精品解析：四川省绵阳市安州中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

四川省安州中学2025-2026学年度高三上学期期中考试 数学学科试题卷 第I卷（58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集与补集运算即可得答案. 【详解】全集， 又，，则， 所以. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 设向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模判断A,利用向量垂直的性质判断B, 利用向量平行的性质判断C，利用向量数量积判断D． 【详解】向量， 对于A，，，故A错误； 对于B，，，∴，故B正确； 对于C，坐标间不存在倍数关系，不平行，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，根据直线与平面垂直的性质得到C正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，即B错误； 对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 对于D，若，，，则与的关系为平行、相交或异面，故D错误； 故选：C 5. 已知直线，，则“”是“直线与相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果. 【详解】由题意可得直线与相交， 则 当时，满足，即“”是“直线与相交”的充分条件； 当直线与相交时，不一定有，比如也满足，所以“”是“直线与相交”的充分不必要条件. 故选:A. 6. 式子可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的运算性质，将目标式做合理转化为对应组合数形式，即可得结果. 【详解】由. 故选：D 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 8. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设，定义域为： 对求导可得： 令 解得：（其中舍去） 当时，，则此时该点到直线的距离为最小 根据点到直线的距离公式可得： 解得： 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可. 【详解】因为， 所以的最大值为2，故A正确. 最小正周期是，故B正确. 将代入，可得，则其图象关于直线对称，故C正确. 当时，，所以的图象关于点对称．故D错误. 故选: ABC. 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 曲线可能是圆 D. 若为双曲线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二元二次函数与圆锥曲线的关系数，逐一分析判断各选项即可. 【详解】因为方程所表示的曲线为， AC.当，取时，方程为，表示圆，故A错误，C正确； B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，故B正确； D.若为双曲线，可得，解得或，故D错误. 故选：AD. 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 1225既是三角形数，又是正方形数 C. 若，则数列的前100项和为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数列的性质可判断A；再由累加法分别求出数列，，分别令和，看有无正整数解即可判断B；设，结合等差数列的求和公式可得C；将放缩后用裂项相消求和即可判断D； 【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立； 正方形数构成数列：1，4，9，16，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立. 对于A，，故A错误； 对于B，令，解得； 令，解得；故B正确； 对于C，当n为偶数时：设， 则 ， 代入可得数列的前100项和为，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案. 【详解】是等差数列，且， 设等差数列的公差 根据等差数列通项公式： 可得 即： 整理可得： 解得： 根据等差数列前项和公式： 可得： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 13. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用求导法则求出的导函数，把代入导函数中得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值，最后将代入解析式即可. 【详解】求导得，把代入得：， 解得：，∴，故答案为. 【点睛】本题要求学生掌握求导法则，学生在求的导函数时注意是一个常数，这是本题的易错点． 14. 游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意画出数形图，即可求出的分布列，即可求出数学期望； 【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下： 则的分布列如下： 0 1 2 3 故. 故答案为： 【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{}中，=1，前n项和． （Ⅰ）求 (Ⅱ)求{}的通项公式． 【答案】 【解析】 【详解】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和的相结合的综合运用． 【点评】试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分利用通项公式和前n项和的关系式变形就可以得到结论． 16. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，. （1）证明：； （2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离. 【答案】（1） 连接BP，在半圆柱中，因为平面，平面， 所以，又因为BC是直径，所以， 又平面，，所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证得，根据线面垂直的判定证明平面，从而利用线面垂直的性质定理得证； （2）建立空间直角坐标系，设点P的坐标，求出两个平面的法向量，根据锐二面角大小结合数量积夹角公式求出点P的坐标，代入点到平面距离的向量公式直接求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点， 以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，连接OP， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，则，令，则， 所以， 设为平面的一个法向量， 则，， 所以，令，则， 所以， 因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为， 所以， 令，则，平方化简得， 即，又由，可解得或（舍去）， 所以，所以平面PCA的一个法向量，且， 所以点D到平面PCA的距离. 17. 为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：cm），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常． 假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． （1）假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求及的数学期望． （2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程的方法的合理性． ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（结果精确到，其中若随机变量 服从正态分布，则，，）． 【答案】（1）, （2） ①由（1）可知如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率仅有， 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率仅有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况， 需要对当天的生产过程进行检查， 因此上述监控生产过程的方法是合理的. ②需要，， 【解析】 【分析】（1）根据题意及正态分布的性质可知尺寸在之外的概率为，而，进而可求出的数学期望; （2）①根据出现尺寸在之外的零件的概率分析即可；②计算，，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剩下数据的样本方差，即为的估计值. 【小问1详解】 根据题意及正态分布的性质可知抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为， 所以零件的尺寸在之外的概率为， 所以， 所以， 的数学期望. 【小问2详解】 ①略 ②由，得的估计值，的估计值， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在，即之外， 因此需要对当天的生产过程进行检查， 剩下数据的平均数为，因此的估计值为， 因为， 所以剩下数据的样本方差为， 因此的估计值为. 18. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知， （1）求抛物线的方程及的值； （2）当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标； （3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，. 【答案】（1）， （2）或或 （3） 不存在，理由如下： 因为由（1）（2）知点，则的斜率为， 所以平行于的两个点分别记为，其斜率， 所以可得 则的中点， 若，则点在以为圆心，为半径的圆上， 到准线的距离等于，因为 所以，以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件. 【解析】 【分析】（1）根据焦半径可求出抛物线方程进而可求； （2）设点的坐标为根据的面积为1，得出边上的高为，利用到直线的距离公式可得，，再把点的坐标代入抛物线方程即可求解； （3）将转化为以为直径的圆与准线的位置关系来进行判断. 【小问1详解】 由题意，解得，因此抛物线的方程为 点在抛物线上可得，故 【小问2详解】 设点的坐标为边上的高为，我们知道的面积是：， 所以，， 直线的方程是，利用到直线的距离公式可得：， 化简得：，由于点在抛物线上，即， 代入条件可得：， 可以得到或， 解这个方程可以得到或， 代入拋物线方程可以得到：或或 综上所述，点的坐标有三个可能的值： 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的关于求点坐标的问题，往往需要设点的坐标，根据题目的已知条件寻找所设的点横纵坐标关系等. 19. 已知函数，． （1）设，请判断是否存在极值?若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （2）当时，若对于任意，不等式恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1）不存在极值，理由： 由， 则， 令， 则， 当即时，，此时单调递减； 当即时，，此时单调递增， 所以，即对任意，都有， 所以在上单调递增，即不存在极值. （2） 【解析】 【分析】（1）对求导可得，再导可得，分类讨论当、时的单调性，进而可得的单调性，结合极值的定义即可求解； （3）将原问题转化为在上单调递增，即在上恒成立，等价于对于任意不等式恒成立，利用导数求出即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 对于任意，不等式恒成立， 等价于对于任意，不等式恒成立， 等价于函数在上单调递增， 等价于导函数在上恒成立， 等价于对于任意，不等式恒成立， 令，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减， 所以，即， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省安州中学2025-2026学年度高三上学期期中考试 数学学科试题卷 第I卷（58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 设向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 已知直线，，则“”是“直线与相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 式子可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 曲线可能是圆 D. 若为双曲线，则 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 1225既是三角形数，又是正方形数 C. 若，则数列的前100项和为 D. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 13. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝__________. 14. 游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{}中，=1，前n项和． （Ⅰ）求 (Ⅱ)求{}的通项公式． 16. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，. （1）证明：； （2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离. 17. 为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：cm），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常． 假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． （1）假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求及的数学期望． （2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程的方法的合理性． ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（结果精确到，其中若随机变量 服从正态分布，则，，）． 18. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知， （1）求抛物线的方程及的值； （2）当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标； （3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，. 19. 已知函数，． （1）设，请判断是否存在极值?若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （2）当时，若对于任意，不等式恒成立，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $