精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二上学期第三次定时训练数学试题

2024级高二第三次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条平行直线距离公式计算即可. 【详解】直线的方程化为，则与间的距离 . 故选：D. 2. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 3. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）. A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 5. 已知直线与圆交于两点，则最小值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程可以求得所过定点，当时，最小，借助勾股定理可以求得. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径，，点在圆内， 当时，最小， 此时. 故选：D 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 7. 已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 该直线不存在 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程作差可得，若是线段的中点，则，则可得直线方程，检验直线方程与双曲线方程交点是否存在，即可确定直线的方程. 【详解】解：设，且，代入双曲线方程得，两式相减得： 若是线段的中点，则，所以，即直线的斜率为， 所以直线方程为：，即； 但联立，得，则，方程无解，所以直线不存在. 故选：D. 8. 设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线：与曲线：，下列说法正确的是（ ） A. 两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B. 焦距相等 C. 有相同的焦点 D. 离心率相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.根据分母大小可确定焦点位置；BC.求出两个椭圆中的即可；D. 求出两个椭圆的离心率即可； 【详解】可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确； 曲线的焦距为，曲线的焦距为，故B，C正确； 曲线的离心率，曲线的离心率，故D不正确． 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 B. 直线在轴上的截距为 C. 如果，那么直线不经过第三象限 D. 经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，利用直线方程互化及斜率公式，结合三角函数性质即可，对B，利用截距的定义即可求解； 对C，直线方程互化及已知条件即可求解；对D，利用直线的两点式方程即可求解. 【详解】对A：直线的方程为， 当时直线方程为，倾斜角， 当时，直线方程化为，斜率， 因为，所以，即， 又因为，所以，综上可得，故A正确； 对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以可化为，所以直线的斜率，纵截距， 所以该直线经过一、二、四象限，故C正确； 对D：经过任意两个不同的点，的直线： 当斜率等于0时，， 当斜率不存在时，，都不能用方程表示，故D错误. 故选：ABC 11. 已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则的大小可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程，得出渐近线的倾斜角，由此可得选项. 【详解】因为该双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，即，因此两条渐近线的倾斜角分别为， 当P在右支上时，的取值范围是，当P在左支上时，的取值范围是， 因此结合选项知的大小不可能为，可能为. 故选：ABD. 【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的渐近方程，属于基础题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 13. 已知直线和两点，若点为直线上一动点，则的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，再求出点的坐标，利用两点间线段最短求出最小值. 【详解】如图，作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则， 于是，当三点共线，即与重合时取等号， 设，则，解得，即， 所以的最小值. 故答案为：12 14. 写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【答案】，和 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为，和. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8. （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8. （3）离心率，经过点. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到的值，结合双曲线焦点所在轴，求得双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到的值，利用双曲线中的关系，求得的值，根据双曲线焦点所在轴，求得双曲线的标准方程； （3）根据题意，得到双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程，求得结果. 【详解】（1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8， 可得，则有， 又因为双曲线的焦点在x轴上， 所以双曲线的标准方程为：； （2）根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8， 可得，则，所以， 又因为双曲线的焦点在y轴上， 所以双曲线的标准方程为：； （3）根据题意，双曲线的离心率，即，则有， 所以， 所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为， 又因为双曲线经过点，则有，则， 所以双曲线的标准方程为：. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的标准方程的求法，属于基础题目. 16. （1）若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，回到原来的位置，求l的斜率； （2）若一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （3）若直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2），；（3）或或． 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，根据平移的应用得到平移后的直线方程为，由两直线重合可得，化简计算即可． （2）由两点坐标求入射光线所在直线的斜率，再由斜截式可得直线方程；再由入射与反射光线关于轴对称，则斜率互为相反数，求出斜率再由斜截式可求反射光线所在直线方程． （3）分直线过原点和不过原点，不过原点时根据题意设截距式方程，代入已知点可得. 【详解】（1）由题意，直线存在斜率，可设直线方程为， 直线沿轴向左平移4个单位，沿轴向上平移3个单位后， 所得直线的方程为： 化简得． 因为平移后与原直线重合，则． 解得，即直线的斜率为． （2）由两点坐标，可得直线的斜率为， 所以入射光线所在直线方程，即． 因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称， 所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补， 所以反射光线与入射光线所在直线的斜率互为相反数， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线方程为，即． （3）当直线的截距为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 此时直线：，即； 当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 依题意有则，解得或， 若，则直线的方程为，即； 若，则直线的方程为，即． 综上所述，直线的一般式方程可能是． 17. 已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． （1）求动点M的轨迹E； （2）在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）根据平行线的性质，结合直线与椭圆的相切的性质、一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【小问1详解】 设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹E就是集合． 由此得．将此式两边平方，并化简，得， 所以M的轨迹E为． 【小问2详解】 由直线方程方程可知与坐标轴的交点为， 易知此直线与椭圆无公共点， 设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成． 由方程组，消去y，得． 令其根的判别式，解得或， 当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，最小距离． 18. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可； （2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，直线的方程为， 圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 所以；… 【小问2详解】 取的中点为，如图， 假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在） 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第三次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）. A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 2 5. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ） A B. C. D. 该直线不存在 8. 设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线：与曲线：，下列说法正确的是（ ） A. 两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B. 焦距相等 C. 有相同的焦点 D. 离心率相等 10. 下列说法正确的是（    ） A. 直线方程为，则直线的倾斜角的范围是 B. 直线在轴上的截距为 C. 如果，那么直线不经过第三象限 D. 经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示. 11. 已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则的大小可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 13. 已知直线和两点，若点为直线上一动点，则最小值为______． 14. 写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8. （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8. （3）离心率，经过点. 16. （1）若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，回到原来的位置，求l的斜率； （2）若一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （3）若直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程． 17. 已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． （1）求动点M轨迹E； （2）在E上是否存在一点使得它到直线距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 18. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $