精品解析：上海市浦东新区民办上海工商外国语职业学院附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025年10月月考高三数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6提每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，若集合，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，集合， 所以. 故答案为：. 2. 不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式不等式小于0的条件，把原不等式转化为分子、分母异号的不等式组，解不等式组求出解集． 【详解】， 或，解得， 不等式的解集为：． 故答案为：． 3. 已知复数满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再根据复数模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故答案为： 4. 已知，且，则的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 5. 已知是第四象限角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的象限确定角的余弦值的符号，再利用同角的三角函数关系式计算即得. 【详解】因是第四象限角，则， 由，可得. 故答案为：. 6. 已知直线与直线平行，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系列出等式求解的值并检验即可. 【详解】因为与平行，所以，解得或. 当时，直线，直线，两直线平行. 当时，直线，直线，化简为， 此时两直线重合，不符合要求，舍去. 故答案为：1. 7. 已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长即可得侧面积． 【详解】由题意底面半径为，高为，则母线长为， 所以侧面积为． 故答案为：． 8. 已知，且，则的最大值为______． 【答案】100 【解析】 【分析】由基本不等式即可直接求解. 【详解】由于，且， 则由基本不等式可得， 即，当且仅当时取到等号， 故的最大值为100. 故答案为：100 9. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解. 【详解】因为函数为奇函数， 当时， 所以. 故答案为： 10. 函数（，且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意结合求出点，进而由点在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，令，解得，此时， 所以函数（且）的图象恒过定点，即， 又点在直线上，故， 又，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 11. 若，，则满足的m的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值. 【详解】当时，，即， 当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数. 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此，不等式等价于， 即，解得. 故m的最大值为. 故答案为：. 12. 若f(x)为偶函数，且当x≤0时，，则不等式＞的解集______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件分析在上的单调性，利用函数的奇偶性可得，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】 f(x)为偶函数，且当x≤0时，单调递增， 当时，函数单调递减， 若＞， f(x)为偶函数，， ，同时平方并化简得，解得或， 即不等式＞的解集为. 故答案为： 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，砂15-16题每题5分） 13. 已知，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性，判断“”和“”的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由于函数在上单调递增， 故当时，可得； 当时，也可得， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 14. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 15. 设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，再根据复数在复平面上对应的点位于第四象限，即可得出结论. 【详解】由题意， ∵， ∵复数在复平面上对应的点位于第四象限， ∴，解得， 故选：A. 16. 已知函数，则以下4个命题： ①是偶函数；②在上是增函数； ③的值域为Q﹔④对于任意的正有理数a，存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值可判断①②；根据值域中含正无理数可判断③；根据，为有理数或，为无理数，解出可判断④. 【详解】， ，，，所以不是偶函数，故①错误； ，，，但， 所以函数在上不是增函数，故②错误； ，的值域中有正无理数，故③错误； 的零点即，即，为有理数或，为无理数， 对于，为有理数，必有解， 对于，为无理数，有解或无解， 故有三个或一个零点，故④正确. 故选：B. 三、解答题 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 【答案】（1） 直三棱柱中，所有棱长均为4， 上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形， 连接与交于点，则为，的中点，连接DE， 在中，分别为边的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用直三棱柱的性质结合线面平行判定定理证明结论； （2）结合直三棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，中点，连接，则，平面ABC， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， ， 为上的点，平面， 到平面的距离d即为直线与平面的距离， ， 直线与平面的距离为：． 18. 已知向量． （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算的值，二倍角公式即可计算； （2）计算，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以， 所以的值域为． 19. 已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可； （2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a. 【小问1详解】 由题意， ， 因此函数的最小正周期为； 【小问2详解】 由得， 因为，所以，解得， 因为，所以, 由余弦定理解得, 所以. 20. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）设，为内一点，且，.证明：为等腰三角形. 【答案】（1） （2） 方法1：由（1）及，得为等腰直角三角形. 在中，设，由正弦定理得 ， 所以，从而， ， ，. 在中，由余弦定理得 ， 所以，故为等腰三角形. 方法2：在中，设，因为，，， 由余弦定理得，解得， 进而解得， . 在中，由余弦定理得 ， 所以，故为等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角形角度范围求解即可； （2）方法1：设，再根据正弦定理可得，从而可得，再根据三角恒等变换可得，再根据正余弦定理证明. 方法2：先根据余弦定理可得，从而再证明即可. 【小问1详解】 由已知条件及，， 结合正弦定理得， 由得，所以. 由得， 所以，从而，故. 【小问2详解】 略 21. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值 （2）求的值域； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，解出值，检验即可； （2）令，得到，最后得到，则求出值域； （3）首先根据函数单调性的判定方法得到为减函数，再结合为奇函数，最终得到对恒成立，求出不等式右边的最小值即可. 【小问1详解】 因为函数是上的奇函数所以 即:,解得，此时， ，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数. 【小问2详解】 ，令，根据指数函数图像知，故， 则，，， 故的值域为. 【小问3详解】 设，根据指数函数单调性知，在上为增函数， 故在上为减函数，故在上也为减函数. 又因为为奇函数，所以不等式恒成立 即恒成立，即恒成立 所以对恒成立， 即对恒成立， 因为函数所以 综上所述，的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月月考高三数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6提每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，若集合，则________. 2. 不等式的解集为_____． 3. 已知复数满足，则_______. 4. 已知，且，则的值为______． 5. 已知是第四象限角，且，则______． 6. 已知直线与直线平行，则__________. 7. 已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________． 8. 已知，且，则的最大值为______． 9. 已知函数为奇函数，则______. 10. 函数（，且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______. 11. 若，，则满足的m的最大值为______． 12. 若f(x)为偶函数，且当x≤0时，，则不等式＞的解集______. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，砂15-16题每题5分） 13. 已知，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 15. 设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16. 已知函数，则以下4个命题： ①是偶函数；②在上是增函数； ③的值域为Q﹔④对于任意的正有理数a，存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 18. 已知向量． （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的值域． 19. 已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长. 20. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）设，为内一点，且，.证明：为等腰三角形. 21. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值 （2）求的值域； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $