精品解析：四川省自贡市/荣县第一中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

荣县一中第一学月巩固练习2027级数学学科练习题 时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列选项中表示两个全等的图形的是（　　） A. 形状相同的两个图形 B. 周长相等的两个图形 C. 面积相等的两个图形 D. 能够完全重合的两个图形 2. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，点P是的平分线上一点，于点E，已知，则点P到的距离是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 6. 如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 9. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 10. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则______． 11. 如图所示，在中，已知点D，E，F分别是的中点，平方厘米，则的值为___平方厘米． 12. 如图，已知中，的平分线与的平分线交于点，如果的度数为，则的度数为_________． 13. 如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 14. 如图，已知，则______度． 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 如图，已知中，，平分，请补充完整过程，说明的理由． ∵平分 ∴∠________=∠_________（角平分线的定义） 在和中 ∵_______，_______，_______， ∴_____． 16. 如图，已知点M在的边上，请用直尺和圆规过点M作直线，使．（保留作图痕迹．） 17. 如图，是的中线，于E，于F，且，求证：． 18. 如图，点A、B，C、D在同一条直线上，，已知，，求AD的长． 19. 在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． （1）小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； （2）小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 如图分别是的高和角平分线，，求的度数． 21. 如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 22. 如图所示，已知和与交于点P，点C在上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 四、解答题（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 综合与实践． 【问题情境】我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常会转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图（1）所示，在中，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：”这个问题时，只要证明，即可得到解决． 【问题解决】 （1）请写出证明过程； 【类比应用】 （2）如图（2）所示，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标并写出求解过程． 24. 已知在四边形中， ，． （1）如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． （2）如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上的点，线段之间的关系是 ．  第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣县一中第一学月巩固练习2027级数学学科练习题 时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列选项中表示两个全等的图形的是（　　） A. 形状相同的两个图形 B. 周长相等的两个图形 C. 面积相等的两个图形 D. 能够完全重合的两个图形 【答案】D 【解析】 【分析】全等图形：能够完全重合的平面图形。特点是形状、大小相同． 【详解】解：A、形状相同的两个图形，大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意； B、周长相等的两个图形，形状、大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意； C、面积相等的两个图形，形状、大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意； D、能够完全重合的两个图形是全等图形，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查全等图形的定义．掌握相关结论是解题的关键． 2. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点． 3. 如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、表示的是中边上的高，故此选项不符合题意； B、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； C、不能表示的高，故此选项符合题意； D、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高的定义． 4. 如图所示，点P是的平分线上一点，于点E，已知，则点P到的距离是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，解题的关键是掌握该性质定理． 利用角平分线的性质定理进行求解即可． 【详解】解：∵点P是的平分线上一点，， ∴点P到的距离等于点P到的距离，即等于的长度， ∴点P到的距离为4， 故选：C． 5. 如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：B． 6. 如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有，根据定理逐个判断即可． 【详解】解：A、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； B、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项符合题意； D、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有． 7. 如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质和三角形内角和是，熟练掌握三角形内角和是是解题的关键． 先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由∠E=∠F=90°,∠B=∠C,利用等角的余角相等可得出∠1=∠2,结论①正确;②由∠B=∠C,∠E=∠F,AE=AF,即可证出△BAE≌△CAF（AAS）,根据全等三角形的性质可得出BE=CF,结论②正确;③由△BAE≌△CAF可得出AB=AC,结合∠C=∠B,∠CAN=∠BAM即可证出△ACN≌△ABM（ASA）,结论③正确；④通过证△BDN≌△CDM可得出DN=DM,根据三角形外角的性质结合等腰三角形的性质即可得出CD≠DN结论④错误,综上即可得出结论． 【详解】解：①∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C, ∴∠BAE=∠CAF, ∵∠BAE=∠BAC+∠2,∠CAF=∠CAB+∠1, ∴∠1=∠2，结论①正确； ②在△BAE和△CAF中, ∠B＝∠C,∠E＝∠F,AE＝AF, ∴BE=CF,结论②正确; ③∵△BAE≌△CAF, ∴AB=AC． 在△ACN和△ABM中， ∠C＝∠B,AC＝AB,∠CAN＝∠BAM, ∴△ACN≌△ABM（ASA），结论③正确； ④∵△ACN≌△ABM， ∴AN=AM． ∵AB=AC, ∴BN=CM． 在△BDN和△CDM中， ∠BDN＝∠CDM,∠B＝∠C,BN＝CM, ∴△BDN≌△CDM, ∴DN=DM． ∵∠CMD=∠CAB+∠B,∠C=∠B, ∴∠CMD≠∠C, ∴CD≠DM, ∴CD≠DN,结论④错误． 故选:C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质,逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 9. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 10. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用证明， 根据全等三角形的性质得出，结合直角三角形的性质求出， 再根据，求解即可．熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图所示，在中，已知点D，E，F分别是的中点，平方厘米，则的值为___平方厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．先计算的面积，再计算、、、的面积，最后计算即可． 【详解】解：点D是的中点， ， 和以为底且高相同， ， 同理，， ， ， 即， 又， ， 平方厘米 平方厘米， 故答案为：4． 12. 如图，已知中，的平分线与的平分线交于点，如果的度数为，则的度数为_________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的定义及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【答案】6 【解析】 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 14. 如图，已知，则______度． 【答案】270 【解析】 【分析】连接BC，由三角形的内角和定理可求得，利用三角形外角的性质可得，进而可求解． 【详解】解：连接BC， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：270． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用三角形内角和定理求解角的度数是解题的关键． 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 如图，已知中，，平分，请补充完整过程，说明的理由． ∵平分 ∴∠________=∠_________（角平分线的定义） 在和中 ∵_______，_______，_______， ∴_____． 【答案】，，，，， 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及全等三角形的判定定理，填空即可． 【详解】解：∵平分， ∴（角平分线的定义）， 在和中， ∵，，， ∴（）． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定定理及角平分线的定义． 16. 如图，已知点M在的边上，请用直尺和圆规过点M作直线，使．（保留作图痕迹．） 【答案】如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定定理，解题的关键是掌握作图的步骤． 根据同位角相等两直线平行，过点作即可． 【详解】解：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点； ②保持半径长度不变，以点为圆心画弧，交射线于点； ③以点为圆心，截取的长度，再以点为圆心，长为半径画弧，交原弧于点； ④作直线即可． 17. 如图，是的中线，于E，于F，且，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，三角形中线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 根据垂直得出直角，根据三角形中线得出，证明，得出相等的角，然后利用等角对等边即可得出结论． 【详解】略 18. 如图，点A、B，C、D在同一条直线上，，已知，，求AD的长． 【答案】8 【解析】 【分析】根据得到，根据，得到、的长，进而可得结论． 【详解】解：， ． ，， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 19. 在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． （1）小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； （2）小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】（1）第一段的长不能为， 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； （2）符合条件的的整数长度为或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 如图分别是的高和角平分线，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 由三角形的内角和可求得，则由角平分线定义可求得，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：在中 ∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∴． 21. 如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的中线和三角形的三边关系，分两种情况：当cm时和cm时，根据等腰三角形的定义结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图，    ∵是边上的中线， 即， ∴， 若，则， 又∵， 联立方程组∶， 解得：， 三边能够组成三角形； 若，则， 又∵， 联立方程组， 解得：， 三边能够组成三角形； ∴三角形的各边长为或． 22. 如图所示，已知和与交于点P，点C在上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和及外角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质定理． （1）根据线段的和差得出，然后证明，即可得出结论； （2）根据三角形的外角定理得出，再利用等边对等角及三角形的内角和定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 综合与实践． 【问题情境】我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常会转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图（1）所示，在中，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：”这个问题时，只要证明，即可得到解决． 【问题解决】 （1）请写出证明过程； 【类比应用】 （2）如图（2）所示，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标并写出求解过程． 【答案】 （1）证明：∵， ∴． ∵于点D，于点E， ∴，． ∴． 在和中， ∴． ∴； （2）解：如图所示，过B作轴于点D， ∵， ∴． ∵， ， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∴． ∴点B的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，写出直角坐标系中点的坐标，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得出相等的角，然后证明，即可得出结论； （2）过B作轴于点D，根据坐标求出相关线段的长度，然后根据直角三角形的性质得出相等角，证明，得出相等的线段，然后利用线段的长度求出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 24. 已知在四边形中， ，． （1）如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． （2）如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上的点，线段之间的关系是 ．  【答案】（1） 解：，证明如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 解：仍然成立，理由如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，角的和差，解题的关键是掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （2）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （3）在线段上截取，连接，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $