精品解析：浙江省金华市 义乌市稠州中学2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025学年第一学期九年级期中独立作业 一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（　　） A. y＝﹣2（x+1）2+3 B. y＝﹣2（x+5）2+7 C. y＝﹣2（x﹣1）2+3 D. y＝﹣2（x﹣1）2+7 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 4. 若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线AC和DF被所截，如果，那么的长是（　　） A 2 B. C. 1 D. 6. 如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P是边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线顶点坐标是___________． 12. 一个袋中有形状材料均相同的白球2个红球4个，任意摸一个球是红球的概率______． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 14. 如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点横坐标分别为1和，b的值为____． 15. 点是的重心，若的面积等于6，_______________________． 16. 如图，在矩形中，，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接． （1）当点恰好落在边上时，________． （2）当________时，有最小值． 三、解答题（本题有8小题,共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 已知三条线段a，b，c满足，且． （1）求a，b，c的值； （2）若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 18. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）图1中，请画出中边上的中线； （2）图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 19. 如图，抛物线y1=﹣x2+bx+c经过点A（4，0）和B（1，0），与y轴交于点C． (1)求出抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及抛物线的顶点坐标； (3)设直线AC的解析式为y2=mx+n，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围． 20. 如图，已知，． （1）试说明； （2）若，，求长． 21. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 22. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） （1）若该函数经过点，求该函数表达式； （2）在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围． 24. 在中，垂足为．且点是边上一动点(点不与点A、点C重合)，连接，过点作交线段于点． （1）如图①，求证：． （2）如图②，若，求的面积． （3）若交线段于点，连接，且与相似，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期中独立作业 一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数． 根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是二次函数，不符合题意； B．不是二次函数，不符合题意； C．是二次函数，符合题意； D．不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 2. 将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（　　） A. y＝﹣2（x+1）2+3 B. y＝﹣2（x+5）2+7 C. y＝﹣2（x﹣1）2+3 D. y＝﹣2（x﹣1）2+7 【答案】C 【解析】 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣2（x+2）2+5的顶点坐标为（﹣2，5）， ∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（1，3）． ∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣1）2+3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 4. 若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则 ∵， ∴ 故选：B 5. 如图，直线，直线AC和DF被所截，如果，那么的长是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 6. 如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，可得，，所以，再根据三角形外角的性质，即可求得答案． 【详解】解：是正方形的对角线 ， ，， ， ， ． 故选：D． 7. 如图，点P是边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 8. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关系是解题的关键． 由二次函数图象可得：，，，可判断①；由对称轴，可判断②；将代入函数，求得y值，判断③；抛物线与x轴有两个交点，可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，即，与y轴交在负半轴上， ∴，，，即，故①错误； ∵对称轴为直线，即， ∴，故②正确； 结合图象，当时，，故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故④正确， ∴正确的共有3个． 故选：A． 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数得性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 10. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作，分别交AB于点M，交FG于点N，根据正方形和相似三角形的性质，通过证明，得；根据勾股定理的性质，计算得；根据矩形的性质，通过证明四边形为矩形，得，再根据相似三角形的性质，通过证明，利用相似比计算，即可得到答案． 【详解】如图，过点C，作，分别交AB于点M，交FG于点N ∵中，，以其三边为边向外作正方形 ∴，，，， ∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴四边形为矩形 ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、矩形、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、正方形和矩形的性质，从而完成求解． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线顶点坐标是___________． 【答案】(3，5) 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质可直接求出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（3，5）， 故答案为：(3，5)． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 12. 一个袋中有形状材料均相同的白球2个红球4个，任意摸一个球是红球的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵袋中有形状材料均相同的白球2个， 红球4个，共6个球， ∴任意摸一个球是红球的概率 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 15. 点是的重心，若的面积等于6，_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查重心的定义，三角形中线有关的面积问题，根据三角形三条中线交点为三角形的重心，结合三角形中线有关的面积特征求解即可． 【详解】解：连接并延长交于， ∵点是的重心， ∴，，是的中线， 即为的中点，为的中点，为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴由得到， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接． （1）当点恰好落在边上时，________． （2）当________时，有最小值． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）首先画出图形，由矩形得到，，然后证明出，得到，然后代入求解即可； （2）过点作于点，与交于点，证明，设，则，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的值． 【详解】（1）如图所示，当点F恰好落在边上时， ∵在矩形中，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴， ∴； 在中， 故答案为：． （2）过点作于点，与交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ， ，即抛物线开口向上， 当时，即时，的最小值为5， 在中，, ∴ ∴当时，又有最小值； 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题,共72分，各小题都必须写出解答过程） 17 已知三条线段a，b，c满足，且． （1）求a，b，c的值； （2）若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段等知识点，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入，求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：设， 则， ， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：线段d是线段a和b的比例中项， ， 或（舍去）， d的值为． 18. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）图1中，请画出中边上的中线； （2）图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【小问1详解】 解：如下图，线段即为所求作； 【小问2详解】 解：即为所求作． 19. 如图，抛物线y1=﹣x2+bx+c经过点A（4，0）和B（1，0），与y轴交于点C． (1)求出抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及抛物线的顶点坐标； (3)设直线AC的解析式为y2=mx+n，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式是y=﹣x2+x﹣2；(2)顶点坐标是（，）；(3) x＜0或x＞4． 【解析】 【分析】（1）代入A和B点并联立方程求解即可； （2）令x=0求解c点坐标，再运用配方法将一般式化为顶点式即可； （3）由图像可知，C点左侧以及A点右侧部分均符合问题要求. 【详解】(1)根据题意得：，解得 则抛物线的解析式是y=﹣x2+x﹣2； (2)在y=x2+x﹣2中令x=0，则y=﹣2，则C的坐标是（0，﹣2）． y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+，则抛物线的顶点坐标是（，）； (3) 由图像可知，C点左侧以及A点右侧部分均符合问题要求，故当x＜0或x＞4时均满足y1＜y2． 20. 如图，已知，． （1）试说明； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，根据两角相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）， ， ， 解得，． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 21. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 【答案】（1）；详见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图，先用篮球的人数算出总人数再补全即可； （2）根据“排球”人数占总人数的比例求出圆心角度数； （3）通过树状图列出所有可能的组合，从而得到概率． 【小问1详解】 被调查的学生有（名）， 足球人数：（名）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 ， 故答案为：． 【小问3详解】 共有种等可能的结果，甲和乙同时被选中的结果有种， 甲和乙同时被选中的概率． 22. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）元 （3）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的实际应用，解题关键是根据题意建立函数模型，再利用函数的性质求解． （1）利用待定系数法求解y与x之间的函数关系式，再根据题意写出自变量取值范围即可； （2）把代入函数解析式求出自变量的值，根据题意舍去不合题意的解即可； （3）依题意得，，根据二次函数性质求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将、代入得， ， 解得，， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴销售单价应为元． 【小问3详解】 依题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，， ∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） （1）若该函数经过点，求该函数表达式； （2）在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式； （2）①设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入，即可确定“三倍点”坐标； ②由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于-6，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 ①设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得， 整理得：， 解得， ∴“三倍点”坐标为； ②由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或 ∵， ∴； 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 综上，的取值范围为：． 24. 在中，垂足为．且点是边上一动点(点不与点A、点C重合)，连接，过点作交线段于点． （1）如图①，求证：． （2）如图②，若，求的面积． （3）若交线段于点，连接，且与相似，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和分论讨论思想的应用． （1）证明，对应边成比例即可解决问题； （2）设交于，由；，可得，设，则，可得，即可解得，，求出，；由三角形面积公式即可解决问题； （3）与相似，只需或，分两种情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形判定与性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：，， ， ，， ， ， 【小问2详解】 解：设交于，如图： 由（1）知， ， ， 设，则， 中，， ， 解得 ， ， ， 的面积为； 【小问3详解】 解：， 与相似，只需或， ①当时，此时如图：， ，，，，， ，， ， ， 设，则 由（1）知：， 解得：负值舍去 ②当时，如图： ，， ， ， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $