精品解析：广东省江门市鹤山市第一中学2025-2026学年高二上学期第一阶段考试数学试题

鹤山一中2025-2026学年度第一学期第一阶段考试 高二数学试卷 2025.10 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（ ） A. 26，54 B. 26，56 C. 24，54 D. 24，56 4. 已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. A与B相互对立 D. 若，则 5. 已知直线与圆相交于两点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 抛掷一枚质地均匀骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则（ ） A. 事件1与事件3互斥 B. 事件1与事件2互为对立事件 C. 事件2与事件3互斥 D. 事件3与事件4互为对立事件 7. 已知向量，，且与夹角余弦值为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C. 方程能表示平行轴的直线 D. 直线的斜率越大，倾斜角越大 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若共线，则 D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 11. 在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则（ ） A. 若，则平面 B. 点到直线的距离为 C. 若，则 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三､填空题（共3小题，每少题5分，英15分.） 12. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为__________. 13. 在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________. 14. 已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 16. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； （2）按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ （3）在（2）条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 17. 已知点是直线与直线的交点. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； （3）若点在圆的外部，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 19. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. （1）决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2025-2026学年度第一学期第一阶段考试 高二数学试卷 2025.10 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小. 【详解】因直线方程为，所以斜率， 设倾斜角为，所以，所以， 故选：C. 2. 点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故选：D. 3. 已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（ ） A. 26，54 B. 26，56 C. 24，54 D. 24，56 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质求解． 【详解】由题意数据的平均数为，方差为， 根据平均数和方差性质可得 数据的平均数为，方差为， 故选：A 4. 已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. A与B相互对立 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件 “出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确． 5. 已知直线与圆相交于两点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得，再由直线与圆的弦长公式即可求解. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得． 因为，所以， 解得． 故选：B. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则（ ） A. 事件1与事件3互斥 B. 事件1与事件2互为对立事件 C. 事件2与事件3互斥 D. 事件3与事件4互为对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断各个选项即可. 【详解】事件1可表示为：，事件2可表示为：， 事件3可表示为：，事件4可表示为：， 因，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，不为必然事件，B错误； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，为必然事件，所以事件3与事件4互为对立事件，D正确. 故选:D. 7. 已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题中条件，由向量夹角的坐标表示，列出等量关系求解，即可得出结果. 【详解】因为向量，，与夹角的余弦值为， 所以， 整理得(其中)，解得（负值舍去）. 故选：A. 8. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C. 方程能表示平行轴的直线 D. 直线的斜率越大，倾斜角越大 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用直线方程的性质判断A、C，由倾斜角与斜率的概念以及关系可判断B、D. 【详解】对于A，直线经过第一、二、四象限，则，，故在第二象限， 故A正确； 对于B，由倾斜角的定义可知任何一条直线都有倾斜角，当倾斜角为时，斜率不存在， 故B错误； 对于C，当时，方程为，表示平行y轴的直线，所以C正确； 对于D，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大； 在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大； 在时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大； 故D错误； 故选：AC. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若共线，则 D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，不存在，B错误； 对于C，共线，可以在同一条直线上，C错误； 对于D，当时，四点不共面，D错误. 故选：BCD 11. 在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则（ ） A. 若，则平面 B. 点到直线的距离为 C. 若，则 D. 直线与平面所成角正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q作出图形，确定平面，及点G的轨迹．对于A，由条件得点G为棱的中点P，根据线面平行的性质判定即可；对于B，由，可得点G到的距离即为与间的距离，求解即可判断；对于C，连，与的交点即为点G，求解即可得出；对于D，设面，根据对称性可知，为的中点，由已知得为直线与平面所成的角，即可求解判断. 【详解】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q， ∵点E，F分别为棱，的中点，∴， ∵，∴， ∵平面，平面，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴，同理， ∵平面，∴平面， 根据条件平面，可得平面即为平面， 于是点G的轨迹即为线段 对于A，若，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为棱的中点P， 连，∵，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，∵点F，Q分别为棱，的中点，∴， ∴正六边形的边长为， 设正六边形的中心， 则均是边长为的正三角形， ∵, ∴，即与间的距离， 因为，所以点G到的距离即为与间的距离， 所以点G到的距离为，所以 B错误； 对于C，连，交点为， ∵，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为与的交点， ∵分别为的中点，则， 此时，于是满足，所以C正确； 对于D，设平面，根据对称性可知，为的中点， ∴， ∵平面，∴为直线与平面所成的角， 又， ∴， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确， 故选：ACD. 三､填空题（共3小题，每少题5分，英15分.） 12. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为__________. 【答案】16.5 【解析】 【分析】根据平均数的求法，可得x值，根据百分位数的求法，即可得答案. 【详解】由题意平均数：，解得， 则这组数按从小到大排列为：12,15,16,17,20，共5个， 则， 所以第60百分位数为. 故答案为：16.5 13. 在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可. 【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为， 又，所以，解得，所以点P的坐标为. 故答案为：. 14. 已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆的性质可得四边形的周长为，根据切线长的求法及点到直线距离公式，分析计算，可得的最小值，即可得答案. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 因为为直角三角形， 所以， 又为直线上一点与圆心C之间的距离， 所以的最小值为点到直线的距离，且为， 所以的最小值为， 则四边形的周长的最小值为. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，结合向量的运算法则，即可容易表示目标向量； （2）用基向量表示，再用数量积的运算法则求解即可； （3）根据（2）中所求，结合向量夹角余弦值的计算公式，代值即可. 【详解】（1）连接，如图： 因为，， 在，根据向量减法法则可得： 因为底面是平行四边形 故 因为 且 又为线段中点 在中 （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 故 由（1）可知 故平行四边形中 故： 故 （3）因为， 又 【点睛】本题考查用基向量表示空间向量，涉及空间向量数量积的运算、模长的求解以及夹角的求解，属综合基础题. 16. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； （2）按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ （3）在（2）条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1，列出方程，求得，再由平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，结合百分位数的计算方法，即可求解； （3）根据题意，得到成绩在的学生有2人，在的学生有4人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1， 可得，解得， 竞赛的平均成绩：. 【小问2详解】 解：由频率分别直方图的数据，可得： 成绩在内的频率为：， 成绩在内的频率为：， 所以成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，设为， 可得分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要分. 【小问3详解】 由题意得，样本中宣传队学生的人生为， 其中成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 从样本中按分层抽样的方法抽取6人，则成绩在的学生有2人，记为， 在的学生有4人，记为， 从中选2人担任正副队长的样本空间为： ,， 记事件“正副队长中至少有1名学生成绩在”，则： ， 由古典摡型的概率计算公式，可得. 17. 已知点是直线与直线的交点. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； （3）若点在圆的外部，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）联立，求得交点P的坐标，设与直线平行的直线为，代入P点坐标，求出m值，即可得答案. （2）当截距为0时，设直线方程为，代入点P坐标，求出k值，可得直线方程，当截距不为0时，设直线方程为，点P坐标，求出a值，可得直线方程，综合即可得答案. （3）根据点P在圆外部，代入圆的方程，可求出t的范围，根据方程表示圆，可得t的范围，综合即可得答案. 【小问1详解】 联立方程组，解得，所以交点P的坐标为 设与直线平行的直线为， 代入点的坐标得：，解得， 所以过点且与直线平行的直线的方程为. 【小问2详解】 若直线在两坐标轴上截距为0，即直线经过原点时，设直线方程为， 代入得，解得， 所以直线方程为，即； 若直线截距不为0时，设直线方程为， 将点代入，得，此时直线方程为， 所以过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 【小问3详解】 因为点在圆C的外部， 所以，解得 又方程表示圆， 所以，解得 故实数的取值范围为：. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）,（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值． 【小问1详解】 取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 ，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 19. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. （1）决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲 【解析】 【分析】（1）（i）计算第一局乙获胜的概率和第二局乙获胜的概率，相乘即可得结果. （ii）考虑比赛结束时乙获胜的所有情况，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得结果. （2）计算第一局乙对丙最终乙获胜的概率和第一局乙对甲最终乙获胜的概率，结合条件作差比较大小即可得到结果. 【小问1详解】 （i）. （ii） ， 【小问2详解】 设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故； 同理可得； ， 由于，故， 所以，故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $