切割线放缩解决零点差（和）问题讲义-2026届高三数学一轮复习

切割线放缩 双变量导数中的剪刀模型起源于 2015年天津卷，在 2021年新高考Ⅰ卷中名满天下！该模型的实质是凹凸 函数切割线放缩(牛顿切线法)，值得注意的是，该方法出现在人教版新教材选择性必修第二册 82页阅读材 料中. 1.函数的凹凸性 (1)下凸函数(凹函数)：如图 1，对于连续函数 f(x)，若在其图象上任取两点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端 点外，线段 AB始终在函数 f(x)图象的上方，或在 f(x)的图象上任取点 C(x0，f(x0))，函数 f(x)在点 C处的切 线 y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在 f(x)图象的下方，我们称 f(x)为下凸函数.若 f(x)存在二阶导数 f″(x)， 则满足 f″(x)≥0的函数 f(x)为下凸函数. (2)上凸函数(凸函数)：如图 2，对于连续函数 f(x)，若在其图象上任取两点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端 点外，线段 AB始终在函数 f(x)图象的下方，或在 f(x)的图象上任取点 C(x0，f(x0))，函数 f(x)在点 C处的切 线 y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在 f(x)图象的上方，我们称 f(x)为上凸函数.若 f(x)存在二阶导数 f″(x)， 则满足 f″(x)≤0的函数 f(x)为上凸函数. 2.切线、割线不等式 (1)对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当 x∈(x1，x2)时，f(x)< �(�1)−�(�2) �1−�2 (x- x1)+f(x1). (2)对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≤f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当 x∈(x1，x2)时，f(x)> �(�1)−�(�2) �1−�2 (x- x1)+f(x1). 3.剪刀模型 已知函数 f(x)为定义域上的下凸函数(或上凸函数)，且图象与 y=m交于 A，B两点，其横坐标为 x1，x2，我 们可以利用下凸函数(或上凸函数)的切线与 y=m的交点将 x1，x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本 原理. 如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出交点横坐标的一个上下界，而切割 线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计. 切割线放缩主要应用在交点横坐标和、交点横坐标差问题中，切割线放缩体现了函数中的化曲为直的思想. 例 1 已知函数 f(x)=xln x. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 x1<x2，且 f(x1)=f(x2)=a，a∈R，证明：ae+1<x2-x1<a+1. (1)解 由题意，f'(x)=1+ln x(x>0)， 令 f'(x)>0，则 x>e-1， 令 f'(x)<0，则 0<x<e-1， 从而 f(x)的单调递减区间是(0，e-1)，单调递增区间是(e-1，+∞). (2)证明 当 0<x<1时，f(x)<0，f(1)=0， 当 x>1时，f(x)>0， 因为 x1<x2且 f(x1)=f(x2)， 结合 f(x)在(0，e-1)上单调递减，在(e-1，+∞)上单调递增， 可得 0<x1<e-1<x2<1，如图. 设 g(x)=f(x)+x(0<x<e-1)， 则 g(x)=x(1+ln x)<0， 所以 f(x)<-x(0<x<e-1)， 从而 f(x1)<-x1， 又 f(x1)=a，所以 a<-x1，故-x1>a. ① 设 h(x)=f(x)- 1 e−1 (x-1)(e-1<x<1)， 则 h'(x)=1+ln x- 1 e−1 =ln x+e−2 e−1 ， 令 h'(x)>0，则e− e−2 e−1<x<1， 令 h'(x)<0，则 e-1<x<e− e−2 e−1， 从而 h(x)在 e−1，e− e−2 e−1 上单调递减，在 e− e−2 e−1，1 上单调递增，又 h(e-1)=h(1)=0， 所以 h(x)<0在(e-1，1)上恒成立， 故 h(x2)=f(x2)- 1 e−1 (x2-1)<0， 所以 f(x2)< 1 e−1 (x2-1)， 又 f(x2)=a，所以 a< 1 e−1 (x2-1)， 故 x2>1+a(e-1)， ② 将①②两式相加可得 x2-x1>ae+1. 设 u(x)=f(x)-(x-1)(0<x<1)， 则 u'(x)=ln x<0，所以 u(x)在(0，1)上单调递减， 又 u(1)=0，所以 u(x)>0在(0，1)上恒成立，从而 f(x)>x-1在(0，1)上恒成立， 所以 f(x2)>x2-1， 又 f(x2)=a，所以 a>x2-1，故 x2<a+1， 又 x1>0，所以 x2-x1<x2<a+1， 综上所述，ae+1<x2-x1<a+1. 例 2 已知函数 f(x)=(x-1)(ex-1). (1)求函数 f(x)在 x=1处的切线方程； (2)若方程 f(x)=a有两个不同的实根 x1，x2，证明：|x1-x2|≤ e�e−1+1. (1)解 由题意，f'(x)=ex-1+(x-1)ex=xex-1， 所以 f'(1)=e-1， 又 f(1)=0，所以 f(x)在 x=1处的切线方程为 y=(e-1)(x-1). (2)证明 设 g(x)=f(x)+x， 则 g'(x)=f'(x)+1=xex， 所以 g'(x)>0⇔x>0，g'(x)<0⇔x<0， 从而 g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 故 g(x)≥g(0)=f(0)=0， 所以 f(x)≥-x， ① 设 h(x)=f(x)-(e-1)(x-1)(x∈R)， 则 h'(x)=f'(x)-(e-1)=xex-e， 所以 h'(x)>0⇔x>1，h'(x)<0⇔x<1， 从而 h(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 故 h(x)≥h(1)=0， 所以 f(x)≥(e-1)(x-1). ② 由题意，方程 f(x)=a有两个不同的实根 x1，x2， 所以 f(x1)=f(x2)=a. 不妨设 x1<x2， 由 f(x1)=a和不等式①可得 a=f(x1)≥-x1， 所以 x1≥-a； 由 f(x2)=a和不等式②可得 a=f(x2)≥(e-1)(x2-1)， 所以 x2≤ � e−1 +1， 从而|x1-x2|=x2-x1≤ � e−1 +1+a= e� e−1 +1. 思维升华 (1)割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当地进行割线 放缩.(2)割线夹本质与切线夹类似. 跟踪训练 已知函数 f(x)=ln x-x2+1. (1)证明：f(x)<x； (2)若方程 f(x)=a有两个不相等的实根 x1，x2，证明：|x2-x1|<1-2a. 课时精练 ［分值：34分］ 1.(17分)已知函数 f(x)=(x-1)ln(x+1)，曲线 y=f(x)在点(1，0)处的切线方程为 y=kx+b. (1)求 k，b的值；(4分) (2)证明：f(x)≥kx+b；(5分) (3)若函数 g(x)=f(x)+m(m∈R)有两个零点 x1，x2，证明：|x1-x2|≤1-m- � ln2 .(8分) 2.(17分)已知函数 f(x)=(x-1)(ex-1). (1)证明：f(x)存在唯一的极小值点 x0；(7分) (2)若关于 x的方程 f(x)=a(a<0)有两个不相等的实根 x1，x2，证明： �(2�0−1) 1−�0 +1<x1+x2<2x0.(10分) 切割线放缩 双变量导数中的剪刀模型起源于2015年天津卷，在2021年新高考Ⅰ卷中名满天下！该模型的实质是凹凸函数切割线放缩(牛顿切线法)，值得注意的是，该方法出现在人教版新教材选择性必修第二册82页阅读材料中. 1.函数的凹凸性 (1)下凸函数(凹函数)：如图1，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的上方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的下方，我们称f(x)为下凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≥0的函数f(x)为下凸函数. (2)上凸函数(凸函数)：如图2，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的下方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的上方，我们称f(x)为上凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≤0的函数f(x)为上凸函数. 2.切线、割线不等式 (1)对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)<(x-x1)+f(x1). (2)对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≤f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)>(x-x1)+f(x1). 3.剪刀模型 已知函数f(x)为定义域上的下凸函数(或上凸函数)，且图象与y=m交于A，B两点，其横坐标为x1，x2，我们可以利用下凸函数(或上凸函数)的切线与y=m的交点将x1，x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理. 如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出交点横坐标的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计. 切割线放缩主要应用在交点横坐标和、交点横坐标差问题中，切割线放缩体现了函数中的化曲为直的思想. 例1　已知函数f(x)=xln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)若x1<x2，且f(x1)=f(x2)=a，a∈R，证明：ae+1<x2-x1<a+1. (1)解　由题意，f'(x)=1+ln x(x>0)， 令f'(x)>0，则x>e-1， 令f'(x)<0，则0<x<e-1， 从而f(x)的单调递减区间是(0，e-1)，单调递增区间是(e-1，+∞). (2)证明　当0<x<1时，f(x)<0，f(1)=0， 当x>1时，f(x)>0， 因为x1<x2且f(x1)=f(x2)， 结合f(x)在(0，e-1)上单调递减，在(e-1，+∞)上单调递增， 可得0<x1<e-1<x2<1，如图. 设g(x)=f(x)+x(0<x<e-1)， 则g(x)=x(1+ln x)<0， 所以f(x)<-x(0<x<e-1)， 从而f(x1)<-x1， 又f(x1)=a，所以a<-x1，故-x1>a. ① 设h(x)=f(x)-(x-1)(e-1<x<1)， 则h'(x)=1+ln x-=ln x+， 令h'(x)>0，则<x<1， 令h'(x)<0，则e-1<x<， 从而h(x)在上单调递减，在上单调递增，又h(e-1)=h(1)=0， 所以h(x)<0在(e-1，1)上恒成立， 故h(x2)=f(x2)-(x2-1)<0， 所以f(x2)<(x2-1)， 又f(x2)=a，所以a<(x2-1)， 故x2>1+a(e-1)， ② 将①②两式相加可得x2-x1>ae+1. 设u(x)=f(x)-(x-1)(0<x<1)， 则u'(x)=ln x<0，所以u(x)在(0，1)上单调递减， 又u(1)=0，所以u(x)>0在(0，1)上恒成立，从而f(x)>x-1在(0，1)上恒成立， 所以f(x2)>x2-1， 又f(x2)=a，所以a>x2-1，故x2<a+1， 又x1>0，所以x2-x1<x2<a+1， 综上所述，ae+1<x2-x1<a+1. 例2　已知函数f(x)=(x-1)(ex-1). (1)求函数f(x)在x=1处的切线方程； (2)若方程f(x)=a有两个不同的实根x1，x2，证明：|x1-x2|≤+1. (1)解　由题意，f'(x)=ex-1+(x-1)ex=xex-1， 所以f'(1)=e-1， 又f(1)=0，所以f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-1)(x-1). (2)证明　设g(x)=f(x)+x， 则g'(x)=f'(x)+1=xex， 所以g'(x)>0⇔x>0，g'(x)<0⇔x<0， 从而g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 故g(x)≥g(0)=f(0)=0， 所以f(x)≥-x， ① 设h(x)=f(x)-(e-1)(x-1)(x∈R)， 则h'(x)=f'(x)-(e-1)=xex-e， 所以h'(x)>0⇔x>1，h'(x)<0⇔x<1， 从而h(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 故h(x)≥h(1)=0， 所以f(x)≥(e-1)(x-1). ② 由题意，方程f(x)=a有两个不同的实根x1，x2， 所以f(x1)=f(x2)=a. 不妨设x1<x2， 由f(x1)=a和不等式①可得a=f(x1)≥-x1， 所以x1≥-a； 由f(x2)=a和不等式②可得 a=f(x2)≥(e-1)(x2-1)， 所以x2≤+1， 从而|x1-x2|=x2-x1≤+1+a=+1. 思维升华　(1)割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当地进行割线放缩.(2)割线夹本质与切线夹类似. 跟踪训练　已知函数f(x)=ln x-x2+1. (1)证明：f(x)<x； (2)若方程f(x)=a有两个不相等的实根x1，x2，证明：|x2-x1|<1-2a. 证明　(1)设g(x)=f(x)-x， 则g(x)=ln x-x2+1-x， g'(x)=-2x-1=-， 所以g'(x)>0⇔0<x<，g'(x)<0⇔x>， 故g(x)在上单调递增，在上单调递减， 从而g(x)max=g=ln-+1-=-ln 2<0， 所以g(x)<0，故f(x)<x. (2)设h(x)=f(x)+x-1， 则h(x)=ln x-x2+x， 所以h'(x)=-2x+1=-， 从而h'(x)>0⇔0<x<1，h'(x)<0⇔x>1， 故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以h(x)max=h(1)=0， 故h(x)≤0恒成立，从而f(x)≤-x+1， 因为方程f(x)=a有两个不相等的实根x1，x2， 不妨设x1<x2， 则f(x1)=f(x2)=a， 所以a=f(x1)<x1，故-x1<-a，a=f(x2)≤-x2+1， 所以x2≤1-a， 故|x2-x1|=x2-x1<1-a-a=1-2a. 课时精练　 ［分值：34分］ 1.(17分)已知函数f(x)=(x-1)ln(x+1)，曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程为y=kx+b. (1)求k，b的值；(4分) (2)证明：f(x)≥kx+b；(5分) (3)若函数g(x)=f(x)+m(m∈R)有两个零点x1，x2，证明：|x1-x2|≤1-m-.(8分) (1)解　函数f(x)的定义域为(-1，+∞)， f'(x)=ln(x+1)+，f'(1)=ln 2. 所以f(x)在点(1，0)处的切线方程为y=ln 2·(x-1)， 即y=ln 2·x-ln 2， 故k=ln 2，b=-ln 2. (2)证明　设h(x)=f(x)-kx-b =(x-1)ln(x+1)-xln 2+ln 2，x∈(-1，+∞)， 则h'(x)=ln(x+1)-+1-ln 2. 令F(x)=h'(x)=ln(x+1)-+1-ln 2，x∈(-1，+∞)， 则F'(x)=+>0， 所以F(x)为增函数，即h'(x)为增函数. 又h'(1)=ln 2-1+1-ln 2=0， 所以当x∈(-1，1)时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增， 所以h(x)min=h(1)=0，即h(x)≥0， 所以f(x)≥xln 2-ln 2. (3)证明　g(x)=f(x)+m(m∈R)的两个零点x1，x2，即为关于x的方程f(x)=-m的两个根，不妨设x1<x2， 由题知，曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程为y=xln 2-ln 2， 令φ(x)=xln 2-ln 2， 设关于x的方程φ(x)=-m的根为x'2， 则x'2=1-. 由(2)知，f(x2)≥φ(x2)， 所以φ(x'2)=f(x2)≥φ(x2)， 因为φ(x)为增函数，所以x'2≥x2. 设曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为y=t(x)， 因为f'(0)=-1，所以t(x)=-x， 设关于x的方程t(x)=-m的根为x'1， 则x'1=m. 令T(x)=f(x)-t(x)， 同(2)证明可得T(x)≥0，即f(x)≥t(x)， f(x1)≥t(x1)， 所以t(x'1)=f(x1)≥t(x1)， 又t(x)为减函数，所以x'1≤x1. 所以|x2-x1|=x2-x1≤x'2-x'1=1-m-. 2.(17分)已知函数f(x)=(x-1)(ex-1). (1)证明：f(x)存在唯一的极小值点x0；(7分) (2)若关于x的方程f(x)=a(a<0)有两个不相等的实根x1，x2，证明：+1<x1+x2<2x0.(10分) 证明　(1)由题意，f'(x)=ex-1+(x-1)ex=xex-1，f″(x)=(x+1)ex， 所以f″(x)>0⇔x>-1，f″(x)<0⇔x<-1， 从而f'(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增， 因为f'(0)=-1<0，f'(1)=e-1>0， 所以f'(x)在(-1，+∞)上有1个零点， 而当x≤-1时，显然f'(x)<0， 所以f'(x)在(-∞，-1］上没有零点， 故f'(x)有且仅有1个零点， 设为x0，当x<x0时，f'(x)<0， 当x>x0时，f'(x)>0， 所以f(x)在(-∞，x0)上单调递减， 在(x0，+∞)上单调递增， 从而f(x)存在唯一的极小值点x0. (2)设g(x)=f(x)+x， 则g(x)=(x-1)ex+1， 所以g'(x)=xex， 从而g'(x)>0⇔x>0，g'(x)<0⇔x<0， 故g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(0)=0， 从而g(x)≥0恒成立，当且仅当x=0时取等号， 故当x>0时，g(x)>0，即f(x)+x>0， 所以f(x)>-x. ① f(x)过(x0，f(x0))，(1，0)两点的割线方程为y=(x-1)=(-1)(x-1)， 令h(x)=f(x)-(-1)(x-1)， 则h'(x)=f'(x)-+1=xex-， 当x∈(x0，1)时，h″(x)=(x+1)ex>0， 所以h'(x)在(x0，1)上单调递增， 又h'(x0)=x0-=(x0-1)<0， h'(1)=e->0， 所以h'(x)在(x0，1)上有1个零点，记作α， 当x0<x<α时，h'(x)<0； 当α<x<1时，h'(x)>0， 故h(x)在(x0，α)上单调递减，在(α，1)上单调递增， 又h(x0)=h(1)=0，所以h(x)<0在(x0，1)上恒成立， 即f(x)-(-1)(x-1)<0恒成立， 故f(x)<(-1)(x-1)， ② 因为方程f(x)=a有2个实根x1，x2， 显然f(0)=f(1)=0， 所以f(x)<0⇔0<x<1， 不妨设x1<x2， 因为a<0，所以必有0<x1<x0<x2<1，且f(x1)=f(x2)=a， 由f(x1)=a和不等式①可得a=f(x1)>-x1， 所以x1>-a； 由f(x2)=a和不等式②可得 a=f(x2)<(-1)(x2-1)， 所以x2>+1， 从而x1+x2>-a++1， 由f'(x0)=x0-1=0可得=， 故x1+x2>-a++1=+1. 另一方面，要证x1+x2<2x0， 只需证x2<2x0-x1， 因为0<x1<x0<x2<1， 所以2x0-x1>x0， 结合f(x)在(x0，+∞)上单调递增知， 要证x2<2x0-x1， 只需证f(x2)<f(2x0-x1)， 又f(x1)=f(x2)， 所以只需证f(x1)<f(2x0-x1)， 即证f(x1)-f(2x0-x1)<0， 设φ(x)=f(x)-f(2x0-x)(0<x<x0)， 则φ'(x)=f'(x)+f'(2x0-x) =xex+(2x0-x)-2， φ″(x)=(x+1)ex--(2x0-x) =(x+1)ex-(2x0+1-x)， 因为当0<x<x0时， 易证0<x+1<2x0+1-x，0<ex<， 从而(x+1)ex<(2x0+1-x)， 所以φ″(x)<0，故φ'(x)在(0，x0)上单调递减， 又φ'(x0)=2x0-2=0， 所以φ'(x)>0在(0，x0)上恒成立，故φ(x)在(0，x0)上单调递增， 显然φ(x0)=0，所以φ(x)<0在(0，x0)上恒成立， 从而中φ(x1)=f(x1)-f(2x0-x1)<0， 故x1+x2<2x0成立， 综上所述，+1<x1+x2<2x0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 切割线放缩 双变量导数中的剪刀模型起源于2015年天津卷，在2021年新高考Ⅰ卷中名满天下！该模型的实质是凹凸函数切割线放缩(牛顿切线法)，值得注意的是，该方法出现在人教版新教材选择性必修第二册82页阅读材料中. 1.函数的凹凸性 (1)下凸函数(凹函数)：如图1，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的上方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的下方，我们称f(x)为下凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≥0的函数f(x)为下凸函数. (2)上凸函数(凸函数)：如图2，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的下方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的上方，我们称f(x)为上凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≤0的函数f(x)为上凸函数. 2.切线、割线不等式 (1)对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)<(x-x1)+f(x1). (2)对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≤f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)>(x-x1)+f(x1). 3.剪刀模型 已知函数f(x)为定义域上的下凸函数(或上凸函数)，且图象与y=m交于A，B两点，其横坐标为x1，x2，我们可以利用下凸函数(或上凸函数)的切线与y=m的交点将x1，x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理. 如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出交点横坐标的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计. 切割线放缩主要应用在交点横坐标和、交点横坐标差问题中，切割线放缩体现了函数中的化曲为直的思想. 例1　已知函数f(x)=xln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)若x1<x2，且f(x1)=f(x2)=a，a∈R，证明：ae+1<x2-x1<a+1. (1)解　由题意，f'(x)=1+ln x(x>0)， 令f'(x)>0，则x>e-1， 令f'(x)<0，则0<x<e-1， 从而f(x)的单调递减区间是(0，e-1)，单调递增区间是(e-1，+∞). (2)证明　当0<x<1时，f(x)<0，f(1)=0， 当x>1时，f(x)>0， 因为x1<x2且f(x1)=f(x2)， 结合f(x)在(0，e-1)上单调递减，在(e-1，+∞)上单调递增， 可得0<x1<e-1<x2<1，如图. 设g(x)=f(x)+x(0<x<e-1)， 则g(x)=x(1+ln x)<0， 所以f(x)<-x(0<x<e-1)， 从而f(x1)<-x1， 又f(x1)=a，所以a<-x1，故-x1>a. ① 设h(x)=f(x)-(x-1)(e-1<x<1)， 则h'(x)=1+ln x-=ln x+， 令h'(x)>0，则<x<1， 令h'(x)<0，则e-1<x<， 从而h(x)在上单调递减，在上单调递增，又h(e-1)=h(1)=0， 所以h(x)<0在(e-1，1)上恒成立， 故h(x2)=f(x2)-(x2-1)<0， 所以f(x2)<(x2-1)， 又f(x2)=a，所以a<(x2-1)， 故x2>1+a(e-1)， ② 将①②两式相加可得x2-x1>ae+1. 设u(x)=f(x)-(x-1)(0<x<1)， 则u'(x)=ln x<0，所以u(x)在(0，1)上单调递减， 又u(1)=0，所以u(x)>0在(0，1)上恒成立，从而f(x)>x-1在(0，1)上恒成立， 所以f(x2)>x2-1， 又f(x2)=a，所以a>x2-1，故x2<a+1， 又x1>0，所以x2-x1<x2<a+1， 综上所述，ae+1<x2-x1<a+1. 例2　已知函数f(x)=(x-1)(ex-1). (1)求函数f(x)在x=1处的切线方程； (2)若方程f(x)=a有两个不同的实根x1，x2，证明：|x1-x2|≤+1. (1)解　由题意，f'(x)=ex-1+(x-1)ex=xex-1， 所以f'(1)=e-1， 又f(1)=0，所以f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-1)(x-1). (2)证明　设g(x)=f(x)+x， 则g'(x)=f'(x)+1=xex， 所以g'(x)>0⇔x>0，g'(x)<0⇔x<0， 从而g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 故g(x)≥g(0)=f(0)=0， 所以f(x)≥-x， ① 设h(x)=f(x)-(e-1)(x-1)(x∈R)， 则h'(x)=f'(x)-(e-1)=xex-e， 所以h'(x)>0⇔x>1，h'(x)<0⇔x<1， 从而h(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 故h(x)≥h(1)=0， 所以f(x)≥(e-1)(x-1). ② 由题意，方程f(x)=a有两个不同的实根x1，x2， 所以f(x1)=f(x2)=a. 不妨设x1<x2， 由f(x1)=a和不等式①可得a=f(x1)≥-x1， 所以x1≥-a； 由f(x2)=a和不等式②可得 a=f(x2)≥(e-1)(x2-1)， 所以x2≤+1， 从而|x1-x2|=x2-x1≤+1+a=+1. 思维升华　(1)割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当地进行割线放缩.(2)割线夹本质与切线夹类似. 跟踪训练　已知函数f(x)=ln x-x2+1. (1)证明：f(x)<x； (2)若方程f(x)=a有两个不相等的实根x1，x2，证明：|x2-x1|<1-2a. 课时精练　 ［分值：34分］ 1.(17分)已知函数f(x)=(x-1)ln(x+1)，曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程为y=kx+b. (1)求k，b的值；(4分) (2)证明：f(x)≥kx+b；(5分) (3)若函数g(x)=f(x)+m(m∈R)有两个零点x1，x2，证明：|x1-x2|≤1-m-.(8分) 2.(17分)已知函数f(x)=(x-1)(ex-1). (1)证明：f(x)存在唯一的极小值点x0；(7分) (2)若关于x的方程f(x)=a(a<0)有两个不相等的实根x1，x2，证明：+1<x1+x2<2x0.(10分) 学科网（北京）股份有限公司 $$切割线放缩 双变量导数中的剪刀模型起源于 2015年天津卷，在 2021年新高考Ⅰ卷中名满天下！该模型的实质是凹凸 函数切割线放缩(牛顿切线法)，值得注意的是，该方法出现在人教版新教材选择性必修第二册 82页阅读材 料中. 1.函数的凹凸性 (1)下凸函数(凹函数)：如图 1，对于连续函数 f(x)，若在其图象上任取两点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端 点外，线段 AB始终在函数 f(x)图象的上方，或在 f(x)的图象上任取点 C(x0，f(x0))，函数 f(x)在点 C处的切 线 y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在 f(x)图象的下方，我们称 f(x)为下凸函数.若 f(x)存在二阶导数 f″(x)， 则满足 f″(x)≥0的函数 f(x)为下凸函数. (2)上凸函数(凸函数)：如图 2，对于连续函数 f(x)，若在其图象上任取两点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端 点外，线段 AB始终在函数 f(x)图象的下方，或在 f(x)的图象上任取点 C(x0，f(x0))，函数 f(x)在点 C处的切 线 y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在 f(x)图象的上方，我们称 f(x)为上凸函数.若 f(x)存在二阶导数 f″(x)， 则满足 f″(x)≤0的函数 f(x)为上凸函数. 2.切线、割线不等式 (1)对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当 x∈(x1，x2)时，f(x)< �(�1)−�(�2) �1−�2 (x- x1)+f(x1). (2)对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≤f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当 x∈(x1，x2)时，f(x)> �(�1)−�(�2) �1−�2 (x- x1)+f(x1). 3.剪刀模型 已知函数 f(x)为定义域上的下凸函数(或上凸函数)，且图象与 y=m交于 A，B两点，其横坐标为 x1，x2，我 们可以利用下凸函数(或上凸函数)的切线与 y=m的交点将 x1，x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本 原理. 如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出交点横坐标的一个上下界，而切割 线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计. 切割线放缩主要应用在交点横坐标和、交点横坐标差问题中，切割线放缩体现了函数中的化曲为直的思想. 例 1 已知函数 f(x)=xln x. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 x1<x2，且 f(x1)=f(x2)=a，a∈R，证明：ae+1<x2-x1<a+1. (1)解 由题意，f'(x)=1+ln x(x>0)， 令 f'(x)>0，则 x>e-1， 令 f'(x)<0，则 0<x<e-1， 从而 f(x)的单调递减区间是(0，e-1)，单调递增区间是(e-1，+∞). (2)证明 当 0<x<1时，f(x)<0，f(1)=0， 当 x>1时，f(x)>0， 因为 x1<x2且 f(x1)=f(x2)， 结合 f(x)在(0，e-1)上单调递减，在(e-1，+∞)上单调递增， 可得 0<x1<e-1<x2<1，如图. 设 g(x)=f(x)+x(0<x<e-1)， 则 g(x)=x(1+ln x)<0， 所以 f(x)<-x(0<x<e-1)， 从而 f(x1)<-x1， 又 f(x1)=a，所以 a<-x1，故-x1>a. ① 设 h(x)=f(x)- 1 e−1 (x-1)(e-1<x<1)， 则 h'(x)=1+ln x- 1 e−1 =ln x+e−2 e−1 ， 令 h'(x)>0，则e− e−2 e−1<x<1， 令 h'(x)<0，则 e-1<x<e− e−2 e−1， 从而 h(x)在 e−1，e− e−2 e−1 上单调递减，在 e− e−2 e−1，1 上单调递增，又 h(e-1)=h(1)=0， 所以 h(x)<0在(e-1，1)上恒成立， 故 h(x2)=f(x2)- 1 e−1 (x2-1)<0， 所以 f(x2)< 1 e−1 (x2-1)， 又 f(x2)=a，所以 a< 1 e−1 (x2-1)， 故 x2>1+a(e-1)， ② 将①②两式相加可得 x2-x1>ae+1. 设 u(x)=f(x)-(x-1)(0<x<1)， 则 u'(x)=ln x<0，所以 u(x)在(0，1)上单调递减， 又 u(1)=0，所以 u(x)>0在(0，1)上恒成立，从而 f(x)>x-1在(0，1)上恒成立， 所以 f(x2)>x2-1， 又 f(x2)=a，所以 a>x2-1，故 x2<a+1， 又 x1>0，所以 x2-x1<x2<a+1， 综上所述，ae+1<x2-x1<a+1. 例 2 已知函数 f(x)=(x-1)(ex-1). (1)求函数 f(x)在 x=1处的切线方程； (2)若方程 f(x)=a有两个不同的实根 x1，x2，证明：|x1-x2|≤ e�e−1+1. (1)解 由题意，f'(x)=ex-1+(x-1)ex=xex-1， 所以 f'(1)=e-1， 又 f(1)=0，所以 f(x)在 x=1处的切线方程为 y=(e-1)(x-1). (2)证明 设 g(x)=f(x)+x， 则 g'(x)=f'(x)+1=xex， 所以 g'(x)>0⇔x>0，g'(x)<0⇔x<0， 从而 g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 故 g(x)≥g(0)=f(0)=0， 所以 f(x)≥-x， ① 设 h(x)=f(x)-(e-1)(x-1)(x∈R)， 则 h'(x)=f'(x)-(e-1)=xex-e， 所以 h'(x)>0⇔x>1，h'(x)<0⇔x<1， 从而 h(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 故 h(x)≥h(1)=0， 所以 f(x)≥(e-1)(x-1). ② 由题意，方程 f(x)=a有两个不同的实根 x1，x2， 所以 f(x1)=f(x2)=a. 不妨设 x1<x2， 由 f(x1)=a和不等式①可得 a=f(x1)≥-x1， 所以 x1≥-a； 由 f(x2)=a和不等式②可得 a=f(x2)≥(e-1)(x2-1)， 所以 x2≤ � e−1 +1， 从而|x1-x2|=x2-x1≤ � e−1 +1+a= e� e−1 +1. 思维升华 (1)割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当地进行割线 放缩.(2)割线夹本质与切线夹类似. 跟踪训练 已知函数 f(x)=ln x-x2+1. (1)证明：f(x)<x； (2)若方程 f(x)=a有两个不相等的实根 x1，x2，证明：|x2-x1|<1-2a. 证明 (1)设 g(x)=f(x)-x， 则 g(x)=ln x-x2+1-x， g'(x)=1 � -2x-1=-(2�−1)(�+1) � ， 所以 g'(x)>0⇔0<x<1 2 ，g'(x)<0⇔x>1 2 ， 故 g(x)在 0， 1 2 上单调递增，在 1 2 ，+∞ 上单调递减， 从而 g(x)max=g 1 2 =ln1 2 - 1 2 2 +1-1 2 =1 4 -ln 2<0， 所以 g(x)<0，故 f(x)<x. (2)设 h(x)=f(x)+x-1， 则 h(x)=ln x-x2+x， 所以 h'(x)=1 � -2x+1=-(2�+1)(�−1) � ， 从而 h'(x)>0⇔0<x<1，h'(x)<0⇔x>1， 故 h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以 h(x)max=h(1)=0， 故 h(x)≤0恒成立，从而 f(x)≤-x+1， 因为方程 f(x)=a有两个不相等的实根 x1，x2， 不妨设 x1<x2， 则 f(x1)=f(x2)=a， 所以 a=f(x1)<x1，故-x1<-a，a=f(x2)≤-x2+1， 所以 x2≤1-a， 故|x2-x1|=x2-x1<1-a-a=1-2a. 课时精练 ［分值：34分］ 1.(17分)已知函数 f(x)=(x-1)ln(x+1)，曲线 y=f(x)在点(1，0)处的切线方程为 y=kx+b. (1)求 k，b的值；(4分) (2)证明：f(x)≥kx+b；(5分) (3)若函数 g(x)=f(x)+m(m∈R)有两个零点 x1，x2，证明：|x1-x2|≤1-m- � ln2 .(8分) (1)解 函数 f(x)的定义域为(-1，+∞)， f'(x)=ln(x+1)+�−1 �+1 ，f'(1)=ln 2. 所以 f(x)在点(1，0)处的切线方程为 y=ln 2·(x-1)， 即 y=ln 2·x-ln 2， 故 k=ln 2，b=-ln 2. (2)证明 设 h(x)=f(x)-kx-b =(x-1)ln(x+1)-xln 2+ln 2，x∈(-1，+∞)， 则 h'(x)=ln(x+1)- 2 �+1 +1-ln 2. 令 F(x)=h'(x)=ln(x+1)- 2 �+1 +1-ln 2，x∈(-1，+∞)， 则 F'(x)= 1 �+1 + 2 (�+1)2 >0， 所以 F(x)为增函数，即 h'(x)为增函数. 又 h'(1)=ln 2-1+1-ln 2=0， 所以当 x∈(-1，1)时，h'(x)<0，函数 h(x)单调递减； 当 x∈(1，+∞)时，h'(x)>0，函数 h(x)单调递增， 所以 h(x)min=h(1)=0，即 h(x)≥0， 所以 f(x)≥xln 2-ln 2. (3)证明 g(x)=f(x)+m(m∈R)的两个零点 x1，x2，即为关于 x的方程 f(x)=-m的两个根，不妨设 x1<x2， 由题知，曲线 y=f(x)在点(1，0)处的切线方程为 y=xln 2-ln 2， 令φ(x)=xln 2-ln 2， 设关于 x的方程φ(x)=-m的根为 x'2， 则 x'2=1- � ln2 . 由(2)知，f(x2)≥φ(x2)， 所以φ(x'2)=f(x2)≥φ(x2)， 因为φ(x)为增函数，所以 x'2≥x2. 设曲线 y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y=t(x)， 因为 f'(0)=-1，所以 t(x)=-x， 设关于 x的方程 t(x)=-m的根为 x'1， 则 x'1=m. 令 T(x)=f(x)-t(x)， 同(2)证明可得 T(x)≥0，即 f(x)≥t(x)， f(x1)≥t(x1)， 所以 t(x'1)=f(x1)≥t(x1)， 又 t(x)为减函数，所以 x'1≤x1. 所以|x2-x1|=x2-x1≤x'2-x'1=1-m- � ln2 . 2.(17分)已知函数 f(x)=(x-1)(ex-1). (1)证明：f(x)存在唯一的极小值点 x0；(7分) (2)若关于 x的方程 f(x)=a(a<0)有两个不相等的实根 x1，x2，证明： �(2�0−1) 1−�0 +1<x1+x2<2x0.(10分) 证明 (1)由题意，f'(x)=ex-1+(x-1)ex=xex-1，f″(x)=(x+1)ex， 所以 f″(x)>0⇔x>-1，f″(x)<0⇔x<-1， 从而 f'(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增， 因为 f'(0)=-1<0，f'(1)=e-1>0， 所以 f'(x)在(-1，+∞)上有 1个零点， 而当 x≤-1 时，显然 f'(x)<0， 所以 f'(x)在(-∞，-1］上没有零点， 故 f'(x)有且仅有 1个零点， 设为 x0，当 x<x0时，f'(x)<0， 当 x>x0时，f'(x)>0， 所以 f(x)在(-∞，x0)上单调递减， 在(x0，+∞)上单调递增， 从而 f(x)存在唯一的极小值点 x0. (2)设 g(x)=f(x)+x， 则 g(x)=(x-1)ex+1， 所以 g'(x)=xex， 从而 g'(x)>0⇔x>0，g'(x)<0⇔x<0， 故 g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以 g(x)min=g(0)=0， 从而 g(x)≥0恒成立，当且仅当 x=0时取等号， 故当 x>0时，g(x)>0，即 f(x)+x>0， 所以 f(x)>-x. ① f(x)过(x0，f(x0))，(1，0)两点的割线方程为 y= �(�0) �0−1 (x-1)=(e�0-1)(x-1)， 令 h(x)=f(x)-(e�0-1)(x-1)， 则 h'(x)=f'(x)-e�0+1=xex-e�0， 当 x∈(x0，1)时，h″(x)=(x+1)ex>0， 所以 h'(x)在(x0，1)上单调递增， 又 h'(x0)=x0e�0-e�0=(x0-1)e�0<0， h'(1)=e-e�0>0， 所以 h'(x)在(x0，1)上有 1 个零点，记作α， 当 x0<x<α时，h'(x)<0； 当α<x<1时，h'(x)>0， 故 h(x)在(x0，α)上单调递减，在(α，1)上单调递增， 又 h(x0)=h(1)=0，所以 h(x)<0在(x0，1)上恒成立， 即 f(x)-(e�0-1)(x-1)<0恒成立， 故 f(x)<(e�0-1)(x-1)， ② 因为方程 f(x)=a有 2个实根 x1，x2， 显然 f(0)=f(1)=0， 所以 f(x)<0⇔0<x<1， 不妨设 x1<x2， 因为 a<0，所以必有 0<x1<x0<x2<1，且 f(x1)=f(x2)=a， 由 f(x1)=a和不等式①可得 a=f(x1)>-x1， 所以 x1>-a； 由 f(x2)=a和不等式②可得 a=f(x2)<(e�0-1)(x2-1)， 所以 x2> � e�0−1 +1， 从而 x1+x2>-a+ � e�0−1 +1， 由 f'(x0)=x0e�0-1=0可得e�0= 1�0， 故 x1+x2>-a+ �1 �0 −1 +1=�(2�0−1) 1−�0 +1. 另一方面，要证 x1+x2<2x0， 只需证 x2<2x0-x1， 因为 0<x1<x0<x2<1， 所以 2x0-x1>x0， 结合 f(x)在(x0，+∞)上单调递增知， 要证 x2<2x0-x1， 只需证 f(x2)<f(2x0-x1)， 又 f(x1)=f(x2)， 所以只需证 f(x1)<f(2x0-x1)， 即证 f(x1)-f(2x0-x1)<0， 设φ(x)=f(x)-f(2x0-x)(0<x<x0)， 则φ'(x)=f'(x)+f'(2x0-x) =xex+(2x0-x)e2�0−�-2， φ″(x)=(x+1)ex-e2�0−�-(2x0-x)e2�0−� =(x+1)ex-(2x0+1-x)e2�0−�， 因为当 0<x<x0时， 易证 0<x+1<2x0+1-x，0<ex<e2�0−�， 从而(x+1)ex<(2x0+1-x)e2�0−�， 所以φ″(x)<0，故φ'(x)在(0，x0)上单调递减， 又φ'(x0)=2x0e�0-2=0， 所以φ'(x)>0在(0，x0)上恒成立，故φ(x)在(0，x0)上单调递增， 显然φ(x0)=0，所以φ(x)<0在(0，x0)上恒成立， 从而中φ(x1)=f(x1)-f(2x0-x1)<0， 故 x1+x2<2x0成立， 综上所述，�(2�0−1) 1−�0 +1<x1+x2<2x0.