精品解析：辽宁省铁岭市开原市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度上学期随堂练习 九年数学（二）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列各组图形中一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个正五边形 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形 3. 在一个有2万人的小镇，随机调查了600人，其中200人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是（ ） A. B. C. D. 4. 按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图：菱形中，对角线和的相交于点，且、的长是方程的两根，且，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 32 9. 已知：且，则的值为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 10. 已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在0.7，请你估计这个口袋中红球有___________个． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 13. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于，若，则的长为___________． 14. 已知两个连续整数的积为132，则这两个整数的和为___________． 15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；再分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，若菱形的周长为，则的面积为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，Rt中，，是边上的中线，过点作，过点作与交于点．猜想四边形的形状并说明理由． 18. 经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法． （1）小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是___________； （2）求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率． 19. 某服装店将进货价为66元的服装以110元售出，平均每天可售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 20. 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 三角形外角平分线定理，如图1，在中，平分交的延长线于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交于点． 任务： （1）请按照上面所作的辅助线，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分交的延长线于点，则的周长是___________． 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度均为，当点到达点时，同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，求的值； （2）当的面积为时，求的值． 22. 如图，在菱形中，连接，，点为线段中点． （1）如图1，过点作，且交于点，则___________，是___________三角形； （2）如图2，在（1）的条件下，将绕着点顺时针旋转得到，点对应点是点，点对应点是点，当点在菱形内部时，延长交于点，连接、， ①求证：； ②猜想和之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将线段绕着点顺时针旋转得到，点对应点是点，当点在菱形内部时，延长到，使得，连接，若，请直接写出的最小值． 23. 如图，直线交轴于点，交轴于点，且，和是关于的一元二次方程的两个实数根，点在线段上（不与点、重合），过点分别作、的垂线，垂足为、． （1）求直线的函数表达式； （2）当时，求点的坐标； （3）若 求的值； 求点在何处时，矩形的面积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期随堂练习 九年数学（二）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得． 【详解】解：A、中含有两个未知数，则此项不是一元二次方程，不符合题意； B、不是一元二次方程，不符合题意； C、，时不是一元二次方程，不符合题意； D、，即方是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 下列各组图形中一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个正五边形 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义解答即可． 【详解】解：A、两个矩形的对应边不一定成比例，故两个矩形不一定相似，不符合题意； B、两个正五边形一定相似，符合题意； C、两个菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意， 故选：B． 3. 在一个有2万人的小镇，随机调查了600人，其中200人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式，是解题的关键．根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】解：在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是． 故选：C． 4. 按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，然后求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6. 如图，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：, ∴ 故选：B． 7. 如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式列出方程． 【详解】解：设原正方形的边长为，依题意有 ， 故选：D． 8. 如图：菱形中，对角线和的相交于点，且、的长是方程的两根，且，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理及一元二次方程的解法，掌握基本性质是解题关键； 先解方程得到、的长，再利用菱形的基本性质和勾股定理求出，进而可求解 ． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵菱形中，对角线和的相交于点， ∴，，，， ∴， ∴菱形的周长为：． 故选：A． 9. 已知：且，则的值为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 设，然后表示出，再代入，解出k即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，坐标与图形；根据题意求得点，根据旋转的性质可得分别对应，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，矩形的周长为12， ∴， ∴，， ∵的中点为坐标原点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点逆时针旋转后与点重合， 将绕着点逆时针旋转得到， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在0.7，请你估计这个口袋中红球有___________个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 直接根据“红球的频率稳定在0.7”计算这个口袋中红球的数量． 【详解】解：∵红球的频率稳定在0.7， ∴估计这个口袋中红球的数量为个． 故答案为：7． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，解题的关键是正确掌握一元二次方程的解的意义． 首先把代入一元二次方程中，可得到即可求解． 【详解】是一元二次方程的一个根， ， ． 故答案为：． 13. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于，若，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 由折叠的性质可得，，再由矩形的性质可得，，从而得到，进而得到，设，则，然后在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，     ，   ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：3． 14. 已知两个连续整数的积为132，则这两个整数的和为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查用一元二次方程解决数字问题，正确表示两个连续整数并列出方程是解题的关键 设较小的整数为，则较大的整数为，根据积为132建立一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设较小的整数为，则较大的整数为 ， 解得：，或． 当时，，和为 当时，，和为． 故答案为： 或． 15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；再分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，若菱形的周长为，则的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 作交于I，根据菱形的性质可知，由作图可知平分，即，进而根据三角形面积公式计算得出，再根据菱形的性质，证明，故的面积为，即可作答． 【详解】解：如图，作交于I， ∵四边形是菱形， ∴， 即， 由作图可知平分， ∴， ∵菱形的周长为 ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 故答案为：6． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∵ ∴ ∴， 【小问2详解】 解： 原方程可变形为： ∴ ∴或 ∴， 17. 如图，Rt中，，是边上的中线，过点作，过点作与交于点．猜想四边形的形状并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定和直角三角形斜边上的中线性质是解此题的关键． 先证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得出，然后根据菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 证明：∵，， 四边形为平行四边形． 中，，为斜边边上的中线．  ． 平行四边形是菱形． 18. 经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法． （1）小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是___________； （2）求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，正确的画出表格，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 列表或画树状图正确 直行 左拐 右拐 直行 （直行，直行） （直行，左拐） （直行，右拐） 左拐 （左拐，直行） （左拐，左拐） （左拐，右拐） 右拐 （右拐，直行） （右拐，左拐） （右拐，右拐） 一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的有2钟结果：（左拐，直行），（直行，左拐） 两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是． 19. 某服装店将进货价为66元的服装以110元售出，平均每天可售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价4元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设每件应降价x元，根据每天要盈利1600元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每件应降价x元，根据题意得： ， 解得：，， ∵每件降价幅度不超过10元， ， ∴不符合题意，舍去． ∴， 答：每件应降价4元． 20. 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 三角形外角平分线定理，如图1，在中，平分交的延长线于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交于点． 任务： （1）请按照上面所作的辅助线，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分交的延长线于点，则的周长是___________． 【答案】（1） 证明：过C作．交BA于点F， ∵， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，以及勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证； （2）由角平线定理得，设，根据，解得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵； ∴， ∵平分；∴， 设， ∴，∴x=2， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度均为，当点到达点时，同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，求的值； （2）当的面积为时，求的值． 【答案】（1） （2）9或12 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中的动点问题，等角对等边，列方程解决几何问题，解题的关键是理解题意，掌握以上性质． （1）根据点的速度和时间，表示出相关线段的长度，根据等角对等边列出一元一次方程求解即可； （2）根据三角形的面积列出一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：； 【小问2详解】 解：∵ 解得：， ∴t的值为9或12． 22. 如图，在菱形中，连接，，点为线段中点． （1）如图1，过点作，且交于点，则___________，是___________三角形； （2）如图2，在（1）的条件下，将绕着点顺时针旋转得到，点对应点是点，点对应点是点，当点在菱形内部时，延长交于点，连接、， ①求证：； ②猜想和之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将线段绕着点顺时针旋转得到，点对应点是点，当点在菱形内部时，延长到，使得，连接，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；等边 （2）①见解析；②理由见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，勾股定理得应用，三角形内角和定理，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用三个内角都相等的三角形是等边三角形即可得到结论； （2）①可证即可求解； ②根据全等三角形的性质，，，，再根据直角三角形性质即可证明； （3）取中点G，连接，可证明，当D、H、G共线时最小，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ∵点E为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：；等边； 【小问2详解】 ①∵将绕着点B顺时针旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 的最小值为，理由如下： 取中点G，连接， ∵， ∴ ∵； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当D、H、G共线时最小，最小值为， 过点D作，交延长线于点Q， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 23. 如图，直线交轴于点，交轴于点，且，和是关于的一元二次方程的两个实数根，点在线段上（不与点、重合），过点分别作、的垂线，垂足为、． （1）求直线的函数表达式； （2）当时，求点的坐标； （3）若 求的值； 求点在何处时，矩形的面积为？ 【答案】（1）； （2）； （3）；或． 【解析】 【分析】解一元二次方程求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； 根据平行线分线段成比例定理求出点的横坐标，再把点的横坐标代入直线，求出点的纵坐标； 利用合比性质求出的值即可； 设点的坐标是，由可知，可得：，解方程求出的值，即为点的横坐标，再根据的值求出纵坐标即可． 【小问1详解】 解：解方程， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，， ， ，， ，， 设直线l的函数表达式， 把，的坐标分别代入， 可得：， 解得：， 直线的函数表达式； 【小问2详解】 解：，轴轴； ， ， ， ， ， ， 把代入中，得：， 点的坐标是； 【小问3详解】 解：， ； 解：设点的坐标是， ，， 矩形的面积为，， 矩形的面积为， ； ， 即， 解得：，， 当时，， 点的坐标是， 当时，， 点的坐标是， ∴当点的坐标是或时矩形的面积为． 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质、一次函数的图象与性质、解一元二次方程，解决本题的关键是解一元二次方程求出点、的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $