精品解析：江西省萍乡市上栗县鸡冠山乡中学2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试卷

江西省萍乡市鸡冠山中学2025-2026学年上学期 第一次月考八年级数学试卷 大单元·素养测评卷（一） 说明： 1．考试范围：第一章~第二章第6节． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、是无限循环小数，不是无理数，故本选项不符合题意； C、0是整数，不是无理数，故本选项不符合题意； D、是有限小数，不是无理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 514 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据正方形的面积并结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设直角三角形的三边长分别为a，b，c， 由题意得， ∴， ∴字母A所代表的正方形的面积为． 故选：D． 3. 下列各组数中是勾股数的是（　　） A. ，， B. C. 3，4，5 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】A、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； B、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义及运算，以及绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握平方根非负、立方根可正可负的特性，准确区分平方根与立方根的运算规则． 计算各选项时，先根据平方根、立方根定义化简式子，再判断结果是否正确；对于含绝对值的选项，先化简绝对值，再进行立方根运算． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B 5. 如图，根据图中的作图痕迹，数轴上点D所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，理解题意是解题的关键．由图可得，，利用勾股定理求出的长，再由即可求解． 【详解】解：由图可得，， ∴， ∴， ∴点所表示的数为． 故选：C． 6. 如图，先画一个边长为1的正方形，以其对角线为边画第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形……如此反复下去，那么第2024个正方形的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理．求出第一个、第二个、第三个正方形的对角线长，得出规律是解决问题的关键． 第1个正方形的边长是1，对角线长为；第二个正方形的边长为，对角线长为，第3个正方形的对角线长为；得出规律，即可得出结果． 【详解】解：第1个正方形的边长是1，对角线长为； 第二个正方形的边长为，对角线长为； 第3个正方形的边长是2，对角线长为； ， 第个正方形的对角线长为． 故第2024个正方形的对角线长为． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的相反数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 8. 如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得AB边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可知：， ∴正方形面积为：，三角形面积为：， 阴影部分面积为：， 故答案为16． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 9. 把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题关键．先利用无理数的估算可得这四个无理数的大小，再根据实数与数轴的关系即可得． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是， 故答案为：． 10. 如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 ___． 【答案】45°##45度 【解析】 【分析】如图，连接EF，由题意易得△AHE≌△EGF，则有∠AEH=∠EFG，AE=EF，然后可得∠AEH+∠FEG=90°，则有△AEF是等腰直角三角形，进而问题可求解． 【详解】解：如图，连接EF， ∵AH=EG=2，∠AHE=∠EGF=90°，EH=FG=1， ∴△AHE≌△EGF， ∴∠AEH=∠EFG，AE=EF， ∵∠EFG+∠FEG=90°， ∴∠AEH+∠FEG=90°， ∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF=45°； 故答案为45°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 11. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 _____米． 【答案】1.6 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE=0.9（米），则BE=AB-AE=1.6（米），即可得出答案． 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示： 则CD=BE，DE=BC=1.2米=米， 在Rt△ADE中，AD=1.5米=米， 由勾股定理得：AE= =0.9（米）， ∴BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6（米）， ∴CD=BE=1.6米， 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12. 如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为，当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和与线段有关的动点问题，熟练掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 根据题意可知，然后分两种情况讨论：当点在上和当点在上，即可求得的值． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得，， 当点在上时，且， ∴， 即， 解得； 当点在上时，且， 则点为的中点， 此时， 即． ∴当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）求x的值：． 【答案】（1）2；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了根式的计算以及利用平方根解方程，解决本题的关键是正确计算． （1）根据实数的计算法则求解即可． （2）根据利用平方根解方程的方法求解即可． 【详解】解：（1）． （2）由，得， 则． 由，得； 由，得． 所以该方程的解为，． 14. 如图，在中，，，，求a的值． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理求边长是解题的关键；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，，， ． 15. 一个正数x的平方根是3a－4和1－6a，求a及x的值． 【答案】a的值是－1，x的值是49 【解析】 【详解】试题分析：根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，可直接根据互为相反数的两数和为0，列式求解出a的值，再根据乘方代入求出x即可. 试题解析：由题意得3a－4＋1－6a＝0， 解得a＝－1. ∴3a－4＝－7. ∴x＝(－7)2＝49. 答：a的值是－1，x的值是49. 16. 如图是一个高为，底面周长为的无盖圆柱，为底面的直径，一只蚂蚁在圆柱的侧棱的中点处，处有一粒食物，蚂蚁爬行的速度为，则蚂蚁最少要花多长时间才能吃到食物？ 【答案】s 【解析】 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短求出CD的长，即可求出蚂蚁最少要花多长时间才能吃到食物. 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为80cm， 则AC=80×=40cm． 又因为AD=BD=30cm， 所以AC==50cm, 50÷2=25s. 故蚂蚁最少要花25s才能吃到食物． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键． 17. 如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 【答案】秋千支柱AD的高为3m. 【解析】 【分析】设秋千支柱AD的高为xm，根据秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m得AB＝(x－0.5)m，根据右图得AE＝(x－1)m，在Rt△AEB中利用勾股定理列方程求出x的值即可． 【详解】解：设AD＝xm，则由题意可得 AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m， 在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2， 即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2， 解得x＝3． 即秋千支柱AD的高为3m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，若在一个直角三角形中，已知一条边，而其他两边具有一定的数量关系，则可利用勾股定理列方程求出其他两边． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上． （1）线段的值为______；线段的值为______； （2）若的长为，则以，，三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）13； 8 （2） 能构成直角三角形；理由如下： ，，， ， 以，，三条线段为边能构成直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，可以求得和的长；（2）根据勾股定理的逆定理可以判断以，，三条线段为边能否构成直角三角形． 【小问1详解】 解：由图可得，． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 19. 我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． (1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2)若与互为相反数，求1－的值． 【答案】（1）成立；（2）-1 【解析】 【详解】【试题分析】 举例：8和-8的立方根分别为2和-2. 2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数； （2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1. 【试题解析】 （1）8和-8的立方根分别为2和-2；2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数（举例符合题意即可），成立. （2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1.故答案为-1. 【方法点睛】本题目是一道关于立方根的拓展题目，根据立方根互为相反数得到这两个数互为相反数；反之也成立.运用了从特殊的到一般的数学思想. 20. 数学社团小组同学在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 5 … … 4 6 8 10 … … （1）请你分别观察，，与之间的关系，并用含自然数的代数式表示：_____，_____，_____． （2）猜想：以，，为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想． 【答案】（1），， （2） 解：以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ， ∴， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了数字规律及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是减1，加1，而为的两倍，即可得出答案． （2）利用完全平方公式计算出的值，以及的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【小问1详解】 解：由图表可以得出： ∵时，， 时，， 时，， …， ∴． 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. +如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿折叠，使点B落在长方形内点F处，且． （1）试说明：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：将沿折叠，使点B落在长方形内点F处， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）4 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，然后再依据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形； （2）由题意可证点E、D、F在一条直线上，设，则，，，在中，依据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据折叠可知，，， 又∵， ∴点D，F，E在一条直线上， 设，则，，， 在中，， ∴， 即：， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理，长方形的性质，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 22. 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为． （1）求正方形纸片的边长． （2）若长方形纸片能裁出来，求它的长． （3）小丽不知能否裁出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】（1）正方形纸片的边长为 （2）长方形纸片的长为 （3） 解：不同意小明的说法．理由如下： 由（2）可得长方形纸片的长为， 因为， 所以， 显然， 由（1）可得正方形纸片的边长只有， 因为， 所以不同意小明的说法，小丽不能用这块正方形纸片裁出需要的长方形纸片． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．也考查了估算无理数的大小． （1）设正方形纸片的边长为，则，开平方即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解方程，进一步可得解； （3）比较长方形的长和正方形的边长即可得出结论． 【小问1详解】 解：设正方形纸片的边长为，则， 因为， 所以（负值已舍去）， 答：正方形纸片的边长为； 【小问2详解】 解：设长方形纸片的长为，宽为， 根据边长与面积的关系，得，即， 因为， 所以， 因此长方形纸片的长为； 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇妙三角形． 理解：若某三角形的三边长分别为4，，，则该三角形是不是奇妙三角形？请说明理由． 探究：在中，两边长分别是a，c，且，，则是不是奇妙三角形？请说明理由． 拓展：在中，，，，，且，若是奇妙三角形，求． 【答案】理解： 解：该三角形是奇妙三角形．理由如下： ， 该三角形是奇妙三角形． 探究： 是奇妙三角形，理由如下： 当为斜边时，， ， 不是奇妙三角形； 当为斜边时，， ，即， 是奇妙三角形； 拓展： 【解析】 【分析】本题考查了新定义、勾股定理，熟练掌握三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论． 理解：根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断； 探究：分为斜边、为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断； 拓展：根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 【详解】理解：略 探究：略 拓展：在中，， ， ， ， 奇妙三角形， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省萍乡市鸡冠山中学2025-2026学年上学期 第一次月考八年级数学试卷 大单元·素养测评卷（一） 说明： 1．考试范围：第一章~第二章第6节． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 514 B. 8 C. 16 D. 64 3. 下列各组数中是勾股数的是（　　） A. ，， B. C. 3，4，5 D. 1，，2 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，根据图中的作图痕迹，数轴上点D所表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，先画一个边长为1的正方形，以其对角线为边画第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形……如此反复下去，那么第2024个正方形的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的相反数是______． 8. 如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为______． 9. 把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是______． 10. 如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 ___． 11. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 _____米． 12. 如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为，当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）求x的值：． 14. 如图，在中，，，，求a的值． 15. 一个正数x的平方根是3a－4和1－6a，求a及x的值． 16. 如图是一个高为，底面周长为的无盖圆柱，为底面的直径，一只蚂蚁在圆柱的侧棱的中点处，处有一粒食物，蚂蚁爬行的速度为，则蚂蚁最少要花多长时间才能吃到食物？ 17. 如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上． （1）线段的值为______；线段的值为______； （2）若的长为，则以，，三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由． 19. 我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． (1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2)若与互为相反数，求1－的值． 20. 数学社团小组同学在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 5 … … 4 6 8 10 … … （1）请你分别观察，，与之间的关系，并用含自然数的代数式表示：_____，_____，_____． （2）猜想：以，，为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. +如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿折叠，使点B落在长方形内点F处，且． （1）试说明：是直角三角形； （2）求的长． 22. 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为． （1）求正方形纸片的边长． （2）若长方形纸片能裁出来，求它的长． （3）小丽不知能否裁出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇妙三角形． 理解：若某三角形的三边长分别为4，，，则该三角形是不是奇妙三角形？请说明理由． 探究：在中，两边长分别是a，c，且，，则是不是奇妙三角形？请说明理由． 拓展：在中，，，，，且，若是奇妙三角形，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $