原点对称， 则，，所以四边形为平行四边形， 又因为的面积为，则四边形的面积. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校组织了“AI人工智能”知识竞赛，从该校随机抽取300名参赛学生的成绩，统计成绩情况如下表： 竞赛成绩及格 竞赛成绩未及格 合计 男 90 60 150 女 100 50 150 合计 190 110 300 （1）记该校竞赛成绩未及格者是女生的概率为p，求出p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为竞赛成绩是否及格与性别有关联？ 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）学生的竞赛成绩与性别无关联 【解析】 【分析】（1）根据列联表以及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）先进行零假设，然后计算出卡方值，根据独立性检验的思想判断即可. 【小问1详解】 记该校竞赛成绩未及格者是女生的概率为p，则p的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：学生的竞赛成绩与性别无关联. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 即认为学生的竞赛成绩与性别无关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为棱，BC，的中点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 过作，垂足为， 因为，为中点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 所以， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则，， 所以平面的一个法向量， 又因为，， 所以， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行方法求证即可； （2）求出法向量，根据二面角的向量方法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 则， 所以二面角的正弦值为. 17. 在数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明： 已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. （2）（） （3）（） 【解析】 【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：，然后再根据等比数列的定义进行证明即可； （2）由（1）可知为等比数列，先求解的通项公式，进而求解数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果求解的通项公式，然后再根据分组求和和错位相减的方法进行求和即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： （） 【小问3详解】 由（2）可知：（），可得：（） 设（1） （2） 由（1）（2）得： ， 解得：. （）. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为． （1）求C的方程； （2）过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点． （i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求； （ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值． 【答案】（1） （2）（i） （ⅱ）证明： 如图所示，设，则直线方程为， 直线方程为， 联立方程得，消去得， 解得，因为， 代入得， 由韦达定理得，代入得， 所以直线AQ与BP的交点的横坐标为定值4. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念，求出参数值，写出椭圆标准方程即可； （2）根据椭圆和直线的位置关系，以及韦达定理，设出点的坐标，写出斜率的代数式和中点坐标，求出斜率的积，再根据直线的性质，求出直线方程，证明其交点的横坐标为定值即可. 【小问1详解】 因为，所以，因为离心率为，所以，则， 所以椭圆标准方程为. 【小问2详解】 （i） 【小问3详解】 【小问4详解】 如图所示，由（1）可知，，则过不与坐标轴垂直的直线设为， 联立方程组得，消去得， 化简得，易知， 设，根据韦达定理可知， 则， 可知中点，则， 所以. （ⅱ）略 19. 已知函数，． （1）若，证明：； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值． 【答案】（1） 令， ，，， ， 则在单调递增， ， 即， 故； （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）要证明，可构造函数，通过求导判断其单调性进而证明； （2）求函数的单调区间，需要先求出的导数，再根据的正负性确定单调区间； （3）求函数在上的最大值，先求出的导数，分和分析其单调性，进而求出最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，令， ， 在上单调递减，且， 时，，时，， 即时，，时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 ， ， 令，， 令，， 时，，单调递增， 时，，单调递减， ， 在存在唯一零点，且， 即时，，单调递增， 时，，单调递减， ，时，， 即时，，， 由（1）知时，， ，， 综上，函数在上的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $