精品解析：广东省江门市培英高级中学2025-2026学年高二上学期10月阶段考试数学试题

培英高级中学2025-2026学年度高二第一学期10月阶段考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校高二年级有男生550人，女生650人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高二年级学生中抽出一个容量为360的样本．如果样本按比例分配，那么女生应抽取的人数为（ ） A. 180 B. 190 C. 185 D. 195 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的计算方法，即可求解. 【详解】某校高二年级共有人， 则用分层随机抽样的方法抽取女生为人， 故选：D 2. 一组数据的平均数为7，则该组数据的（ ） A. 第50百分位数为8 B. 第50百分位数为7 C. 第75百分位数为9 D. 第75百分位数为10 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的运算公式，结合百分位数的定义逐一判断即可. 【详解】因为的平均数为7， 所以， 这七个数从小到大排列为：， 所以第50百分位数为6，因此选项AB都不对； 因为， 所以第75百分位数为10， 故选：D 3. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 4. 设，向量且，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量， 且， ∴，解得， ∴， ∴. 故选：A． 5. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式，计算即可得答案. 【详解】设甲、乙、丙投中分别记为事件， 由题意得，， 所以 . 故选：B 6. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式，计算即可得出答案. 【详解】设这三人中仅有两人获得一等奖为事件A， 则. 故选：B 7. 某乡镇实现脱贫目标后，在奔小康的道路上，继续大步前进，依托本地区苹果种植的优势，经过3年的发展，苹果总产量翻了一番，统计苹果的品质得到了如下饼图：70，80是指苹果的外径，则以下说法中不正确的是（ ） A. 80以上优质苹果所占比例增加 B. 经过3年的努力，80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标 C. 70~80的苹果产量翻了一番 D. 70以下次品苹果产量减少了一半 【答案】D 【解析】 【分析】设原苹果总产量为，从而3年后苹果总产量为；根据饼图，分别计算出3年前和3年后各类苹果的产量，从而可判断选项. 【详解】设原苹果总产量为，则经过3年的发展，苹果总产量为， 3年前80以上优质苹果所占比例，3年后80以上优质苹果所占比例，所占比例增加，故选项A正确； 3年前80以上优质苹果的产量为，3年后80以上优质苹果的产量为，故80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标，选项B正确； 3年前70~80苹果的产量为，3年后70~80苹果的产量为，故70~80的苹果产量翻了一番，选项C正确； 3年前70以下次品苹果的产量为，3年后70以下次品苹果的产量为，故70以下次品苹果的产量没变，选项D错误. 故选：D. 8. 如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义表示出在方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平面向量基本定理即可求解. 【详解】由题知，在方向上的投影向量为， 又 ， 且， 所以，所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知事件满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用集合间的关系，得，即可求解；对于B，利用互斥事件的概率公式，即可求解；对于C和D，利用相互独立事件的判断方法和概率公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以，故A正确； 对于B，因为与互斥，则，故B正确； 对于C，因，则， 所以与相互独立，故C正确； 对于D，因为与相互独立，又， 所以，故D错误. 故选：ABC 10. 在空间直角坐标系中，下列说法不正确的有（ ） A. 与点关于轴对称的点的坐标为 B. 若是空间向量的一组基底，，则也是空间向量一组基底 C. 已知，则在上的投影向量的坐标为 D. 已知，平面的法向量为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量坐标的定义，以及相关知识，即可判断选项. 【详解】A. 与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； B. ，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误； C. 在上的投影向量为，故C正确； D.因为，所以，所以或，故D错误. 故选：BD 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的运算法则结合图形以及向量的数量积等知识逐项计算即可. 【详解】设棱长为，则， . 所以， 而， 所以，所以，所以A正确； 所以B错误； . ，所以， 所以向量与的夹角为，所以C正确； . 所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为，直线的方向向量为，且，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，结合空间向量平行的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 13. 甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概型的概率. 【详解】设甲乙丙分别为，毽子由甲开始传，经过3次传递后的所有可能结果如树状图： 3次传递后的基本事件是种，毽子传到丙处的事件含有基本事件数是3种， 所以经过3次传递后，毽子传到丙处的概率. 故答案为：. 14. 已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出剩余10个数的平均数，进而根据方差公式得出的值，即可得出答案. 【详解】由题意知，，， 所以， 所以剩余的10个数的平均数为． 根据方差公式得， ，， 即，， 所以， 所以剩余的10个数的方差为． 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 一个超市出售甲、乙、丙三种样式的杯子，每种样式均有和两种型号．某个月的销售量如下表（单位：个），按比例分配的分层抽样的方法，在这个月出售的杯子中抽取50个，其中甲样式的杯子有10个． 型号 甲样式 乙样式 丙样式 300mL 300 300 500mL 200 450 500 （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个的杯子的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设该厂本月生产的丙样式的杯子为n个，利用抽样比直接求解即可． （2）设所抽样本中有m个500mL的杯子，求出从中任取2个杯子的所有基本事件个数和至少有1个500mL的杯子的基本事件个数，然后求解概率. 【小问1详解】 设该厂本月生产的丙样式的杯子为n个， 由题意 , . 在乙样式的杯子中抽取了个， ，解得. 【小问2详解】 设所抽样本中有m个500mL的杯子， ， ． 也就是抽取的5个样本中有2个500mL的杯子，分别记作；3个300mL的杯子，分别记作． 则从中任取2个500ml的杯子的所有基本事件为,共10个． 其中至少有1个500mL的杯子的基本事件有共7个. 故至少有1个500mL的杯子的概率为． 16. 三棱柱中，分别是上的点，且，设． （1）试用表示向量； （2）若，求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，结合向量的加法与减法的运算，进行化简，即可求解； （2）由（1）知，结合，利用向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 解：在三棱柱中，由且， 可得 . 【小问2详解】 解：因为， 由（1）知， 则 ， 所以. 17. 培英高中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求出频率分布直方图中，的值，并估计此次竞赛成绩的中位数（保留小数点后两位）； （2）现从以上各组中按比例分配的分层随机抽样方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为66和37，第四组考生成绩的平均数和方差分别为84和68.5，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； （3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立求出，再用中位数定义计算即可； （2）运用分层抽样平均数和方差公式计算即可； （3）设事件，求出对应概率，再结合相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 可知每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 设中位数，因为， 所以，所以，解得， 故此次竞赛成绩的中位数约为分. 【小问2详解】 设第二组、第四组平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数， 成绩在第二组、第四组的方差 ， 故估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差是. 【小问3详解】 设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件， “甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件， 由题意得， 所以， 所以，所以乙、丙分别解出该题的概率为， 则，因为， 所以，因为相互独立， 所以， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，、、分别为的中点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点使平面成立？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理得证. （2）利用空间向量求出异面直线夹角的正弦值. （3）假定存在，设，求出平面的法向量，利用线面平行的向量表示求解判断. 【小问1详解】 在四棱锥中，由底面是边长为2的正方形，底面， 得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，而， 因此平面，而平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由（1）得，，设异面直线与所成角为， 则，， 所以异面直线与所成角的正弦值. 【小问3详解】 由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 假设线段上存在点，使平面，设， 则，，由平面，得， 因此，解得，而， 所以线段上不存在点使平面成立. 19. 随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， （1）已知概率， （i）求的值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． （2）若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据独立性性质建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：，设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则，再根据互斥加法公式和独立性乘法公式即可求解； （2）由可得，从而求得，再利用基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 （i）由题知， 解得：， （ii）由（i）知：， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为． 【小问2详解】 由题知：， ， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， ，当且仅当时等号成立， ． 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 培英高级中学2025-2026学年度高二第一学期10月阶段考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校高二年级有男生550人，女生650人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高二年级学生中抽出一个容量为360的样本．如果样本按比例分配，那么女生应抽取的人数为（ ） A. 180 B. 190 C. 185 D. 195 2. 一组数据的平均数为7，则该组数据的（ ） A. 第50百分位数为8 B. 第50百分位数为7 C. 第75百分位数为9 D. 第75百分位数为10 3. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 4. 设，向量且，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某乡镇实现脱贫目标后，在奔小康的道路上，继续大步前进，依托本地区苹果种植的优势，经过3年的发展，苹果总产量翻了一番，统计苹果的品质得到了如下饼图：70，80是指苹果的外径，则以下说法中不正确的是（ ） A. 80以上优质苹果所占比例增加 B. 经过3年的努力，80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标 C. 70~80苹果产量翻了一番 D. 70以下次品苹果产量减少了一半 8. 如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知事件满足，则下列说法中正确有（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 10. 在空间直角坐标系中，下列说法不正确的有（ ） A. 与点关于轴对称的点的坐标为 B. 若是空间向量的一组基底，，则也是空间向量一组基底 C. 已知，则在上的投影向量的坐标为 D. 已知，平面法向量为，则 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为，直线的方向向量为，且，则实数______． 13. 甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为______． 14. 已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 一个超市出售甲、乙、丙三种样式的杯子，每种样式均有和两种型号．某个月的销售量如下表（单位：个），按比例分配的分层抽样的方法，在这个月出售的杯子中抽取50个，其中甲样式的杯子有10个． 型号 甲样式 乙样式 丙样式 300mL 300 300 500mL 200 450 500 （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个的杯子的概率． 16. 三棱柱中，分别是上的点，且，设． （1）试用表示向量； （2）若，求的长． 17. 培英高中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求出频率分布直方图中，的值，并估计此次竞赛成绩的中位数（保留小数点后两位）； （2）现从以上各组中按比例分配的分层随机抽样方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为66和37，第四组考生成绩的平均数和方差分别为84和68.5，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； （3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，、、分别为的中点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点使平面成立？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 19. 随着科技发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， （1）已知概率， （i）求值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． （2）若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $