精品解析：安徽省安庆市宿松县部分学校2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试题

宿松2025-2026九年级试卷 数　学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法中不正确的是(　　) A. a＞0 B. b＜0 C. 3a＋b＞0 D. b＞－2a 4. 设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　） A. 若h＝4，则a＜0 B. 若h＝5，则a＞0 C. 若h＝6，则a＜0 D. 若h＝7，则a＞0 5. 下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … … 0.24 0.61 1 … A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. D. 函数图象与x轴交点的横坐标是方程的根 7. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 10. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知函数 是关于x的二次函数，则m的值为________． 12. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是__________填序号 13. 如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 14. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为___________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若是关于的二次函数，求的值． 16. 已知二次函数的图象经过点，试确定该函数图象的开口方向和的值． 17. 已知函数（m为常数）． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 18. 如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点C． （1）求点A，C的坐标； （2）若轴，交拋物线于另一点，求的长． 19. 在平面直角坐标系中利用五点描点法画出函数的图象（注：先用铅笔描画，再用水笔涂黑） x 0 1 2 3 4 y （1）填写表格数据 （2）建立平面直角坐标系、描点、连线 （3）依据图象直接写出的自变量x取值范围 ． 20. 已知抛物线． （1）求抛物线与轴的交点坐标； （2）根据函数图像，直接写出当时，的取值范围． 21. 如图，在一面靠墙的空地上用长为18米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式； （2）若墙的最大可用长度为6米，求篱笆围成的长方形的最大面积． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 23. 已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数_______； （2）若新函数y的表达式为，则_______，_______； （3）设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿松2025-2026九年级试卷 数　学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义依次判断． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的定义：形如的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点． 2. 如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法中不正确的是(　　) A. a＞0 B. b＜0 C. 3a＋b＞0 D. b＞－2a 【答案】D 【解析】 【分析】由图像可知a0，对称轴x=-=1，即b=-2a，故可进行判断. 【详解】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， ∴a0，A正确； 由x=-=1，即b=-2a，D错误； b=-2a0，B正确； 3a＋b=3a-2a=a0,C正确,故选D. 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数性质是解题的关键. 4. 设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　） A. 若h＝4，则a＜0 B. 若h＝5，则a＞0 C. 若h＝6，则a＜0 D. 若h＝7，则a＞0 【答案】C 【解析】 【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果． 【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：， ∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7， 整理得：a（9﹣2h）＝1， 若h＝4，则a＝1，故A错误； 若h＝5，则a＝﹣1，故B错误； 若h＝6，则a＝﹣，故C正确； 若h＝7，则a＝﹣，故D错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是把坐标代入求出a,h的关系，进而求解． 5. 下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … … 0.24 0.61 1 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：解：由表格知，当时，； 当时，； ∴一元二次方程的一个近似解的范围为． 故选：B． 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. D. 函数图象与x轴交点的横坐标是方程的根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可得，图象开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由图象可得：，开口向下，对称轴为直线， ∴，即，故A正确，C错误； 当时，y随x的增大而增大，故B正确； 令时，则有，得出的解就是函数图象与x轴的交点横坐标，故D正确； 故选C． 7. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 8. 某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 9. 如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键． 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：B． 10. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点A到x轴的距离是， ∴令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点到轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称， ∴， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知函数 是关于x的二次函数，则m的值为________． 【答案】﹣1 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得：m=﹣1． 故答案是：﹣1． 12. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是__________填序号 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当时，当时，的范围，确定代数式的符号． 【详解】解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故错误； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①④． 13. 如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 【答案】或者 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合， 如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点，准确画出图形，问题随之得解． 【详解】解：如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向上平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令， 解得：，， ∴，， ∵将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方， ∴翻折之后的二次函数的解析式为：， 将一次函数与二次函数联立得：， 整理得：， 令， 解得：， 当一次函数过点A时，将代入得：， 解得：， ∴若直线与这个新图象有3个交点，则b的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 14. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为___________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先求得，，设，利用等积法求得，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点，记直线交轴于点， 在直线中， 当时，，当时，， ∴，， ∴，，， 由旋转的性质得， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：48． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴. 16. 已知二次函数的图象经过点，试确定该函数图象的开口方向和的值． 【答案】开口向上． 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象，把点代入二次函数解析式可求出的值，进而可确定该函数图象的开口方向，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数， ∵， ∴该函数图象的开口向上． 17. 已知函数（m为常数）． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【小问1详解】 解：依题意且， 所以； 【小问2详解】 解：依题意， 所以且． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 18. 如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点C． （1）求点A，C的坐标； （2）若轴，交拋物线于另一点，求的长． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点坐标，令，，可得点坐标； （2）根据轴对称的性质求得的坐标，即可求得的长． 【小问1详解】 解： ， ， 抛物线的与轴的交于点， 令得． ； 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线， 的对称点为， ∵轴交抛物线于另一点， ， ． 19. 在平面直角坐标系中利用五点描点法画出函数的图象（注：先用铅笔描画，再用水笔涂黑） x 0 1 2 3 4 y （1）填写表格数据 （2）建立平面直角坐标系、描点、连线 （3）依据图象直接写出的自变量x取值范围 ． 【答案】（1），0，1，0， （2） 如图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数图象，利用函数图象解不等式，正确画出函数图象是解答本题的关键． （1）把x的值分别代入函数解析式计算即可求出y的值； （2）根据表格数据标点，然后连线即可； （3）根据图象写出答案即可． 【小问1详解】 解：填写表格 x 0 1 2 3 4 y 0 1 0 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知，的自变量x取值范围． 故答案为：． 20. 已知抛物线． （1）求抛物线与轴的交点坐标； （2）根据函数图像，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）和 （2）或 【解析】 【分析】（）把代入函数解析式求出的值即可求解； （）画出二次函数图象，再根据图象即可求解； 本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， 整理得，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和； 【小问2详解】 解：画函数图象如下： 由函数图象可知，当时，的取值范围为或． 21. 如图，在一面靠墙的空地上用长为18米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式； （2）若墙的最大可用长度为6米，求篱笆围成的长方形的最大面积． 【答案】（1） （2）24平方米 【解析】 【分析】（1）先用表示出的长度，再利用矩形的面积公式列出函数表达式即可； （2）根据二次函数的性质，求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，， ∴抛物线在上，y随x的增大而减小， ∴时，取得最大值，最大值为24． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用．正确求出二次函数的解析式并运用二次函数的性质求最值是解题的关键． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接根据待定系数法求两个函数解析式即可； （2）求出点的坐标，则可知，然后得出边上的高根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图像找出一次函数在反比例函数上方的部分即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， ∴将分别代入，， 得，即， ∴一次函数解析式为， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 联立， 即， 解得：，（即为点）， 经检验，，是原方程的解， ∴点， ∴，边上的高为， ∴； 【小问3详解】 根据函数图像可得反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围即为一次函数在反比例函数上方的部分， ∴反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集等知识点，熟练掌握反比例函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 23. 已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数_______； （2）若新函数y的表达式为，则_______，_______； （3）设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 【答案】（1） （2）5， （3）①当时，；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题： （1）将代入函数，得，即可求出结果； （2）根据定义求出新函数得，和题目所给的对比，从而求出k和b的值； （3）①利用配方法将（2）中的新函数解析式写成顶点式，得到顶点坐标的表达式，即可求出n的最大值； ②根据①中的关系式，将代入即可求出结果． 【小问1详解】 解：当时，， ∵函数，定义新函数， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵函数与函数，定义新函数， ∴新函数的解析式为， ∵新函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：5，； 【小问3详解】 解：①由（2）知，新函数解析式为， ∵新函数顶点为， ∴， ∴， ∵， 当时，； ②由①知，， 将代入得： ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $