精品解析：安徽省合肥市第三十八中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025—2026学年度九年级第一学期期中考试数学试卷 温馨提示： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟；试卷由“试题卷”和“答题卷”两部分组成，共23小题； 2．务必在答题卷的装订线内和指定区域答题，否则无效．考试结束后，请将“答题卡”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列 关于 的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为 ，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 将抛物线先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移 个单位，再向下平移 个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 3. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大． 【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内， 随 的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若 跨象限变化（如从负数到正数）， 会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“ 随 的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 4. 已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或，那么线段c是线段a和b的比例中项”进行解答即可得． 本题主要考查比例中项的定义，熟练掌握比例中项的定义解题的关键． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A. 增大 B. 增大 C. 减小 D. 减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边 、与网格线的交点，连接 ，则 的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出 是 的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明 是 的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、 分别是、 的中点， 是 的中位线， ， 故选：B． 7. 如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可知函数与函数的图象相交于点M、N，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围． 【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或， 故本题答案为：或． 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 8. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定 的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与 轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与 轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与 轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 9. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．由，函数有最小值 ；后分类解答即可． 【详解】解：由，得函数有最小值 ；且距离对称轴越远，函数值越大； 又当时，函数的最大值与最小值的和为2， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 解得，与矛盾， 故时无解； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为 ， 此时函数的最大值与最小值的和为2， ∴当时，符合题意； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当 时，函数取得最小值，且为 ， 根据函数的最大值与最小值的和为2，得， 解得或，这与矛盾， 故时无解； 综上分析可知：n的取值范围是． 故选：C． 10. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段 在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点，求出，将点 沿 轴向下平移 个单位，得到点，连接，， ，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点 是直线 与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线 的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点 沿 轴向下平移 个单位，得到点，连接，， ， 点 沿 轴向下平移 个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段 在抛物线的对称轴上，线段在 轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、 、 三点共线，即点 是直线 与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线 的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线 的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点 的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与 轴的交点坐标，求抛物线与 轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，且，那么 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12. 如图，直线轴于点 ，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于 、 两点，连接 、，已知的面积为4，则________． 【答案】8． 【解析】 【分析】根据反比例函数 的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果． 【详解】解：根据反比例函数 的几何意义可知：的面积为，的面积为， ∴的面积为，∴，∴. 故答案为8． 【点睛】本题考查反比例函数 的几何意义，解题的关键是正确理解 的几何意义，本题属于基础题型． 13. 苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 14. 如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则 面积的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于 的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时 的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴ 面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为 ， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时 的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 16. 已知关于 的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是 ，经过点，交 轴于点 ，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作二次函数图象上的点； （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数解析式，再得出点的具体位置； （2）求的周长最小，是固定值，即最小，即找到 的对称点，连接另一个点和对称点，点即是与对称轴的交点． 【小问1详解】 解：根据题意可得：解得：， 即二次函数 ∴， ∵对称轴为直线， 在图上找到点 关于对称轴对称的点即是点 ； 【小问2详解】 如图，连接，点为和直线的交点，连接， 由（1）得：，， ∴关于对称， ∴ ∴的周长 当在上时，的周长最短， 令的解析式为， 将点 点 代入解析式得：，解得：， 的解析式为， 当时，， 故点 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数图象所在的象限得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数图象在第四象限的增减性得到，进而解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， k的取值范围是； 【小问2详解】 解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且， ， 解得， 又， a的取值范围是． 18. 设二次函数，（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： （1）若，求二次函数的表达式； （2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）把，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将解析式化为顶点式，求得抛物线的对称轴直线，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ，解得：， ∴. 【小问2详解】 ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴时，y随x的增大而减小. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标； （2）当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，理解二次函数的性质是解本题的关键； （1）先代入，再化为顶点式，从而可得答案； （2）先判断抛物线的对称轴在y轴的右侧，可得，再根据最值情况分别求解 ，即可； 【小问1详解】 解：∵，时， ∴， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 ∵时，y的最大值为2；时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，y的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 20. 把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点 、 是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点 ，连接． （1）若，，，试求的值； （2）在（1）的条件下，在 轴上取一点 ，使的值为“黄金比”，求点 的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，黄金分割，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，再把代入反比例函数解析式中计算求解即可； （2）由（1）可得，根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵轴，，， ∴， ∵， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵的值为“黄金比”， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 六、（本题满分12分） 21. 如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，C、D均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（b、c为常数）． （1）求点B的坐标； （2）若碗中装入一定量的水，水面，且 与之间的距离为，求水面的宽度 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键； （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出的值，进而求出点 的坐标即可； （2）求出点 和点的纵坐标，进而求出点 和点的横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∵，，，， ∴， ∴， 将点代入，得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵ 与之间的距离为， ∴点E与点F的纵坐标为. 令，得， 解得，， ∴，即水面的宽度 为； 七、（本题满分12分） 22. 在 中，点在边上，点 在 边上， 与交于点． （1）如图1，点是中点，点是 中点，交 于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线截线段成比例定理，中点的性质等知识点， （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线截线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 熟练掌握了平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵， 点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是 中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点D作交于点H， ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的值为． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标； （2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围； （3）若函数图象经过点，，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：函数的图象经过点，， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）分两种情况，当和时，根据增减性分析，解不等式（组）即可得解； （3）将已知两点代入求出，，再用m表示出，配方，即可得证． 【小问1详解】 解：二次函数经过点， ∴． 解得． ∴． ∴函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵的图象经过点，． ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴， 即， 解得， 综上，的取值范围为：； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级第一学期期中考试数学试卷 温馨提示： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟；试卷由“试题卷”和“答题卷”两部分组成，共23小题； 2．务必在答题卷的装订线内和指定区域答题，否则无效．考试结束后，请将“答题卡”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列 关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 4. 已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A. 增大 B. 增大 C. 减小 D. 减小 6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边 、与网格线的交点，连接 ，则 的长为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段 在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，且，那么 __________． 12. 如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、 两点，连接、，已知的面积为4，则________． 13. 苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加___________． 14. 如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是 上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 16. 已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线 ，其最大值是 ，经过点，交 轴于点 ，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作二次函数图象上的点； （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点 ，使的周长最短． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 18. 设二次函数，（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： （1）若，求二次函数的表达式； （2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标； （2）当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 20. 把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点 ，连接． （1）若，，，试求 的值； （2）在（1）的条件下，在轴上取一点，使的值为“黄金比”，求点的坐标． 六、（本题满分12分） 21. 如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口 的垂直平分线对称，且碗底与碗口 平行，C、D均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（b、c为常数）． （1）求点B的坐标； （2）若碗中装入一定量的水，水面，且与 之间的距离为，求水面的宽度． 七、（本题满分12分） 22. 在中，点在边上，点 在 边上， 与交于点 ． （1）如图1，点是中点，点 是 中点，交 于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（ 是常数）． （1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标； （2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围； （3）若函数图象经过点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $