精品解析：广东省八校联盟2025-2026学年高二上学期教学质量检测（一）数学试卷

2025~2026学年度第一学期八校联盟高二教学质量检测（一） 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（ ） A. 0.5，0.5 B. 0.51，0.51 C. 0.49，0.49 D. 0.5，0.49 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案. 【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上， 故“正面朝上”的频率为， 每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5. 故选：D 2. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（   ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 4. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，从而得到，利用模长公式得到答案. 【详解】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等． 又，则，又，所以， . 故选：A 5. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解. 【详解】由于与对立，，则， 又与互斥，，则. 故选：B 6. 在三棱锥中，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以 故选：B 7. 已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 8. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式求解. 【详解】设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E， 则，，而， 因此，即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ） A. 身高在A层次中的女生人数比男生多 B. 身高在B层次中的人数最多 C. 身高在D层次女生，占女生人数的比例超过15% D. 身高在E层次中的男生有3人 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人， 样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人， 所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误； 对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多， 所以样本中B层次身高人数最多，B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确. 故选：BCD 10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ） A. B. C. 侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 直线AM与CN所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】把分别用表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD，连接，在上取点，使得，连接，则平面，解即可判断C. 【详解】由正四面体ABCD，可得， 对于A，， 则， 所以，故A正确； 对于B，， 则 ，故B错误； 对于D，， 则， ， 设直线所成角为， 则， 所以直线所成角的余弦值为，正弦值为,故D正确； 对于C，连接，在上取点，使得，连接， 则平面， 则即为直线与平面所成角的平面角， 在中，， 则， 由正四面体的结构特征可得，直线与平面所成角的相等， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确. 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知事件，若，，且，则 B. 已知事件，若，且与相互独立，则 C. 已知事件，若，，且，则与相互独立 D. 某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本的方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据条件得，即可求解；对B和C，利用相互独立事件的概率公式，再结合选项条件，即可求解；对D，利用分层抽样方差计算公式，结合选项条件，直接求出方差，即可求解. 【详解】对选项A，因为，所以，则，所以选项A正确； 对于选项B，因为与相互独立，，则， 又，所以选项B错误； 对于选项C，因为， 又，则， 所以与相互独立，故选项C正确， 对于选项D，样本总体平均数， 总体样本的方差为，所以选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】704 【解析】 【分析】根据随机数表读取编号的方法，即可求得答案. 【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704， 所以得到的第4个样本个体的编号是704. 故答案为：704 13. 从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法可得总样本空间为10个，符合的有7个，利用古典概率即可求解. 【详解】设3个红球分别为，2个黑球分别为， 则试验的样本空间为，共10个样本点， 选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为，共7个， 则所求概率为． 故答案为：. 14. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量以为基底时的坐标，得到关于，，的表达式，然后设以为基底时的坐标为，得到关于，，的表达式，最后通过向量相等建立方程组，求解方程组得到，，的值，即为所求坐标. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以． 设向量在新基底下的坐标为， 则， 即 则，解得， 所以以为基底时的坐标为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，其中第15题和第19题为选做题，从选做1和选做2中任选一题作答.两题都答题者以选做1为准. 15. 已知，，，，，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量夹角的坐标公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 解得，， 所以， 又，则，即，得， 于是，则. 【小问2详解】 由（1）得， 设与的夹角为，所以， 所以与夹角的余弦值为. 16. 在平面直角坐标系中，已知三点. （1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程. （2）按截距是否为0分类，再结合直线截距式方程求解. 【小问1详解】 由，得直线的斜率为， 由，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即 【小问2详解】 设直线在上的截距为， 当时，直线过原点及点，方程为，即； 当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 17. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 【答案】（1），平均数为分，中位数为分； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值； （2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由已知可得，解得， 所抽取的名学生成绩的平均数为（分）， 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以，中位数，由题意可得，解得（分）. 【小问2详解】 由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为， 则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种. 其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种. 故所求概率为. 18. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： （1）的长； （2）直线和所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，，，得出，利用向量数量积运算律计算即得； （2）利用空间向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 如图，连接，设，，， 依题意， 而， ， 所以. 【小问2详解】 连接，， 所以 ， 又，， 所以， 故直线和所成角的余弦值为. 19. 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球概率； （2）为使乙获胜的概率更大，应该由谁首次投篮？ 【答案】（1） （2）乙 【解析】 【分析】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算可得答案； （2）由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式，分别求解甲和乙首次投篮时乙获胜的概率，比较大小即可求解. 【小问1详解】 根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中， 则，， 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C， 则 ． 【小问2详解】 若由甲首次投篮，设“乙获胜”为事件， 则 ； 若由乙首次投篮，记“乙获胜”为事件E，则 . 因为，所以为使乙获胜的概率更大，应该由乙首次投篮. 20. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. （1）求证：； （2）为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论； （2）假设存在使得平面，设，根据线面垂直可得，求出参数的值，即可得结论； （3）由为的重心，可得，利用向量的运算推出，再根据、、、四点共面，则存在，使得，继而得，结合空间向量基本定理即可证明结论. 【小问1详解】 证明：以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，，， ，，即. 【小问2详解】 假设存在使得平面， 由（1）得，， 设，其中， 则，， 因为平面，平面， 故，平面， 若平面，则只需，解得，， 故存在点，使得平面，此时. 【小问3详解】 证明：因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在，使得， 即， 所以， 又因为，且、、不共面， 由空间向量基本定理可得， 因此为定值. 21. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ． 平面 平面 分别是棱 的中点， 分别在线段 ， 上，且 ． （1）证明： 四点共面； （2）证明： 平面 ； （3）设直线 与直线 交于点 ，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，，可得， 从而可得结论； （2）取AB中点为I，连接CI，先证明与，再利用线面垂直的判定定理可得平面 ； （3）取BC中点为N，以A点为坐标原点，再分别以AN，AD和AP所在直线为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，求出直线MC的方向向量与平面EFGH的法向量，利用线面角的正弦值列方程可求 的值． 【小问1详解】 ，分别是棱，的中点，， ，， ，，，，四点共面． 【小问2详解】 底面ABCD是菱形，， ，是等边三角形， 取AB中点为I，连接CI，则， 又平面平面，且平面平面， 平面PAB，又PA平面PAB，， 又，且，平面， 平面． 【小问3详解】 平面PBC，平面PAC，又平面PBC平面PAC， ，即直线MC就是直线PC． 取BC中点为N，以A点为坐标原点，再分别以AN，AD和 AP所在直线为轴，轴和轴建立如图6所示的空间直角 坐标系： 则，，，， ，， 设，则，， 由可得： ，， 设平面EFGH的一个法向量为， 则取，则，， ， 设直线MC与平面EFGH所成角为， 则， 化简得：，解得：或， 又，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期八校联盟高二教学质量检测（一） 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（ ） A. 0.5，0.5 B. 0.51，0.51 C. 0.49，0.49 D. 0.5，0.49 2. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（   ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 4. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 6. 在三棱锥中，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 7. 已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ） A. 身高在A层次中的女生人数比男生多 B. 身高在B层次中的人数最多 C. 身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D. 身高在E层次中男生有3人 10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ） A. B. C. 侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 直线AM与CN所成角的正弦值为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知事件，若，，且，则 B. 已知事件，若，且与相互独立，则 C. 已知事件，若，，且，则与相互独立 D. 某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本方差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13. 从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______． 14. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，其中第15题和第19题为选做题，从选做1和选做2中任选一题作答.两题都答题者以选做1为准. 15. 已知，，，，，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值. 16. 在平面直角坐标系中，已知三点. （1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 18. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： （1）的长； （2）直线和所成角的余弦值. 19. 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球的概率； （2）为使乙获胜概率更大，应该由谁首次投篮？ 20. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. （1）求证：； （2）为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值. 21. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ． 平面 平面 分别是棱 的中点， 分别在线段 ， 上，且 ． （1）证明： 四点共面； （2）证明： 平面 ； （3）设直线 与直线 交于点 ，当直线 与平面 所成角正弦值为 时，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $