精品解析：北京汇文中学教育集团2022--2023学年下学期七年级期中考试数学试卷

北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第二学期 期中考试 初一年级 数学 本试卷共6页，满分100分．时间120分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列每对数值中，是方程的解的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，点在射线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点O在直线CD上，OB⊥OA．若∠BOD＝110°，则∠AOC的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 60° D. 70° 7. 下列命题中，为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等 D 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（ ） （参考数据：，，，） A. 在0.1到0.3之间 B. 在0.3到0.5之间 C. 在0.5到0.7之间 D. 在0.7到0.9之间 10. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“横k倍直角距离”，已知点，下列四个点中是点A的“横2倍直角距离”等于3的点为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题（共20分，每小题2分） 11. 的相反数是______． 12. 已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则__________． 13. 若一个正数的两个平方根是和，则a的值是______． 14. 如图，直线过点A，且．若，，则的度数为______． 15. 在平面直角坐标系中，点位于第二象限且到轴的距离为，则的值是______． 16. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为______． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点在直线l上，直线l与x轴平行．若点B是直线l上异于点A的一点，则点B的坐标可以是______．（写出一个即可） 18. 如图，直线相交于点O，分别作的平分线．将直线绕点O旋转，下列角的度数与大小变化有关的有______个（填个数） 19. 数学课上，王老师让同学们对给定正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有______． 20. 某初中年级因周二安排活动，需要重新排课表，当天有数学、语文、英语、地理、历史、美术六节课，要求每科只排一节，数学排在前三节，语文和英语之间只排一节，地理在第一节或在第三节课．如果某班历史是第四节课，那么第六节课是______． 三、解答题（本题共50分） 21. 计算：． 22. 解方程组： 23. 在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），B（3，2），将点A向左平移两个单位，再向上平移4个单位得到点C． （1）写出点C坐标； （2）求△ABC的面积． 24. 如图，点P为∠AOB内一点，根据下列语句画图并回答问题： （1）画图：①过点P画OB边的垂线，垂足为点M；②过点P画OB边的平行线，交OA于点N； （2）若∠O＝120°，则∠ANP＝ °，依据是 ； （3）连接OP，则线段OP与PM大小关系是 ，依据是 ． 25. 根据一家商店的账目记录，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元．这个记录是否有误？请说明你的理由． 26. 如图，已知，于点，于点 （1）求证：； （2）若，求的度数． 27. 如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得． （1）当时，______； （2）当时，求； （3）作的角平分线，若，直接写出的值：______． 28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． （1）若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ （2）已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第二学期 期中考试 初一年级 数学 本试卷共6页，满分100分．时间120分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个正数的平方等于，那么叫作的算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可；本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根是正数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接坐标系的特点即可求解． 【详解】点所在的象限是第四象限 故选D． 【点睛】此题主要考查直接坐标系，解题的关键是熟知各象限的特点． 3. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判断． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、，整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意． 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的数要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式． 4. 下列每对数值中，是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解，关键是理解二元一次方程的解的概念． 二元一次方程的解有无数个，将选项分别代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解． 【详解】解：A．把代入方程得， ∴不是方程的解，不符合题意； B．把代入方程得 ∴不是方程的解，不符合题意； C．把代入方程得 ∴是方程的解，符合题意； D．把代入方程得 ∴不是方程的解，不符合题意； 故选C． 5. 如图，点在射线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判定即可． 【详解】解：∠1＝∠2不能判断AD平行BC，故A不符合题意； ∠4＝∠2+∠3，故C和D不符合题意； ∠1＝∠3可得AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记定理是解题的关键，定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 6. 如图，点O在直线CD上，OB⊥OA．若∠BOD＝110°，则∠AOC的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 60° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可． 【详解】解：∵∠BOD=110°， ∴∠BOC=180°-110°=70°， ∵OB⊥OA， ∴∠AOB=90°， ∴∠AOC=90°-∠BOC=90°-70°=20°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是互余两角、邻补角的定义，解题的关键是找准互余的两角和互补的两角． 7. 下列命题中，为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等 D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的真假判定，利用对顶角的性质、平行线的性质、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：．“对顶角相等”是真命题，故该选项不符合题意； ．“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是真命题，故该选项不符合题意； ．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故该选项符合题意； ．“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设绳索长y尺，竿长x尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长y尺，竿长x尺， 根据题意得： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（ ） （参考数据：，，，） A. 在0.1到0.3之间 B. 在0.3到0.5之间 C. 在0.5到0.7之间 D. 在0.7到0.9之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，不等式的性质，正确判断的范围是求解本题的关键． 根据参考数据知，得，得，即得． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：C． 10. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“横k倍直角距离”，已知点，下列四个点中是点A的“横2倍直角距离”等于3的点为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的新定义问题，根据“横k倍直角距离”的定义把和选项中的点一一代入并计算出k值，进而即可得出答案． 【详解】解：．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，是横2倍直角距离，故该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（共20分，每小题2分） 11. 的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行分析解答即可． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查相反数及实数，熟记“相反数”的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解答这类题的关键． 12. 已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是在二元一次方程中，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数．将x看作已知数，即可求解． 【详解】解：已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则， 故答案为：． 13. 若一个正数的两个平方根是和，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以与的和为0， 即：， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，直线过点A，且．若，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等的性质，得，再通过角度和差计算，即可得到答案． 【详解】∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线、角度和差计算知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解． 15. 在平面直角坐标系中，点位于第二象限且到轴的距离为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键．根据到轴的距离是3可得，根据第二象限的点的坐标特征可得，据此即可求解． 【详解】解：∵点位于第二象限且到y轴的距离为， ∴且． ． 故答案为：． 16. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的解， ， ， 故答案为：6． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点在直线l上，直线l与x轴平行．若点B是直线l上异于点A的一点，则点B的坐标可以是______．（写出一个即可） 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，掌握特征是解题的关键． 根据与坐标轴平行直线上点的坐标特征：若与轴平行，则直线上的点的纵坐标都相同；若与轴平行，则直线上的点的横坐标都相同；进行求解即可． 【详解】解：由题意得， 直线l上的点的纵坐标都相同， 因为点B是直线l上异于点A的一点， 所以横坐标可取不是的任意一个数； 故答案：（答案不唯一）． 18. 如图，直线相交于点O，分别作的平分线．将直线绕点O旋转，下列角的度数与大小变化有关的有______个（填个数） 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、对顶角的定义，邻补角的定义，掌握相关知识是解题关键．根据角平分线定义和对顶角相等，邻补角互补可得，，，即可得解． 详解】解：平分， ， ， ， ， ，， 与大小变化有关的是，共3个， 故答案为：3． 19. 数学课上，王老师让同学们对给定的正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有______． 【答案】甲丙 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是在坐标系中正确的描点；在坐标系中描出A，B，C，D四个点，再观察四边形的形状即可得解． 【详解】解：甲同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 乙同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 丙同学：画坐标系并描点得，； 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 丁同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 综上所述，四个点的坐标都表示正确的同学有甲丙， 故答案为：甲丙． 20. 某初中年级因周二安排活动，需要重新排课表，当天有数学、语文、英语、地理、历史、美术六节课，要求每科只排一节，数学排在前三节，语文和英语之间只排一节，地理在第一节或在第三节课．如果某班历史是第四节课，那么第六节课是______． 【答案】美术 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，理解题意，分类讨论是解题的关键；根据题意分类讨论即可得解． 【详解】解：根据题目条件，历史固定在第四节，地理需在第一节或第三节，数学在前三节，语文和英语之间隔一节， 当地理第一节，数学只能在第二节或第三节． 当数学在第二节，剩余位置为3、5、6，需排语文、 英语、美术． ∵语文和英语之间只排一节，此时语文和英语只能排在第3节和第5节，它们之间隔着第4节的历史课，满足“之间只排一节”的条件，则剩下的美术课排在第6节； 当数学在第三节，无法满足语文和英语的间隔条件，不符合题意． 当地理在第三节，数学需在第一节或第二节． 当数学在第一节，剩余位置为2、5、6，无法满足语文和英语的间隔条件，不符合题意． 当数学在第二节，剩余位置为1、5、6，无法满足语文和英语的间隔条件，不符合题意． 综上，唯一可行解为地理在第一节，数学在第二节，语文和英语分别占据3和5(或5和3)，第六节为美术． 故答案为：美术． 三、解答题（本题共50分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，首先根据平方根，立方根，绝对值，乘方进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 22. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握消元的思想，常用的消元法有代入消元法和加减消元法． 利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 将，得， 即， 解得③； 将③代入①得， 解得， 故原方程组的解是． 23. 在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），B（3，2），将点A向左平移两个单位，再向上平移4个单位得到点C． （1）写出点C坐标； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）C（-1，5）；（2）△ABC的面积=5． 【解析】 【分析】（1）根据坐标平移的特点即可由点A的坐标得到点C的坐标； （2）如图，在坐标系中根据所给坐标描出A、B、C三点，结合三点坐标即可由图求出△ABC的面积了. 【详解】（1）∵点C是由点A（1，1）向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到的， ∴点C的坐标为（-1，5）， （2）把A、B、C三点描到坐标系中如下图所示，四边形DEFC是长方形， ∴S△ABC=S长方形DEFC-S△ABE-S△BFC-S△ADC =4×4-×2×1-×3×4-×2×4 =16-1-6-4 =5. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 24. 如图，点P为∠AOB内一点，根据下列语句画图并回答问题： （1）画图：①过点P画OB边的垂线，垂足为点M；②过点P画OB边的平行线，交OA于点N； （2）若∠O＝120°，则∠ANP＝ °，依据是 ； （3）连接OP，则线段OP与PM的大小关系是 ，依据是 ． 【答案】（1）见解析 （2）120；两直线平行，同位角相等； （3）OP>PM；垂线段最短． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出平行线与垂线； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）根据点到直线的距离垂线段最短即可求解． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 ∵PN//OB， ∴∠ANP = ∠AOB = 120°． 故答案为：120；两直线平行，同位角相等； 【小问3详解】 ∵PM⊥OB于M， ∴OP > PM 故答案为：OP>PM；垂线段最短． 【点睛】本题考查了画平行线，画垂线，平行线的性质，点到直线的距离垂线段最短，掌握平行线的性质与点到直线的距离垂线段最短是解题的关键． 25. 根据一家商店的账目记录，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元．这个记录是否有误？请说明你的理由． 【答案】有误，理由见解析. 【解析】 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即39支牙刷的钱数+21支牙膏的钱数=396元，52支牙刷的钱数+28支牙膏的钱数=518元，然后列出方程组，若方程组有解则记录无误，若方程组无解则记录有误． 【详解】解：设1支牙刷x元，1盒牙膏y元． 根据题意，得 ， 化简得， ∵13：13=7：7≠132：129.5， ∴方程组无解． 所以记录有误． 【点睛】解答本题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．根据方程组有没有解可以判定记录是否有误． 26. 如图，已知，于点，于点 （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）42° 【解析】 【分析】（1）求出∠ABC+∠A=180°，根据平行线的判定推出即可； （2）根据平行线的性质求出∠3，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠2． 【详解】解：(1) 证明：， ． (2) ． 又， ∴∠BDF=∠EFC=90°， ． ． 【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 27. 如图，已知，点直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得． （1）当时，______； （2）当时，求； （3）作的角平分线，若，直接写出的值：______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）根据平行线的性质求解，即可得到答案； （2）过点作直线，根据平行线的性质，得到的度数，进而得到的度数，再利用平行线的性质，即可求出； （3）根据角平分线和平行线的性质，得到的度数，再根据平行线的性质，得到的度数，然后利用三角形内角和定理列式求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图1，过点作直线， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． （1）若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ （2）已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；或； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是理解“相关距离”，根据“相关距离”的定义计算． 根据垂线段最短可知，图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度，根据两点的坐标即可求出的长度； 分当点在点的右侧、点在图形的左侧、点在内，三种情况求解； 分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况求出点的坐标，再根据点的坐标求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据垂线段最短可知， 图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度， 点与线段的“相关距离”为：， 故答案为：； 解：设点的坐标是， 当点在点的右侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形的左侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形上时， ， ； 综上所述，点的坐标是或； 【小问2详解】 解：如下图所示， 设点的坐标是， 当点在点的左侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 当点在点的右侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $