精品解析：安徽省合肥市第一六八中学教育集团2025-2026学年九年级上学期期中练习数学试题

九年级数学期中练习单 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 将二次函数化为的形式，结果为(　　) A. B. C. D. 4. 抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移方法中正确的是（ ） A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 5. 根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 6. 已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（　　） A. y＝﹣（x﹣1）2+3 B. y＝（x+1）2+3 C. y＝（x﹣1）2﹣3 D. y＝﹣（x﹣1）2﹣3 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，P为抛物线对称轴上一动点．当的值最大时，P的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若函数表示是的二次函数，则的值为_________． 12. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则______． 13. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于_______． 14. 已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标______； （2）当时，y有最小值，则m的取值范围为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 16. 已知二次函数． （1）列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数的图象； … … … … （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的二次函数． （1）求证：此抛物线与x轴总有交点； （2）若此抛物线与x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，m是正整数，求m的值． 20. 定义：二次函数，当时的函数值记为该函数的“系数和值”． （1）抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，求该抛物线的“系数和值”； （2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点落在线段上，求该抛物线“系数和值”的取值范围． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中练习单 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2. 若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：把代入可得，，解得 故选：B． 3. 将二次函数化为的形式，结果为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵二次函数为， ∴二次函数化为顶点式为． 故选：D． 4. 抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移方法中正确的是（ ） A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得，即可求得答案 【详解】解：根据题意将向左平移2个单位再向下平移1个单位即可得， 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意确定平移的方向和距离是关键． 5. 根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程的根．根据表格得到当时，，当时，，即可得到在时，存在一个的值，使，即可． 【详解】解：由表格可知：当时，， 当时，， ∴当时，存在一个的值，使， 即：方程的一个解的范围是； 故选：C． 6. 已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 7. 抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（　　） A. y＝﹣（x﹣1）2+3 B. y＝（x+1）2+3 C. y＝（x﹣1）2﹣3 D. y＝﹣（x﹣1）2﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标（1，3），根据对称性得到关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，即可列出函数关系式. 【详解】∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）， ∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下， ∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3． 故选：D． 【点睛】此题考查函数图象的对称性，可由原图象确定某些特殊点的坐标，例如：与坐标轴的交点，图象的顶点坐标，由对称性即可得到对称的抛物线上的点的坐标，由此来求解析式. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，于轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B ． 9. 抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，P为抛物线对称轴上一动点．当的值最大时，P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交对称轴与点，根据，得到当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大，求出直线的解析式，与对称轴的交点即为点P的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴，对称轴为直线； 连接交对称轴与点， 设直线的解析式为：， 把，代入，得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，ACD都是等边三角形， ∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°． 如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x， 作PE⊥AB于E， ∴， ∴， 故D选项不正确； 如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2， 作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H， ∴， ， ∴， 故B选项不正确； 当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4， ∴PQ=x-2， 作AG⊥CD于G， ∴， ∴， 故C不正确． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若函数表示是的二次函数，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 12. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 把代入得，再利用整体代入的方法，即可求得结果． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题．由四边形是矩形，F是的中点，可设，则，又E点在抛物线上，则．可以用含m，n的式子表示出矩形，三角形和三角形的面积．F在反比例函数的图形上可得到的关系，再依据，列式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，F是的中点， ∴可设，则，又E点在抛物线上，则， ∵F在抛物线上， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 14. 已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标______； （2）当时，y有最小值，则m的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与x轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与x轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线，再把代入得，从而有，求解即可得解． 【详解】解：（1）， ∴函数与x轴的交点为，， ∴函数必过点； 故答案为：； （2）∵函数与x轴的交点为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得， ∴， 解得， ∵，即， ∴， ∴m的范围为． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 【答案】（1）该抛物线的对称轴为直线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）把解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 16. 已知二次函数． （1）列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数的图象； … … … … （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） 解：列表： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 描点、连线，如图抛物线为所求， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想答题． （1）根据函数解析式找出对应的x，y的值列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）根据图象可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象可得：当时，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 ∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数解析式为； （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的二次函数． （1）求证：此抛物线与x轴总有交点； （2）若此抛物线与x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，m是正整数，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴此抛物线与x轴总有交点； （2）1 【解析】 【分析】（1）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后求出方程中判别式的值，即可证明结论； （2）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后对方程分解因式，又因此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，从而可以求得符合要求的正整数m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则， 所以或， 解得，， 因为抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都是整数，m是正整数 所以m为1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点和解一元一次方程，解决本题的关键是设出两交点的坐标． 20. 定义：二次函数，当时的函数值记为该函数的“系数和值”． （1）抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，求该抛物线的“系数和值”； （2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点落在线段上，求该抛物线“系数和值”的取值范围． 【答案】（1）该抛物线的“系数和值”为； （2）该抛物线“系数和值”的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解抛物线的“系数和值”是解题的关键． （1）把代入，求得，则抛物线的解析式为，据此即可求得该抛物线的“系数和值”； （2）设顶点坐标为，则，当时，，根据题意，据此即可求得． 【小问1详解】 解：∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，函数值为， ∴该抛物线的“系数和值”为； 【小问2详解】 解：设顶点坐标为， 则， 当时，， 当时，， ∴顶点坐标为， ∵顶点落在线段上， ∴， ∴， ∴该抛物线“系数和值”的取值范围为． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，最大值是， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； 【小问3详解】 解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值； （２）①方法一：由A、B的坐标可得对称轴方程是关于b、m的关系式，由m的取值范围即得；方法二：把A、B坐标分别代入抛物线解析式可得b、m关系式，由m的取值范围，即得b的取值范围；②方法一：可将点的坐标代入抛物线的解析式，进而建立关于，m的不等式，解不等式即得；方法二：根据y的变化趋势，得出到对称轴的距离的大小关系，建立关于，b的不等式，解不等式即得 【小问1详解】 解：∵抛物线L的对称轴为直线x= 解得 ∵抛物线 经过点， 【小问2详解】 ①方法一：∵抛物线L经过，， ∴抛物线L的对称轴为直线 ∴． ∵， ∴， ∴b的取值范围为． 方法二：将代入 得， ∴， 又∵抛物线L过点， 由，可知， ∴， ∵， ∴， ∴． ②方法一∶将代入 得， ∴． 由①可知，， ∴， ， ， ， 又∵ , , ∴m的最大值为 方法二：∵抛物线L的对称轴为直线 则点到直线的距离点到直线的距离 ∵抛物线L的开口向下， ∴距离抛物线对称轴越远的点，函数值越小， ∴当时， 即 整理，得 ， ， 又， ， 由①可知，， ， ， ∴m的最大值为 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，对称性增减性，二次函数与方程与不等式，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $