精品解析：江苏省盐城市盐都区第二联盟2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋学期10月份课堂练习 九年级数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一．选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A B. C. D. 2. 若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 5. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A. B. 12 C. D. 24 二．填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 一元二次方程的根是________． 10. 的半径为5，若点A在上，则________ ． 11. 将一元二次方程化成的形式，则_________． 12. 三边长为7，24，25的三角形，它的外接圆半径为________ ． 13. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为_____________． 14. 如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为_____． 15. 已知关于的方程的两根分别为、，则_________ ． 16. 如图，中，弦，于点D，，点P是圆上一动点（不与A、B重合），将沿翻折得到，点Q是的中点，连接，则的最大值为_________． 三．解答题（本大题共9小题，共102分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，是直径，C是延长线上一点，点D在上，且，延长线交于点E，连接，若，求的度数． 19. 李叔叔计划扩建家里蔬菜基地，如图，原蔬菜基地为矩形，的长为20m，的长为38m；扩建后新蔬菜基地为矩形．设该蔬菜基地两边增加相同的宽度x m，当新蔬菜基地的面积为时，求和的长． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值及方程的两根． 21. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“积差方程”． 例如：，即，解得，，，是积差方程． （1）下列方程是“积差方程”的是 ① ；②（填序号） （2）若关于的方程是“积差方程”，求出的值． 22. 如图，是的直径，射线交于点F，弦平分，垂足为E， （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径． 23. 在中，，为弦，为直径，于E，于F． （1）如图1，若过圆心O，求的度数； （2）如图2，若与相交于G证明：． 24. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 25. 如图，是的弦，点D在上，连接 ． （1）若，则_________°． （2）用无刻度直尺和圆规作，使点D为的内心（保留作图痕迹，不写作法）．完成下列问题 ①当时，求的度数． ②连接，证明：C、D、O三点共线． 26. 综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程，可以看成将一个长为、宽为x、面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程 ∵ （如图①） ∴ （如图②、③） ∴（如图④） ∴ （如图⑤） 初步应用 （1）如图⑥是用矩形割补对方程配方的结果，则 ；由图⑥方程配方可得 ； 综合应用 （2）如图⑦，用面积为8的正方形剪去一个边长为a的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求a的值． 迁移应用 （3）现有长为，宽为x、面积为c的矩形（，，），b、c为常数，如图⑧，请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将 x、b、标在对应线段旁）． 27. 【新定义】 在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为．对于给定的正数d，以点O为圆心、为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“点”．记函数表示圆上“点”的个数． 探究】 已知． （1）当__________时,； （2）当__________时,； （3）随着r的变化，请写出时，对应r的取值范围． 【巩固】 (4)当时，讨论随r的变化规律，写出的取值及对应r的条件． 【应用】 (5)平面直角坐标系中，点P坐标为，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l：的距离的“点”的个数，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期10月份课堂练习 九年级数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一．选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义逐项判断即可，即含有一个未知数，并且未知数的最高次幂是1的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：将方程整理，得，符合定义，所以A正确； 因为中未知数的最高次数是1次，不符合定义，所以B不正确； 因为不是整式方程，不符合定义，所以C不正确； 因为含有两个未知数，不符合定义，所以D不正确． 故选：A． 2. 若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得． 故选：A． 3. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、三角形的外接圆与外心等知识，因为不在同一条直线上的三点确定一个圆，所以“三点确定一个圆”这一说法是错误的，可判断A不符合题意；如果一条直径平分的弦也是直径，那么这条直径不一定垂直于弦，可判断B不符合题意；相等的圆心角所对的弦长相等的前提是在同圆或等圆中，可判断C不符合题意；三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，可判断D符合题意，于是得到问题的答案，正确地理解和应用这些知识是解题的关键． 【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆， “三点确定一个圆”这一说法是错误的，故A不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， “平分弦的直径垂直于弦”这一说法是错误的，故B不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， “相等的圆心角所对的弦相等”这一说法是错误的，故C不符合题意； 三角形的外心到三个顶点的距离相等， 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D符合题意， 故选：D． 5. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：C． 6. 如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查弧和圆心角的关系，解决此题的关键是熟练运用等弧所对的圆心角相等，反之亦如此；根据圆心角相等得到弧相等，根据弧相等得到圆心角相等，即可得到答案； 【详解】解：∵、是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，由题意得，，即，进而求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故选：B． 8. 已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A. B. 12 C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形面积的计算，解决此题的关键把正六边形分成六个全等的等边三角形；根据正六边形的性质把六边形分成6个等边三角形，进而得到答案； 【详解】解：如图所示；正六边形，其中心为G，连接点G与各顶点，过G作于F， 由正六边形的性质可知：正六边形分成6个全等的等边三角形， ∵， ∴， 根据勾股定理可知：， ∴ ∴， 故选：C． 二．填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先把方程化为，再解两个一次方程即可，掌握因式分解的方法解一元二次方程的解本题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，； 故答案为：， 10. 的半径为5，若点A在上，则________ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与点的位置关系，在圆上的点到圆心的距离等于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为5，且点A在上， ∴， 故答案为：5． 11. 将一元二次方程化成的形式，则_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， 因为一元二次方程可化成的形式， 所以． 故答案为：． 12. 三边长为7，24，25的三角形，它的外接圆半径为________ ． 【答案】12.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理、圆周角定理的推论，根据勾股定理逆定理可得这个三角形是直角三角形，再根据圆周角定理的推论可得这个直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∵这个三角形的直角是它的外接圆的圆周角， ∴这个直角三角形的斜边是它的外接圆的直径， ∴它的外接圆半径为， 故答案为：12.5． 13. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为_____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线性质定理，直角三角形两锐角互余，由圆周角定理可得出，根据圆的切线性质定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】连接BD、AC,根据AB=BC=DA可得，得到∠ABD-∠ADB-∠BAC，根据三角形的内角和定理列式计算即可. 【详解】 解：如图：连接BD、AC， ∵AB＝BC＝AD， ∴ ∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC， ∵∠ADB＝∠DCP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°， 解得，∠DBP＝15°． ∴的度数为30°， 故答案为30°． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键. 15. 已知关于的方程的两根分别为、，则_________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根分别为，，根据一元二次方程根与系数的关系，可得：，，再把、的值代入代数式求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为、， 设，， ， 即 ， 即， ． 故答案为：． 16. 如图，中，弦，于点D，，点P是圆上一动点（不与A、B重合），将沿翻折得到，点Q是的中点，连接，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，利用垂径定理求出，再利用勾股定理求出的半径为5；延长至点使得，连接、，根据轴对称的性质得到；取的中点，连接、，作于点，通过证明得到，，进而得到的长，利用三角形中位线定理求出，最后利用两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：连接、， ∵， ∴，， ∴， ∴； 延长至点使得，连接、， 则垂直平分，， ∴，点与点关于对称， ∵将沿翻折得到， ∴点与点关于对称， ∴线段与线段关于对称， ∴； 取的中点，连接、，作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点Q是中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最大值， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、翻折的性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造轴对称图形是解题的关键． 三．解答题（本大题共9小题，共102分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法． （1）使用直接开平方法求解，即对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程，再分别求解； （2）使用因式分解法求解，通过移项、提取公因式将方程转化为两个因式相乘等于的形式，再根据“若两个数的乘积为，则至少其中一个数为”来求解． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 18. 如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，延长线交于点E，连接，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质求得，进而根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得的度数，从而利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19. 李叔叔计划扩建家里蔬菜基地，如图，原蔬菜基地为矩形，的长为20m，的长为38m；扩建后新蔬菜基地为矩形．设该蔬菜基地两边增加相同的宽度x m，当新蔬菜基地的面积为时，求和的长． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了面积问题与一元二次方程的应用问题，解决此题的关键是读懂题意列出一元二次方程；根据题意列出方程，解方程，根据实际意义进行取值即可得到答案； 【详解】解：， ∴（负数不符合题意，舍去）， ∴，， ∴和的长分别为，． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值及方程的两根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可； （2）由题意易得，则有，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 21. 定义：已知关于一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“积差方程”． 例如：，即，解得，，，是积差方程． （1）下列方程是“积差方程”的是 ① ；②（填序号） （2）若关于的方程是“积差方程”，求出的值． 【答案】（1）① （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法以及“积差方程”的定义． （1）先分别求出一元二次方程和的两个实数根，再分别计算与的值，最后根据“积差方程”的定义判断方程是否为“积差方程”； （2）先求出关于的方程的两根，，再根据关于的方程是“积差方程”，得到，最后求解关于的方程即可． 【小问1详解】 ，即， 解得，， ， 是积差方程， ，即， 解得，， ， 不是积差方程， 故答案为：①； 【小问2详解】 对于方程， 因式分解得， 解得，， 关于的方程是“积差方程”， ， 即， 当时，解得， 当时，此方程无解， 综上，的值为， 故答案为：． 22. 如图，是的直径，射线交于点F，弦平分，垂足为E， （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径． 【答案】（1）与相切，理由见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，由得，由AD平分得，推出，，即可求证； （2）连接，先证明，求出，则，然后由，得到，即可列式计算求出，即可求解半径． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与相切； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，解直角三角形等知识点，正确理解题意是解题的关键． 23. 在中，，为弦，为直径，于E，于F． （1）如图1，若过圆心O，求的度数； （2）如图2，若与相交于G证明：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由垂径定理得，再根据圆心角定理得，进而可证为等边三角形，即可求解； （2）连接，由垂径定理和圆心角定理证得，进而得，从而证得，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵为直径，，，过圆心O， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为直径，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、圆心角定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆心角定理是解题的关键． 24. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 25. 如图，是的弦，点D在上，连接 ． （1）若，则_________°． （2）用无刻度直尺和圆规作，使点D为的内心（保留作图痕迹，不写作法）．完成下列问题 ①当时，求的度数． ②连接，证明：C、D、O三点共线． 【答案】（1） （2）图见解析；①；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，内心，尺规作图． 对于（1），先根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（2），用尺规作，交于点C，则即为所求作； ①先根据圆周角定理得，再根据内心的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； ②先连接，设，再表示，即可得，然后根据三角形内角和定理求出根据内心的性质得，接下来在中，根据三角形内角和定理表示出，进而在中表示出 ，最后结合可得答案. 【小问1详解】 解：∵， ∴. ∵， ∴. 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 为所求三角形． ①，理由：， 由作图得，， ∴． 故答案为：； ②证明：连接，设， 则：， 由内心得：， 在中，， 在中，， 在中， ． 所以， 所以C、D、O三点共线． 26. 综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程，可以看成将一个长为、宽为x、面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程 ∵ （如图①） ∴ （如图②、③） ∴（如图④） ∴ （如图⑤） 初步应用 （1）如图⑥是用矩形割补对方程配方的结果，则 ；由图⑥方程配方可得 ； 综合应用 （2）如图⑦，用面积为8的正方形剪去一个边长为a的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求a的值． 迁移应用 （3）现有长为，宽为x、面积为c的矩形（，，），b、c为常数，如图⑧，请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将 x、b、标在对应线段旁）． 【答案】（1）；；（2）对方程进行配方，或；（3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据图⑦可写出是对哪个一元二次方程进行配方，根据题意所给的方法对方程进行配方并解方程得出正数解，进而可求得a的值； （3）先根据题意画出图形，由得，再利用配方法结合图形推理即可． 【详解】解：（1）， （如图⑥）， ∴； ， ， ； 故答案为：；； （2）这是对方程进行配方， 由图⑦可得：， ∴， ∴， ∴正数解为 要使为正整数，则或； （3）如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 【新定义】 在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为．对于给定的正数d，以点O为圆心、为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“点”．记函数表示圆上“点”的个数． 【探究】 已知． （1）当__________时,； （2）当__________时,； （3）随着r的变化，请写出时，对应r的取值范围． 【巩固】 (4)当时，讨论随r的变化规律，写出的取值及对应r的条件． 【应用】 (5)平面直角坐标系中，点P坐标为，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l：的距离的“点”的个数，求b的取值范围． 【答案】（1）2 （2）8 （3）当时， （4）时：当时，；当时，；当时，； （5）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义“点”的理解、直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，解题的关键是将“圆上到直线l的距离为d的点的个数”转化为“圆与到直线l距离为d的两条平行线的交点总数”，通过分析圆与这两条平行线的位置关系（相交、相切、相离）确定交点个数． （1）到直线l距离为d的点的轨迹是两条平行于l的直线₁、l₂），点O到l₁、l₂的距离分别为、；当时，圆与其中一条直线相切个交点），与另一条相离个），结合、，得． （2）当时，圆与一条直线相切个），与另一条相交个），故． （3）当时，圆与两条直线都相交，需且，即． （4）当时，l₁与l重合（点O到l₁的距离为，到O的距离为；分（与l₁相交2个，与相离，共2个）、（与相交2个，与相切1个，共3个）、（与两条直线都相交，共4个）讨论． （5）先求点到直线的距离，到l距离为2的两条平行线到P的距离为、；由（交点总数，得且，解得b的范围． 【详解】（1）解：到直线l距离为3的轨迹是两条平行线l₁、l₂，点O到l₁的距离为，到l₂的距离为．当时，圆与l₁相切，与l₂相离，故； 故答案为：2． （2）当时，圆与l₂相切，与l₁相交个交点），总3个，故； 故答案：8． （3）当时，圆与l₁、l₂都相交，需且，故； 故答案为：． （4）当时，l₁与l重合到l₁距离，l₂到O距离． 若，圆与l₁相交个），与l₂相离，； 若，圆与l₁相交个），与l₂相切个），； 若，圆与两条直线都相交，． （5）直线l：，点到l的距离．到l距离为2的平行线到P的距离为、． ∵， ∴圆与一条平行线相交个），与另一条相离个），即且， 解得，即， ∴， 故b的范围为或； 答：b的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $