第2章实数的初步认识 单元提优卷(B) 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第2章实数的初步认识 单元提优卷(B) 满分: 120分 考试时间：120分钟 姓名： 得分： 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1.(2024·沭阳期末) 的平方根是 ( ) A.4 B.±4 C.±2 D.2 2.(2025·宁波校级模拟)大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是 ( ) A.1 B. C. D.3 3.若 则a，b，c的大小关系为 ( ) A. b<c<a B. b<a<c C. a<c<b D. a<b<c 4.一个自然数的算术平方根为 ，则与它相邻的大的自然数的平方根是 ( ) 5.已知 且|x+y|=x+y,则x-y的值为 ( ) A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12 6.(2025·定西模拟)已知一个正实数x的两个平方根分别是m和m+n，且 则x的值为 ( ) A.5 B.10 C.25 D.50 7.已知x,y是实数, 若 axy-3x=y,则实数a的值是 ( ) A. C. 8. 对于实数a,b,定义 min{a,b}的含义:当a<b时, min{a,b}=a;当a>b时, min{a,b}=b.例如: min{1,-2}=-2, min{3,-1}=-1.已知 且a和b为两个正整数，则a+b的值为 A.3 B.2或3 C.10 D.3或10( ) 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 9.(2024·广安中考) 10.(2024·常州期末)“半程马拉松”赛道全长21.097 5k m.将21.097 5精确到百分位的近似值是 . 11.(2024·上海中考)已知 则x= . 12.已知甲数是1 的平方根，乙数是3 的立方根，则甲、乙两个数的积是 . 13.如图，数轴上点A 表示的实数是 ，直径为1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴滚动1周，圆上的点A 到达点 B 处，则点 B 表示的数是 . 14.已知 ,则x= . 15.已知 的小数部分是a， 的小数部分是b，则( 16.新趋势数学文化祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式： (约率)和 (密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为b/a和d/k(即有 其中a,b,c,d为正整数),则 是x的更为精确的近似值.例如：已知 则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为 由于 再由 可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数……现已知 则使用两次“调日法”可得到 的近似分数为 . 17.对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[ .现对72 进行如下操作： 类似地，只需进行4次操作后首次变为1 的所有正整数中，最大的是 . 18.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p= 则其面积 这个公式也被称为海伦————秦九韶公式.若a，b，c，p为四个连续正整数，则此三角形的面积为 . 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(4分)求下列各式中x的值. 学科网（北京）股份有限公司 20.(4分)计算: 21.(6分)已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示. (1)若 则 (2)在(1)的条件下,化简: 学科网（北京）股份有限公司 22.(8分)在学习实数时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1 的方格网. (1)方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，OA长为半径画弧，与数轴正半轴的交点 B 表示的数为 ；说明 可以在数轴上表示. (2)按照(1)中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段CD 的长. 23.(8分)阅读理解下面内容，并解决问题： 善于思考的小明在学习实数后，自己探究出了下面的结论： 和 都是(9×4的算术平方根，而 4 的算术平方根只有一个，所以 请解决以下问题： (1)猜想:一般地,当a≥0,b≥0时, 与 之间的大小关系是怎样的? (2)再举一个例子，检验你猜想的结果是否正确. (3)运用以上结论，计算： 的值. 学科网（北京）股份有限公司 24.(12分)观察下列计算过程，猜想立方根. . (1)小明是这样试求出19 683 的立方根的：先估计19 683 的立方根的个位上的数，猜想它的个位上的数为 ；又由 ，猜想19 683 的立方根的十位上的数为 ，验证得19 683的立方根是 . (2)请你根据(1)中小明的方法，完成如下化简： 25.(12分)新题型新定义定义：若无理数 的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数 的“共同体区间”为((n,n+1).例如： 的“共同体区间”为(1，2).请回答下列问题： 的“共同体区间”为 ； (2)若无理数 的“共同体区间”为(2,3),求、 的“共同体区间”； (3)若整数x，y满足关系式： 求 的“共同体区间”. 学科网（北京）股份有限公司 26.(12分)小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换， A 变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B 变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数； 例如：实数7 经过一次A 变换得到 ，实数10 经过一次 B 变换得到2. (1)①实数25 经过一次A 变换所得的数是 ； ②实数25 经过一次B 变换所得的数是 . (2)整数m经过两次B变换得到的数是2，则m的最小值是 ；最大值是 . (3)实数x经过一次A变换得到的数是a，实数x经过一次B变换得到的数是b，是否存在x使得a=b成立?若存在，请直接写出x的值，若不存在，请说明理由. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D A A B 1. C 2. B【解析】由题意可设正方形ABCD 的面积为S，则其范围为1<S<5，那么其边长在1到 之间，则其边长为 .故选 B. 3. C 【解析】 故选 C. 4. A【解析】∵一个自然数的算术平方根是 .这个自然数是m，∴与这个自然数相邻的大的自然数是m+1，∴其平方根是 故选 A. 5. D 【解析】∵|x|=5,√y²=7,∴x=±5,y=±7.又∵|x+y|=x+y,即x+y>0,∴x=±5,y=7,∴x-y=-2或-12.故选 D. 6. A【解析】根据题意得， (舍去).故选 A. 7. A 【解析】 ∵3x+4=0,y-3=0,∴x=- ,y=3,把x,y代入 axy-3x=y, 故选A. 8. B 【解析 且a是正整数，∴a=1,故 ①若 需满足 ，此时有 解得b=2;②若 需满足 ，此时有 ∵b是正整数,∴b=1.综上,a=1,b=1或2,∴a+b=2或3.故选B. 9.0 【解析 10. 21.10 【解析】21.0975精确到百分位的近似值是21.10. 11. 1 【解析】∵ x-1=1,∴2x-1=1,∴x=1. 12.±2 【解析】∵ 甲数是1 的平方根，∴甲数等于±- .∵乙数是3 的立方根，∴乙数等于 ，∴甲、乙两个数的积是±2. 【解析】∵圆的直径为1个单位长度，∴此圆的周长=π,∵从点A沿数轴滚动1周,∴AB=π.∵点A 表示的实数是- ，∴向右滚动，点B 表示的数是 ，向左滚动，点B 表示的数是 14.0或-1或 【解析】 1,即2x+1的立方根等于自身,∴2x+1=1或2x+1=-1或2x+1=0,解得x=0或.x=-1或 .故答案为0或-1或 15.1 【解析】: 的整数部分是7，5- 的整数部分为2 = 16.1 【解析 第一次“调日法”结果为 第二次“调日法”结果为 17.65535【解析】 .只需进行4次操作后首次变为1 的所有正整数中，最大的是65 535. 18.6 【解析】不妨设 b>c,∴2p>2c,即p>c,∴a<b<c<p.∵a,b,c,p为四个连续正整数,∴b=a+1,c=a+2,p=a+3,∴a+3=a+a+1+a+²,∴a=3, 化简得 解得 或 化简得( -10,解得 20.(1)原式 (2)原式 21.(1)0 - 1 【解析】由数轴可知,c<b<0<a,∵ |a|=|b|, (b-c)=-c+0-b+c=-b. 22. (1)2 无理数 (2)如图，构造以 CD为边的格点正方形CDMN， 23.(1)根据题意,当a≥0,b≥0时, 与 ，√b之间的大小关系为 (2)答案不唯一，举例如： 验证： 又举例如： 验证： .符合(1)的猜想. 24.(1)7 2 27 【解析】∵19 683的个位上的数为3,且 343，∴猜想它的个位上的数为7.又由 猜想19 683的立方根的十位上的数为2，验证得19 683 的立方根是27. (2)①49. ②-72. ③0.81. 25.(1)(5,6) 【解析】 的“共同体区间”是(5,6). (2)∵无理数 的“共同体区间”为(2,3),∴ 即4<a<9,∴10<a+6<15,∴3²<a+6<4²,∴ √a+6的“共同体区间”为(3,4). (3)∵ -3+|99+(y-4)²|=100,∴ -3+(y-4)²=1.∵x,y为整数，. 或 解得 或 或 分以下三种情况： 当x=4,y=4时, 的“共同体区间”为(4,5); 当x=3,y=5时, 的“共同体区间”为(4,5); 当x=3,y=3时, 的“共同体区间”为(3,4). 综上所述， 的“共同体区间”为(4,5)或(3,4). 26. (1)①4 【解析】25取算术平方根再减去1得 ②2 【解析】25取立方根为✔25,∵8<25<27,∴8<✔25< 即 介于2与3之间，∴不超过 的最大整数为2. (2)512 19 682 【解析】设m经过1次B变换得n,n再经过1次 B变换得2.∵不超过 的最大整数为：2,∴2≤3,<3,∴8≤n<27.∵n为整数,则n最小为8,最大为26.当 n为8时，不超过 的最大整数为8, 这时m最小为512,最大为729-1=728.当 n为26时,不超过√m的最大整数为26， 这时m最小为 最大为 .综上所述，m最小为512,最大为19 682. (3)存在,x=4或9. 【解析】x经过1次A变换为a,、 a,x=(a+1)². x经过1 次 B 变换为 b 当a=b时,即( 且(a+ 时,1<4成立;a=2时,8<9成立;a=3时,27>16 不成立,之后a³越来越大,始终大于(a+1)².∴a=1]或2,对应x=4或9. $