精品解析：吉林省长春市德惠市第三中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

2025-2026学年吉林省长春市德惠三中九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟知一元二次方程的概念是正确解答此题的关键． 判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是，据此解答即可． 【详解】解：A、中，当时，它不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、中含有两个未知数，故此选项不符合题意； C、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意； D、，符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 已知是成比例线段，且，其中，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据题意得到即，求出，即可得到答案． 【详解】解：是成比例线段，且， ， ， ， 故选：C． 4. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴AC=1.2m+12.8m=14m ∵标杆和建筑物CD均垂直于地面 ∴BE//CD ∴△ABE∽△ACD ∴,即,解得CD=17.5m． 故答案为A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键． 7. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ） A. B. C. 10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=36.4，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设二、三月份的月增长率是x， 依题意有：， 故选D． 【点睛】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 8. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定性质，由平行四边形的性质可得，，，即得，，得到，又由得到，进而可得，即可判断；由，，可得，即得，进而由相似三角形的性质可得，即得，，即可判断；由可判断；由可得，即得，又由可得，即可得，进而得到，据此即可判断；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项错误； ∵， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 10. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的求值，设，，，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 11. 如果两个相似三角形面积之比为，那么它们对应中线之比为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比解答即可． 【详解】解∶两个相似三角形的面积比为． 两个相似三角形的相似比为． 它们的对应中线的比． 故答案为∶． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点M、N分别在边上，与相交于点E．若，则_________ ．    【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，三角形的高，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 通过设的长度为未知数，利用矩形性质得到与平行，从而证明与相似，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵是高，， ∴是的高，，则． ∵， ∴，即． 解． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，是斜边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结交于点，连结，给出下面五个结论：；；；；，上述结论中．所有正确的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转得，，，可得，进而可得≌，则，进而可得，即，即可判断结论；根据，，，可得，即可判断结论；证明∽，得出，故结论不正确；证明∽，可得到则正确；证明∽，可得不正确． 本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由旋转得，，， ． ， ． ． ， ≌， ． ，， ， ， ， ． 故结论正确； 由旋转得，，， ， ． ，， ． 故结论正确； ，， ， ∽， ， 故结论不正确； ，， ∽， ， ， ， ， 故正确； ，， ∽， ， ， ， ， 故结论不正确． 综上所述，所有正确结论的序号是． 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 15. 解方程：3x2﹣4x+1＝0．（用配方法解） 【答案】x1＝1，x2＝ 【解析】 【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解． 【详解】3x2﹣4x+1＝0 3（x2﹣x）+1＝0 （x﹣）2＝ ∴x﹣＝± ∴x1＝1，x2＝ 【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． 四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 如图，四边形四边形． （1）______． （2）求边，的长度． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（）根据相似多边形的对应角相等可得，再根据四边形内角和即可求解； （）根据相似多边形的对应边成比例可得，解比例式即可求解； 此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形四边形， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形四边形， ∴， 解得，． 18. 校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？ 【答案】2m 【解析】 【分析】设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32－x）m，宽为（20－x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽． 【详解】解：设道路的宽为xm， （32－x）（20－x）=540， 整理，得x2－52x+100=0， ∴（x－50）（x－2）=0， ∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去）， 小道的宽应是2m． 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 19. 如图，、交于点E，，且平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，结合即可得证． （2）根据，得到，结合，代入解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 解得． 20. 如图，图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，点P为与的交点，则的值为________； （2）在图②中，在线段上确定一点Q，使； （3）在图③中，在线段上确定一点K，连结、，使． 【答案】（1） （2） 解：作图如下，点Q即为所作； （3） 解：作图如下，点K即为所作． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）利用勾股定理求出，，问题得解； （2）取网格点S、T，连接交于点Q，根据可得：，即有，根据，即可得，问题得解； （3）取网格点U，连接交于点K，连接、，根据可得：，结合网格图可知，即可得，问题得解． 【小问1详解】 解：根据网格图可得：，， 则， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件． （1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出________件文化衫，销售利润是________元； （2）若每件文化衫的售价上涨x元（）． ①平均每天售出________件文化衫（用含x的代数式表示）； ②若每天的销售利润恰好为元，且获利不超过，求x的值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用日销售量每件文化衫的售价上涨的钱数，可求出日销售量，再利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，即可求出每天的销售利润； （2）①利用日销售量每件文化衫的售价上涨的钱数，可用含x的代数式表示出日销售量；②利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得：当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出：（件）文化衫， 销售利润是（元）． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①根据题意得：平均每天售出件文化衫． 故答案为：； ②根据题意得：， 整理得：，解得：， 又∵获利不超过， ∴， ∴． 答：x的值为10． 22. 如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． （1）求证：； （2）若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2） 解：，理由如下： ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么______秒后，的长度等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）几秒后与相似？ 【答案】（1）3 （2）1秒 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质应用，找到关键描述语“的面积等于”“的长度等于”，得出等量关系是解决问题的关键． （1）利用勾股定理列出方程求解即可； （2）经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设经过t秒后，的长度等于， 由题意得，则有， ∵， ∴， 即，， 解得：（舍去）或3． 则3秒后，的长度为； 【小问2详解】 解：设经过秒以后，面积为， 此时， 由，得，， 整理得：， 解得：或（舍）； 答：1秒后的面积等于； 【小问3详解】 解：设t秒时，与相似， 则有， 当时，， ， 解得，； 当时，， ， 解得，， 综上，或后与相似． 24. 在中，，，，点为边的中点，连接，动点从出发沿折线以每秒个单位长度的速度运动，连结，设的运动时间为秒． （1）求线段______（用含的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）当时，则______． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角函数等知识，运用分类思想是解决问题的关键． （1）分点在上或点在上两种情形，分别表示的长； （2）如图，当点在上，过点作于，求出的长，再利用等积法求出，当点在上，同法可得； （3）当点在上时，利用∽，得可得的长，当点在上时，可知，则，从而解决问题． 【小问1详解】 解：∵动点从点出发沿折线以每秒 1 个单位长度的速度运动，当点在上时， ， 当点在上时， ， 综上所述，； 【小问2详解】 解：， 当点在上时，， 如图1中，过点作于． ， ， 为中点， ， ， ， ， 当点在上时，同法可得，可得， 综上所述，满足条件的的值为 2 或； 【小问3详解】 解：如图 2 中，当点在上时， 又 ∵为的中点， 又 ∵为公共角， 当点在上时， 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年吉林省长春市德惠三中九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是成比例线段，且，其中，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 4. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　) A. B. C. D. 7. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ） A. B. C. 10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D. 8. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：_______． 10. 若，则_________． 11. 如果两个相似三角形面积之比为，那么它们对应中线之比为____． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 13. 如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点M、N分别在边上，与相交于点E．若，则_________ ．    14. 如图，在中，，，是斜边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结交于点，连结，给出下面五个结论：；；；；，上述结论中．所有正确的序号是______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 15. 解方程：3x2﹣4x+1＝0．（用配方法解） 四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 如图，四边形四边形． （1）______． （2）求边，的长度． 18. 校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？ 19. 如图，、交于点E，，且平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，点P为与的交点，则的值为________； （2）在图②中，在线段上确定一点Q，使； （3）在图③中，在线段上确定一点K，连结、，使． 21. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件． （1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出________件文化衫，销售利润是________元； （2）若每件文化衫的售价上涨x元（）． ①平均每天售出________件文化衫（用含x的代数式表示）； ②若每天的销售利润恰好为元，且获利不超过，求x的值． 22. 如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． （1）求证：； （2）若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 23. 已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么______秒后，的长度等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）几秒后与相似？ 24. 在中，，，，点为边的中点，连接，动点从出发沿折线以每秒个单位长度的速度运动，连结，设的运动时间为秒． （1）求线段______（用含的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）当时，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $