精品解析：陕西省咸阳市渭城区第二初级中学2025-2026学年九年级上学期数学第一次阶段性作业

试卷类型：A 渭城区第二初级中学2025~2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点是正方形内一点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5. 如图，在菱形中，对角线的长是方程的一个根，对角线的长为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 7. 如图，图为四等分数字转盘，图为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转），将图转盘指针所指区域的数字记为，图转盘指针所指区域的数字记为，则点在第二象限的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长是7，点E、F分别在、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个一次项系数是3的一元二次方程，你写出的是______．（写出一个即可） 10. 为贯彻教育部《关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》精神，某校生物兴趣小组的同学在相同试验条件下开展“水果玉米”种子萌发试验，经过长时间的统计发现：该种子在一定条件下萌发的频率稳定在，若学校劳动基地需要该批次“水果玉米”幼苗株，试估算需要准备______粒种子进行萌发培育． 11. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天下载量达到150万次．设下载量的日平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 12. 如图，在菱形中，连接，平分，交于点，若，则的度数为______． 13. 已知关于x的方程．若方程的一个根为2，则的值为____． 14. 如图，在矩形中，，点为边上一动点，连接，以为一边在左侧作等边，连接，当最短时，的长为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 一个不透明的箱子里装有红、蓝两种颜色的中性笔共20支，其中蓝色的中性笔有8支，它们除颜色外其余都相同，现将n支外观相同的蓝色中性笔放入不透明的箱子里，混匀后，任意摸出一支中性笔，记下颜色，再把它放回，经过大量试验后发现摸到蓝色中性笔的频率稳定在0.6，求n的值． 17. 已知方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长． 18. 如图，在中，请你用尺规作图法作正方形，使得为正方形的对角线，且点D在的左侧．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB＝OD. 20. “唐妞”人物形象是以陕西历史博物馆的唐朝仕女俑为原型打造，糅合了西安十三朝古都的历史文化底蕴，打造出的独特卡通人物．刘云节假日期间来陕西旅游时，准备购买与“唐妞”有关的文创产品、她计划在“A．冰箱贴”、“B．团扇”、“C．公仔”、“D．手机壳”、“E．钥匙扣”中选择购买． （1）若刘云随机选择一种购买，则她选择购买“A．冰箱贴”的概率是______； （2）若刘云随机选择两种购买，请用列表或画树状图的方法，求她购买的两种文创产品中，没有“C．公仔”的概率． 21. 如图，在中，，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，连接．请从条件；中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程． 22. 根据以下素材，完成任务． 背景 近日，神舟二十号航天员乘组在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，出舱活动取得圆满成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 素材 已知该模型平均每天售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经市场调查发现：每个模型每降低元，平均每天可以多售出个． 任务 要使该模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 23. 定义新运算“”，对于实数、、有．例如：． （1）若实数满足，求的值； （2）关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 24. 如图，在四边形中，，，点为对角线的中点，连接，，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 25. 今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在、边上） （1）如图1，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽； （2）如图2，由于公园人流量剧增，需要增加售卖区的面积，现要使点E在线段的延长线上，并在边和上分别开一扇宽1米的门（门不用栅栏），用现有的栅栏所围成的售卖区的面积能否达到，若能达到，求出售卖区的宽；若不能，请说明理由． 26. 【问题探究】 （1）如图1，四边形是正方形，点G是边上任意一点（不与端点B、C重合），连接，过点D作于点E，交于点F． ①求证：； ②连接、，请写出与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展应用】 （2）如图2，正方形是某大型游乐场的示意图，将游乐场分为两部分，点G在边上，且，过点D作于点E，点F在上，连接、，，根据实际情况，需要将四边形规划为儿童游乐区，已知正方形的边长为4千米，请你帮助工作人员求出儿童游乐区（即四边形）的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 渭城区第二初级中学2025~2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ， ， 故选：． 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3. 如图，点是正方形内一点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由四边形是正方形，则，从而得到，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4. 已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：A 5. 如图，在菱形中，对角线的长是方程的一个根，对角线的长为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，菱形的面积等知识，先解一元二次方程得出，然后通过菱形的面积为即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ∴，（舍去）， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：． 6. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 7. 如图，图为四等分数字转盘，图为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转），将图转盘指针所指区域的数字记为，图转盘指针所指区域的数字记为，则点在第二象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意列出表格，再根据表格解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：列表如下： 图 图 由表可知，共有种等等可能结果，其中点在第二象限的结果有种， ∴点在第二象限的概率为， 故选：． 8. 如图，已知正方形的边长是7，点E、F分别在、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质，证明得到，后运用勾股定理和斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】∵正方形，， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵正方形的边长是7，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和勾股定理是解题的关键． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个一次项系数是3的一元二次方程，你写出的是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，对于一元二次方程，为二次项系数，为一次项系数，为常数项．据此即可求解． 【详解】解：是一次项系数是3的一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一） 10. 为贯彻教育部《关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》精神，某校生物兴趣小组的同学在相同试验条件下开展“水果玉米”种子萌发试验，经过长时间的统计发现：该种子在一定条件下萌发的频率稳定在，若学校劳动基地需要该批次“水果玉米”幼苗株，试估算需要准备______粒种子进行萌发培育． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，用需要该批次“水果玉米”幼苗株除以该批次“水果玉米”种子萌发的概率可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵该种子在一定条件下种子萌发的频率稳定在， ∴该批次“水果玉米”种子萌发的概率为， ∴需要准备（粒）， 故答案为：． 11. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天下载量达到150万次．设下载量的日平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键． 设下载量的日平均增长率为x，则第二天下载量为，则第三天下载量为，即可建立方程． 【详解】解：设下载量的日平均增长率为x，则根据题意可列方程为， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，连接，平分，交于点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得，再根据菱形的对角线平分对角即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 13. 已知关于x的方程．若方程的一个根为2，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，准确的计算是解决本题的关键． 根据方程的一个根为2可求出的值，则可求解． 【详解】解：∵方程的一个根为2， ∴， ， ， ， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，点为边上一动点，连接，以为一边在左侧作等边，连接，当最短时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，在上方作等边三角形，交于，连接，过作交于，先证明，得到，当与重合时，最短，再根据直角三角形和勾股定理求出，， ，最后根据求解即可． 【详解】解：在上方作等边三角形，交于，连接，过作交于， 在矩形中，， ∴，，， ∵等边和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当与重合时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵中，，，， ∴ ∴（负值舍弃）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与重合时，最短，此时； 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式法，解题的关键是先计算判别式判断方程有两个不同实数根，再代入求根公式求解． 先计算一元二次方程的判别式，判断方程根的情况，再代入求根公式求解． 【详解】解：， ， 解得：． 16. 一个不透明的箱子里装有红、蓝两种颜色的中性笔共20支，其中蓝色的中性笔有8支，它们除颜色外其余都相同，现将n支外观相同的蓝色中性笔放入不透明的箱子里，混匀后，任意摸出一支中性笔，记下颜色，再把它放回，经过大量试验后发现摸到蓝色中性笔的频率稳定在0.6，求n的值． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，概率的应用，解题的关键是利用大量重复试验时频率稳定在概率附近，结合概率公式列方程求解． 先确定放入支蓝色中性笔后蓝色中性笔的总数和中性笔的总数，再根据频率稳定在概率附近，利用概率公式列方程求解． 【详解】解：已知箱子里原本有8支蓝色中性笔，又放入支蓝色中性笔，所以放入后蓝色中性笔的总数为支， 原本箱子里有20支中性笔，放入支蓝色中性笔后，中性笔的总数为支， 因为经过大量试验后摸到蓝色中性笔的频率稳定在0.6，根据大量重复试验时，频率稳定在概率附近，所以摸到蓝色中性笔的概率为0.6， 根据概率公式得；， 解得：． 答：的值为10． 17. 已知方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程和勾股定理， 先根据因式分解法解的两根为，再利用勾股定理求出斜边即可． 【详解】解： 解得：， 因为方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边长， 所以这个直角三角形的斜边长． 18. 如图，在中，请你用尺规作图法作正方形，使得为正方形的对角线，且点D在的左侧．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，正方形为所求图形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规基本作图，正方形的性质与判定．熟练掌握尺规基本作图，正方形的性质与判定是解题的关键． 分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，交于点，则该直线为的垂直平分线，再以点为圆心，以或为半径画弧，交的垂直平分线于点（在的左侧）和点（在的右侧），最后连接，，，即可． 【详解】略 19. 如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB＝OD. 【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠CAB=∠CAD， 在△ABO和△ADO中， ， ∴△ABO≌△ADO， ∴OB=OD； 【解析】 【分析】由菱形的性质可得到AD=AB，∠CAB=∠CAD，结合公共边可证得△ABO≌△ADO，根据全等三角形对应边相等即可得出OB=OD； 【详解】略 【点睛】此题考查菱形的性质，利用全等三角形的性质进行解题是关键 20. “唐妞”人物形象是以陕西历史博物馆的唐朝仕女俑为原型打造，糅合了西安十三朝古都的历史文化底蕴，打造出的独特卡通人物．刘云节假日期间来陕西旅游时，准备购买与“唐妞”有关的文创产品、她计划在“A．冰箱贴”、“B．团扇”、“C．公仔”、“D．手机壳”、“E．钥匙扣”中选择购买． （1）若刘云随机选择一种购买，则她选择购买“A．冰箱贴”的概率是______； （2）若刘云随机选择两种购买，请用列表或画树状图的方法，求她购买的两种文创产品中，没有“C．公仔”的概率． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是明确概率公式是事件发生的总数，是总事件发生的总数），并能通过列表法列出所有可能结果。 （1）直接根据概率公式，用“A．冰箱贴”的种数除以总文创产品种数即可求解。 （2）通过列表法列出随机选择两种文创产品的所有可能结果，再找出没有“C．公仔”的结果数，最后根据概率公式计算概率。 【详解】解：（1）总共有 5 种文创产品，“A．冰箱贴”只有 1 种， 根据概率公式，可得她选择购买“A．冰箱贴”的概率是 故答案为：； （2）解：列表如下： E E 共有20种等可能的结果， 没有“C．公仔”的结果有：、、、、、、、、、、，共12种， 根据概率公式，其中（总结果数），（没有“C．公仔”的结果数），可得她购买的两种文创产品中没有“C．公仔”的概率． 答：她购买的两种文创产品中，没有“C．公仔”的概率为． 21. 如图，在中，，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，连接．请从条件；中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程． 【答案】 解：添加，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 添加条件不能证明四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，添加，由四边形是平行四边形，则，则，证明，又，可得四边形是平行四边形，然后通过矩形的判定方法即可；添加不能证明四边形是矩形；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 22. 根据以下素材，完成任务． 背景 近日，神舟二十号航天员乘组在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，出舱活动取得圆满成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 素材 已知该模型平均每天售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经市场调查发现：每个模型每降低元，平均每天可以多售出个． 任务 要使该模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 【答案】元或元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个模型应降价元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每个模型应降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：要使该模型每天获利元，每个模型应降价元或元． 23. 定义新运算“”，对于实数、、有．例如：． （1）若实数满足，求的值； （2）关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据新定义可得，再根据因式分解法求解； 对于（2），根据新定义可得一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据，求出解集即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得. 24. 如图，在四边形中，，，点为对角线的中点，连接，，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵点为对角线的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（）由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再根据线段垂直平分线的性质可得，即可求证； （）利用菱形的性质可得，，即得，再证明可得，由等腰三角形的性质可得，即得到，即可得，得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 25. 今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在、边上） （1）如图1，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽； （2）如图2，由于公园人流量剧增，需要增加售卖区的面积，现要使点E在线段的延长线上，并在边和上分别开一扇宽1米的门（门不用栅栏），用现有的栅栏所围成的售卖区的面积能否达到，若能达到，求出售卖区的宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设，则，根据围成的售卖区的面积为列方程求解即可； （2）设，，根据题意列二元一次方程，得到，进而根据题意求出的取值范围，根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， ∵围成的售卖区的面积为， ∴， 解得：， 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：设，， ∵，， ∴， ∴， ∵点E在线段的延长线上， ∴， ∴， 即， ∵售卖区的面积达到， ∴， 整理得， 解得（舍去）． ∴宽． 26. 【问题探究】 （1）如图1，四边形是正方形，点G是边上任意一点（不与端点B、C重合），连接，过点D作于点E，交于点F． ①求证：； ②连接、，请写出与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展应用】 （2）如图2，正方形是某大型游乐场的示意图，将游乐场分为两部分，点G在边上，且，过点D作于点E，点F在上，连接、，，根据实际情况，需要将四边形规划为儿童游乐区，已知正方形的边长为4千米，请你帮助工作人员求出儿童游乐区（即四边形）的面积． 【答案】 （1）①证明：四边形是正方形， ，，平分和， ， ，， ，即，， ． 在与中， ， ， ． ②解：，理由： 由①知， ，， 正方形中，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 故． （2）儿童游乐区（即四边形）的面积为平方千米 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）①利用正方形的性质，结合垂直的定义得到直角，再通过角的互余关系找到相等的角，最后用证明，从而证得； ②由①的全等结论，结合正方形相等、角为直角的性质，再用证明， 根据全等三角形的性质得到，同时通过角的互余关系推出； （2）先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形相似求出、的长度；结合（1）中三角形全等的结论，确定相关线段长度，最后用“面积割补法”将正方形面积减去几个三角形的面积，从而得到四边形的面积． 【详解】证明：（1）①略 ②略 （2）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ，． 在，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ，， 代入，，，， 得， ， 由（1）①知， ，， ， ， ， ， ， 所以，儿童游乐区（即四边形）的面积为平方千米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $