精品解析：山东省滨州市无棣县第二初级中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025－2026学年第一学期月考检测 八年级数学试题 满分120分，考试用时120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实例中没用到三角形稳定性的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A. 线段是边上的高 B. 线段是边上的高 C. 线段是边上的高 D. 线段是边上的高 3. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A. B. C. D. 或 5. 如图△中，已知，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图．等于（   ） A. B. C. D. 7. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，和相交于点，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知的两边长分别为，，则第三边长可能是______．（写一个即可） 12. 若是三角形的三边，化简：___________． 13. 如图，在和中，，，请添加一个条件使得成立：________． 14. 已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 15. 如图，在中，，，点是边中点，设，则的取值范围是_____． 16. 如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为______，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，点，，，在同一直线上，并且．若，． （1）证明：； （2）探索线段与的关系，并说明理由． 18. 如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为6，则的面积为 ． （2）当时，求的度数． 19. 如图，在和中，，，与交于点． （1）证明：； （2）求证：． 20. 如图，已知，，分别为三角形的角平分线． （1）尺规作图：分别画出，，保留作图痕迹； （2）证明：． 21. 如图，在和中，，且点在同一直线上，点在的同侧．连接分别交于点交于点M． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 23. 数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在的内部有一点D，分别连接和．”所形成的图形展开研究． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，和分别平分和． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 24. “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，过点C作直线于点于点E，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，，连接，且于点与直线交于点G．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期月考检测 八年级数学试题 满分120分，考试用时120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实例中没用到三角形稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性判定即可，熟记三角形具有稳定性是解此题的关键． 【详解】解：A、利用“三角形稳定性”，故不符合题意； B、利用了“三角形稳定性”，故不符合题意； C、利用“三角形稳定性”，故不符合题意； D、不是利用“三角形稳定性”，故符合题意； 故选：D． 2. 如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A. 线段是边上的高 B. 线段是边上的高 C. 线段是边上的高 D. 线段是边上的高 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：于点， 中，是边上的高，故A不符合题意， ，线段是边上的高，B选项符合题意； 于点， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 3. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 4. 等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图， 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：， ∴或1， ①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理； ②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理； 所以，该等腰三角形的腰长为， 故选：C． 5. 如图△中，已知，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 6. 如图．等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，延长，交于点G， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的判定条件（确定唯一三角形的依据），解题的关键是掌握“、、、、可确定唯一三角形，而$SSA$（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形”这一核心规则． 先明确每个选项给出的条件类型（角与边的位置关系）；再根据三角形判定定理判断：若条件为、、、或直角三角形的，则能画出唯一三角形；若为，则不能；最后筛选出符合“不能画出唯一三角形”的选项． 【详解】解：根据三角形判定定理、、、、可确定唯一三角形，不能）分析各选项： A、已知，，，其中是与的夹边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； B、已知，，，其中是的对边，是的邻边，符合条件，无法确定唯一，此选项符合题意； C、已知，，，其中是与的夹角，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； D、已知，，，其中是斜边，是直角边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ． 故选：A． 9. 如图，和相交于点，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据对顶角相等和三角形内角和定理可推出A选项；根据三角形外角的性质可推出B、C选项；D选项无法完全确定正确，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，，故A选项正确； 由三角形外角的性质可知，，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴D选项无法完全确定正确， 故选：D． 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知的两边长分别为，，则第三边长可能是______．（写一个即可） 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为， 则， 即， ∴第三边长可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 12. 若是三角形的三边，化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 13. 如图，在和中，，，请添加一个条件使得成立：________． 【答案】BC=EF，或∠A=∠D，或∠ACB=∠DFE 【解析】 【分析】要使△ABC≌△DEF，已知AB=ED，∠B=∠DEF，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可． 【详解】解：要使△ABC≌△DEF，已知∠B=∠DEF，AB=DE，则可以添加BC=EF，运用SAS来判定其全等； 也可添加一组角运用AAS来判定其全等，如∠A=∠D，或∠ACB=∠DFE． 故答案为：BC=EF，或∠A=∠D，或∠ACB=∠DFE． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 14. 已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角三角形时两种情况，分别画图进行讨论． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴， 即． 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， ∵，， ∴， ∴． 综上，该等腰三角形的顶角为或． 15. 如图，在中，，，点是边中点，设，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系的应用，延长至，使得，连接，则，证明，得出，再由三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，则， ∵点是边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为______，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可． 【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为， ， A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， ， ； ②，， 则，， 解得：，， 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，点，，，在同一直线上，并且．若，． （1）证明：； （2）探索线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 解：且，理由， ∵， ∴， ∴， ∴线段与的关系是且． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后通过“”证明即可； （）由，则，根据平行线判定得，从而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为6，则的面积为 ． （2）当时，求的度数． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了中线与面积，三角形内角和性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合是的中线，的面积为6，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运算三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴. ∵平分， ∴. ∵，， ∴， ∴. 19. 如图，在和中，，，与交于点． （1）证明：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明即可； （）由得，然后通过等角对等边即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知，，分别为三角形的角平分线． （1）尺规作图：分别画出，，保留作图痕迹； （2）证明：． 【答案】（1） 如图，，即为所求： （2） 证明：由作图可知，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定与性质，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用尺规分别作和角平分线即可； （）由作图可知，，又，所以，，，则，证明，然后通过全等三角形的性质即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在和中，，且点在同一直线上，点在的同侧．连接分别交于点交于点M． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理“”可证得结论； （2）根据三角形的外角性质求得，然后根据全等三角形的性质得到，再次利用三角形的外角性质，结合等量代换可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的外角， ， ， ， 是的外角， ． 22. 如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2） 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，同角的补角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，然后通过同角的补角相等得出，从而证明，所以，由角平分线判定可得点在的平分线上，从而求证平分； （）由平分，则有，证明，可得，然后通过线段和差即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在的内部有一点D，分别连接和．”所形成的图形展开研究． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，和分别平分和． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，运用以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，结合已知条件，根据角的运算进而得到，最后由三角形内角和定理即可求得答案； （2）①根据三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得到，最后由三角形内角和定理即可求得答案；②同①的原理即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴． 24. “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，过点C作直线于点于点E，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，，连接，且于点与直线交于点G．求证：． 【答案】（1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）6； （3）证明：过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ， ， ∵直线直线于点， 在和中，， ， 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质： （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，再证出即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图2所示： 在中，， ， 于点点E， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $