指数函数切线放缩问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题十四、指数函数切线放缩问题 1.指数函数与直线的放缩关系 模型一：.(用替换，切点横坐标是)，通常表达式为； 模型二：.(用替换，切点横坐标是)，平移模型，找到切点是关键； 模型三.(用替换，切点横坐标是)，常见的指对跨阶改头换面模型，切线方程是按照指数函数给与的； 模型四：.(用替换，切点横坐标是)，通常有的构造模型； 在一些解答题的详细书写过程中，通常都要用上“指数找基友”模型，具体过程见专题十一，这里不再叙述. 我们要注意，切线放缩的本质是化曲为直. 例题1：已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为( ) 答案： 解析：根据，则，故， ，所以，当且仅当时等号成立，此时的最小值为2，故选. 例题2：已知函数，函数的最小值为，则实数的最小值是( ) 答案： 解析：由，切点满足条件，即，易求得，显然时可以获得相切取等条件，所以实数的最小值是，故选 例题3：已知，函数的图像与轴切于点，则实数的值分别为( ) 答案： 解析：函数，解得，故选. 例题4：对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围 . 答案： 解析：由可得，又因为，则，则，且，则，即，故实数的取值范围是. 例题5：函数的最小值是 . 答案： 解析：因为，则，所以有 ，所以函数的最小值是. 例题6：函数函数的最小值是 . 答案： 解析：因为，则，所以有 ，所以函数的最小值是. 例题7：已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：，因为，则有 ，即，因为，所以，即. 例题8：函数，若对任意，总有不等式成立，求实数的取值范围. 解析：由,有,只需求函数的最小值即可,由切线放缩不等式:,,所以,又因为，且不等式,，取等的条件均为，所以函数，则，故实数的取值范围是. 例题9：已知直线与曲线相切，则的最小值为( ) 答案： 解析：因为，数形结合可知，则,则切线斜率为， ，则，所以，令，，所以，故选. 例题10：函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 解析：由分离常数可得：，易证不等式在时恒成立成立，因为， 则，所以有，故，所以实数的取值范围是. 例题11：设函数. (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求的取值范围. 解析：(1)对函数求导可得， ①当时，，则在上单调递增， ②当时，，，则在单调递减，在单调递增; (2)方法一：由可得不等式恒成立，显然不合题意；当时，原问题等价于指数函数的图像恒在直线的上方，直线横过定点，考查函数过点的切线方程，假设切点坐标为，切线斜率为，故切线方程为：，切线过点，则，解得，，如图： 综上可得，实数的取值范围是. 方法二：构造函数，显然恒成立，当且仅当时等号成立，要使不等式恒成立，很明显时不合题意，令，即，当且仅当时取得相切等号，故. 例题12：已知函数的图像在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式； (2)若，且在上的最小值为，证明：当时，. 解析：(1)，则，又因为，所以，解得，所以； (2)因为，所以，因为，所以，则在单调递增，则，解得， 要证，即证，只需证明.易证不等式成立， 所以，故成立. 2.与二次函数相关的特殊放缩问题 模型一：处的切线构造：； 模型二：处的切线构造：. 例题1：已知函数. (1)求函数的极值； (2)若对任意的，有解，求的取值范围. 解析：(1)令，，所以在单调递减，单调递增，所以有极小值，无极大值. (2)由,即,令,， ①当时，单调递增，，则，则函数单调递增，，成立； ②当时，令，则单调递增，，则，则函数单调递增，，成立； ③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立，综上可知：. 例题2：已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为，求的值； (2)若，求证：当时，的图像恒在轴上方. 解析：(1)对函数求的可得，因为曲线在处的切线斜率为，则，解得； (2)若，题设等价于证明，令， (根据切线不等式)，所以在上单调递增，所以，所以，即，即，故当时，的图像恒在轴上方. 例题3：证明：. 解析：令，则或，，所以在单调递减，在单调递增，由于所以对恒成立，要证，等价于证明(当且仅当时取等号)，即 (当且仅当时取等号). 例题4：若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 解析：由，由，则(当且仅当时取等号)，又(当且仅当时取等号)，得. 例题5：已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：当时，. 解析：(1)由，则，则切线方程为，即. (2)构造函数，则或，，所以在单调递减，在单调递增，由于所以对恒成立，即恒成立，要证 成立，等价于，即证 ，即(当且仅当时取等号),得证. 3.与反比例函数相关的特殊放缩问题 模型一：处相切构造，或者切点为,利用证明；，或者，证明过程用求切线方程或者参照“指数找基友”即可 模型二：处相切构造，证明过程按照“指数找基友”的方法即可. 例题1:已知函数在上有两个零点,则的范围是( ) 答案： 解析：方法一：由得，当时，方程不成立，即，则，令，则，因为，所以由，当时，，则时，函数有最小值，如图： 要使方程有两个不同的实根，则，故的范围是，故选. 方法二：由得，要使方程有两个不同的实数根，则即可. 例题2：曲线，若曲线，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：由，即，根据切线放缩模型一 则，所以. 注意：证明：，也可以这样证明. 例题3：若函数在上单调递减，则的取值范围是( ) 答案： 解析：因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即，因为，则，故选. 例题4：已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则直线在轴上的截距为( ) 答案： 解析：方法一：设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，切线方程分别为，，所以有，解得，所以直线的方程为： ，取，可得，所以直线在轴上的截距为，故选. 方法二：根据，切点为，所以直线的方程为：，取，可得，所以直线在轴上的截距为，故选. 例题5：函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是( ) 答案： 解析：方法一：，当时不满足条件，所以时，分离常数 ,或,,作出图像如图1， 图1 图2 ，可得：当时，函数与有且仅有一个交点，即函数有一个零点，故实数的取值范围是，故选. 方法二：，根据可得，故，所以时，与相切，如图2所示，显然无交点，当有两个交点，当且仅当时，与仅有一个交点，故实数的取值范围是，故选. 例题6：若函数恰有两个极值点，则的取值范围是( ) 答案： 解析：函数有两个极值点，等价于方程有两个不同的实根，分离常数得：， 方法一：令，则或，，所以时，取得极大值，作出的图像： 要使得有两个不同的实根，则，解得，故选. 方法二：方程有两个不同的实数根，即有两个交点，故，即，故选. 例题7：已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：，即，， ，所以，所以. 例题8:已知函数,若时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 答案： 解析：因为恒成立，所以，即， ，易知不等式成立，则 ，解得. 例题9：若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：，由切线不等式可得， ，所以. 例题10：已知函数，若函数的最小值为0，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：由题可知，，即，令，即，当且仅当时取等号，即有解即可，令，则，，，有最小值，可得实数的取值范围是. 例题11：已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求证：当时，对任意都有； (2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围. 解析：(1)当时，，不等式成立，等价于不等式成立，令，，，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，故对任意都有. (2)方法一：函数定义域为，令，若有两个极值点，则函数有两个变号零点，则， ①当时,恒成立,则在上单调递增,此时函数至多一个零点，不符合条件； ②当时,,,即函数在单调递减，在单调递增，则必有，因为，所以，解得，综上可知，有两个极值点时，实数的取值范围是. 方法二：函数定义域为，令，若有两个极值点，则函数有两个变号零点，则，显然恒成立，当且仅当时等号成立，要使不等式恒成立，很明显不合题意，，当且仅当取得相切等号，若，解得，所以有两个极值点时，实数的取值范围是. 方法三：(切线法)，函数定义域为，令，若有两个极值点，则函数有两个变号零点，有两个实根，则直线与曲线图像有两个交点，设直线与曲线的切点为，则有，如图可知， 当时，直线与曲线图像有两个交点，所以有两个极值点时，实数的取值范围是. 例题12：已知函数. (1)若函数的极小值为，求实数的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解析：(1)函数定义域为，， ①当时，恒成立，所以在上单调递增； ②当时，，，所以的极小值为，解得； (2)令，，则必须有，下证时，不等式恒成立，，构造函数，显然，当且仅当时等号成立，故，当时等号成立，当时，，显然，故恒成立，即实数的取值范围是. 例题13：已知函数. (1)若是曲线的切线，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 解析：(1)设切点为，，则，则有，解方程组得； (2)方法一：根据题意，变形可得，且，所以 ，设，，设，，则在上单调递增，且，则存在，满足，故 ，则有，令，变形可得，由变形可得，则有，设，且为增函数，则有，则，所以，解得，故实数的取值范围是. 方法二：由，变形可得，即，构造函数，显然恒成立，当且仅当时等号成立，故 恒成立，当且仅当，且有时等号成立，故 ，又因为，所以，解得，故实数的取值范围是. 例题14：已知函数(是自然对数的底数). (1)当时，求点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 解析：(1)当时，，，，所以在点处的切线方程为，即. (2)方法一：由得，令，，易证，所以，所以，则函数在单调递增，则，即，所以实数的取值范围是. 方法二：易证不等式成立，由，即，所以. 例题15：已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求证：. 解析：(1)函数定义域为， ①当时，恒成立，函数在单调递增，无极值； ②当时，，，所以函数有极小值 ； (2)方法一：由，且， ①当时，不等式恒成立，则； ②当时，分离常数，， 令，，所以在单调递减，则，则，则在单调递减，由洛必达法则， ，所以，故， 综上所述，. 方法二：由，即，令， ，，所以，画出和的图像，如图所示： 当时，恒成立即得图像必须在图像的下方，在时取得极值，而此时取得极值时，斜率为，所以，解得. 例题16：已知函数. (1)求函数的单调区间和零点； (2)若恒成立，求的取值范围. 解析：(1)函数定义域为，，，所以函数在单调递减，在单调递增；由解得，所以函数零点为； (2)因为恒成立，即得图像恒不在直线的图像下方，如下图所示： 当它们相切时，设切点为，所以，且，联立解得，，由图可知所以的取值范围是. 例题17：已知函数的图像在点处的切线方程为. (1)求的表达式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 解析：(1)，则，，所以； (2)方法一：时，恒成立，则，令，则，易证成立，所以，，，所以，则，实数的取值范围是. 方法二：构造函数，求导，易知，故有对任意恒成立，则，即，实数的取值范围是. 例题18：已知函数. (1)若直线为的切线，求的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 解析：(1)设切点，所以，，解得 (2)对任意的，不等式恒成立，则， ①当时，不等式恒成立，则； ②当时，，，令，则，则单调递增，有，即，所以函数在单调递增，由洛必达法则， ，所以，即，故的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $专题十四、指数函数切线放缩问题 1.指数函数与直线的放缩关系 模型一：e1≥x.(用x-1替换x,切点横坐标是x-1),通常表达式为e≥ex; 模型二：e+≥x+a+1.(用x+a替换x,切点横坐标是x=-a),平移模型，找到切点是关键； 模型三xe≥x+lnx+1.(用x+lnx替换x,切点横坐标是x+lnx=0),常见的指对跨阶改头换 面模型，切线方程是按照指数函数给与的： 医您晒：e≥>>0田今营淡t,点橙华标是r2唐宿有c“≥c>0围 4 构造模型； 在一些解答题的详细书写过程中，通常都要用上“指数找基友”模型，具体过程见专题十一，这里 不再叙述 我们要注意，切线放缩的本质是化曲为直 例题1：已知a,b为正实数，直线y=x-a+2与曲线y=e-1相切，则上+的最小值为 a b A.1 B.2 C.4 D.8 例题2：已知函数f(x)=xe-1-hx-a,a∈-0，e己 1 函数f(x)的最小值为N,则实数N 的最小值是( A.-1 B.-1 C.0 D.- e e 例题3：已知aeR,函数f(x)=e-ar的图像与x轴切于点P(x。,0),则实数a,x的值分别为 () A.1,1 B.-1,1 C.1,-1 D.-1,-1 例题4：对于任意x>0,不等式x2x-a-lnx-1≥0恒成立，则实数k的取值范围 例题5：函数f)=e-1血x的最小值是 x+1 例题6：函数函数=C-21血的最小值是一 x+1 例题7：己知关于x的不等式e -x-alhx≥1对于任意x>1恒成立，则实数a的取值范围 是 3 例题8：函数f(x)=lnx+三x2+ax,g(x)=e+。x2，若对任意x>0，总有不等式 2 2 f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围. 例题9：已知直线y=a(x+1)与曲线f(x)=e+b相切，则ab的最小值为) A、、1 、1 C-1D.-2 Ae 2e e e 例题10：函数f(x)=x(e2x-a),若不等式f(x)≥x+lnx+1恒成立，求实数a的取值范围. 例题11：设函数f(x)=e2r-a(x+1). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)>0对x∈R恒成立，求a的取值范围. 例题12：已知函数f(=e2-anx,g)=m+1nx+n的图像在点L,g)处的切线方程为 y=3. (1)求函数g(x)的解析式； (2)若a≤0，且f(x)在e,+o∞)上的最小值为e2e,证明：当x>0时，f(x)≥g(x). 2.与二次函数相关的特殊放缩问题 模型一：x=0处的切线构造：e*≥x2+1;e≥二x2+x+1; 模型二：x=1处的切线构造：e≥ex+(x-1)2(x≥0) 例题1：已知函数f(x)=e-x. (1)求函数f(x)的极值： (2若对任意的x>0,f()>2ar2+1有解，求a的取值范围。 例题2：已知函数f(x)=e-ar2-1(x∈R) (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为e,求a的值； 2诺0≤a≤气求证：当x>0时，f)的图像恒在x轴上方 例题3：证明：e>x2-(2-e)ln(x+1)+1. 例题4：若e≥ex+mln2x对任意的x≥1恒成立，求实数m的取值范围. 例题5：已知函数f(x)=e-x2. (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程： 2求证：当x>0时，e+(2-er-l≥nx+1. 3.与反比例函数相关的特殊放缩问题 模型一：x=1处相切构造e≥2-1，或者e≥2x-1切点为)，利用 e-1-x+x+-2≥0证明；e≥ 1 或音心≥行×+子证明过程用求切 1 片2+x 2 线方程或者参照“指数找基友”即可 模型二：X=0处相切构造e≤2+x0<x<2),证明过程按照“指数找基友”的方法即可。 Γ2-x 6 5 fx)=er-1 x)=e-1 网=（月2+x-(月）) 十十十 2 2 3 9) 2+X 2-X X 0++++++ 例题1：已知函数fx)=xe-x+在(0，+o)上有两个零点，则m的范围是() A.(0,e) B.(0,2e) C.(e,+00) D.(2e,+oo) 例题2：曲线f)=,g)=x-1,若曲线g)≤f(),则实数a的取值范围是 例题3：若函数f(x)=x3-在(0，+oo)上单调递减，则k的取值范围是() A.0,+o0 例题4：已知直线1既是曲线C,:y=e的切线，又是曲线C,:y=子e×的切线，侧直线1在x轴 上的截距为) A.2 B.1 C.e2 D.-e2 例题5：函数f(x)=2e-a(x-1)2有且只有一个零点，则实数a的取值范围是() B.1,2Ve) 例题6：若函数f(x)=e-(m+1)lnx+2(m+1)x-1恰有两个极值点，则m的取值范围是() ee到c D.(-o,-e-1 例题7：已知如关于x的不等式号-x-ahx≥1对于年意r>1恒成立，则实数a的取位范国 是一 例题8：已知函数f9)=ae+nx-x,若x≥1时，不等式f)≥-1恒成立，则实数a的取值范围 是一 例题9：若对于任意x>0,e2:-a-血x≥恒成立，则实数a的取值范围是」 例题10：已知函数f(x)=xe-1-lnx-ar,若函数f(x)的最小值为0，则实数a的取值范围是 。 答案： 例题11：已知函数f(x)=e-a(x-1)2,其中e为自然对数的底数. (1)求证：当a=0时，对任意x≥0都有f(x)>x2; (2)若函数f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围. 例题12：己知函数f(x)=e-m(x+1)+1(m∈R). (1)若函数f(x)的极小值为1，求实数m的值； (2)当x≥0时，不等式f)+1n(x+1)≥0恒成立，求实数m的取值范围. 例题13：已知函数f(x)=x(e2x-a)(a∈R). (1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线，求实数a的值； (2)若f(x)≥1+x+lnx恒成立，求实数a的取值范围. 例题14：己知函数f(x)=e+ax-1(e是自然对数的底数). (1)当a=1时，求点(L,f(1)处的切线方程： (2)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围 例题15：已知函数f(x)=e-ax+2(a∈R),g(x)=xe+3. (1)求函数f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≤g(x)恒成立，求证：a≥0. 例题16：己知函数f(x)=(x-1)e. (1)求函数f(x)的单调区间和零点： (2)若f(x)≥ax-e恒成立，求a的取值范围.