精品解析：江西省抚州市临川区临川六中、临川区第五实验2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026年度九年级上数学第一次集中训练卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图象”是随机事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 D. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 5. 习近平总书记说：“读书让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”我县图书馆开馆时阅读人一直络绎不绝．据统计，今年4月份进馆人次，进馆人次每月增加，6月份进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形外取一点E，连接、、，过A作的垂线交于点P，若，，下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 把方程化成一般式得，则的值为______． 8. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则袋子中的小球个数大约有______个． 9. 已知是方程的两个根，则的值为_____． 10. 小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是_____． 11. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为，则的值为____． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 13. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，设方程的两根分别为，，求的值． 15. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为、与交于点．若，，求的长． 16. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了五类社团活动（音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． （1）“小明恰好选中体育社团”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）现从文学社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 17. 已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心的对称点． （1）如图1，点E在的边上； （2）如图2，点E在外． 18. 如图，在四边形中，，连接，，且经过的中点，点在上，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，且，求菱形的面积． 19. 某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? （2）国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 20. 请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． ∴原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 21. 如图，正方形ABCD中， AB＝4， 点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． (1)求证：矩形DEFG是正方形． (2)求AG＋AE的值． 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”，例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）若关于x的方程；是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． （1）求直线的函数解析式及的长； （2）连接，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的情况下，当点P在线段上运动时，是否存在以为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度九年级上数学第一次集中训练卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图象”是随机事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 D. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】解：A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，错误； B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，错误； C．“概率为0.0001的事件”是随机事件，错误； D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：A 【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答． 5. 习近平总书记说：“读书让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”我县图书馆开馆时阅读人一直络绎不绝．据统计，今年4月份进馆人次，进馆人次每月增加，6月份进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：进馆人次的月平均增长率为，依题意得：， 故选：． 6. 如图，在正方形外取一点E，连接、、，过A作的垂线交于点P，若，，下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；③在中，利用勾股定理，可求得、的长，再依据，即可得出，据此即可判断． 【详解】解：①∵，， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； ③在中，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴，故③错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形面积、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 把方程化成一般式得，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．先去括号，再移项，再合并同类项，即可答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵把方程化成一般式得， ∴ ∴． 故答案为：3． 8. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则袋子中的小球个数大约有______个． 【答案】25 【解析】 【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出袋子中的小球个数即可． 【详解】解：∵多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴球的总个数为个． 故答案为：25 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 9. 已知是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的应用等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形得出，将代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为：1 10. 小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】如图，根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，根据平行线的性质易证S1=S2，故阴影部分的面积占一份， 故针头扎在阴影区域的概率为． 11. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，通过菱形的周长和面积分别求出边长和，，最后由面积和差即可求出的值． 【详解】连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为， 当点在的延长线上时，如图所示，则 当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形， 综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查利用公式法、因式分解法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是快速解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， 变形得：， 移项得：， 因式分解得：， 即， ∴或， ∴，． 四、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，设方程的两根分别为，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解不等式求出k的取值范围即可； （2）把代入方程，求出，，进而求出的值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 即k的取值范围为； 【小问2详解】 解：当时，方程为， 解得，， 则． 15. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为、与交于点．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理；三角形全等的判定与性质，再得到相等的线段是解题关键． 根据折叠的性质，证明≌，则有，由勾股定理算出，则可计算出，再根据折叠的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，， 四边形是矩形， ， ∵， （）, ， ，， ， ， ∴， ， ． 16. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了五类社团活动（音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． （1）“小明恰好选中体育社团”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）现从文学社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件和用列表法与树状图法求概率： （1）根据随机事件的定义进行解答即可； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 由于体育社团是五类社团之一，所以，“小明恰好选中体育社团”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种， 所以恰好选中甲和乙两名同学的概率． 17. 已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心的对称点． （1）如图1，点E在的边上； （2）如图2，点E在外． 【答案】（1） 如图1，点即为所求； （2）如图2，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形、平行四边形的性质，熟练掌握中心对称图形、平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）连接，交于点，再连接并延长，交于点，则点即为所求； （2）连接，交于点，连接，交于点，连接并延长，交于点，再连接并延长，交的延长线于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在四边形中，，连接，，且经过的中点，点在上，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，且，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵是中的中线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）通过，，得出四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得，即可证明四边形是菱形． （2）根据，，得，而 ，用勾股定理可得，代入数值求解可得，故，即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 故在中，用勾股定理可得， 代入数值为， 化简得， ∴， ∴菱形的面积为． 19. 某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? （2）国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 【答案】（1）商场对商品平均每次每次降价的百分率为 （2）这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元 【解析】 【分析】（1）设商场对商品平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设商场对商品平均每次降价的百分率为， 由题意得： 解得：，（舍去）， ， 答：商场对商品平均每次每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设这天商场在每件150元的基础上降价元， 由题意得：， 解得：， 为了尽快销售完这批商品， ， 答：这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 20. 请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． ∴原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程等知识，理解“换元法”是解题关键，注意分式方程要进行检验．设得到，解得或，再分别代入，解方程，检验即可求解． 【详解】解：． 设 则， 解得或， 当时，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验，是分式方程的解， 原分式方程的解是，． 21. 如图，正方形ABCD中， AB＝4， 点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． (1)求证：矩形DEFG是正方形． (2)求AG＋AE的值． 【答案】 （1）证明：如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， 四边形是矩形， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”，例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）若关于x的方程；是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． 【答案】（1） ， ， 或， 所以， 则方程是“倍根方程”； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，，也考查了阅读理解能力． （1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义解得或，然后把或代入所求的代数式中运算即可； （3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 或， 解得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； 【小问3详解】 解：根据题意，设方程的两根分别为， 根据根与系数的关系得 ， 解得或， ∴m的值为或． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． （1）求直线的函数解析式及的长； （2）连接，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的情况下，当点P在线段上运动时，是否存在以为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）当或时，为以为腰的等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点的坐标，由，的坐标可得直线的解析式；令，解得，得的长，易得； （2）设点到的距离为，由的面积易得，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当在直线上运动；②当运动到直线上时分别得的面积； （3）分类讨论：①当时，，解得；②当时，利用勾股定理可得的长，易得． 【小问1详解】 解：点的坐标为， ，即点的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为：， 令得：， 即， ； 【小问2详解】 解：设点到的距离为， 由， 即， ， ①当在直线上运动时的面积为与的运动时间为秒关系为： ，即； ②当运动到直线上时的面积为与的运动时间为秒关系为： ，即， 故； 【小问3详解】 解：存在①当时， 点的坐标为，，，， ，即， ； ②当时，即， 解得：． 综上所述，当或时，为以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，等腰三角形的性质和三角形的面积公式及待定系数法求解析式，解题的关键是利用分类讨论的思想，数形结合的思想求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $