精品解析：江西省抚州市临川区临川六中、临川区第五实验2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

临川六中、临川区第五实验学校 2025—2026学年度上学期八年级数学第一次集中训练 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，所对的边分别是，则满足下列条件的三角形中不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 4. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 5. 如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（ ） A. 170cm B. 70cm C. 145cm D. 130cm 6. 如图,Rt△MBC中,∠MCB=90°,点M在数轴﹣1处,点C在数轴1处,MA=MB,BC=1,则数轴上点A对应的数是（ ） A. +1 B. ﹣+1 C. ﹣﹣l D. ﹣1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 的相反数是________． 8. 的立方根是______． 9. 若，都是实数，且，则的值为______． 10. 如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____________． 11. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2，在 AC 上截取 CD＝CB．在 AB 上截 取 AP＝AD，则 AP＝_____． 12. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为______． 三、计算题：本大题共5小题，共30分． 13. （1）计算：． （2）解方程：． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 已知，． （1）已知x的算术平方根为3，求a的值； （2）如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等） 17. 我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求这块空地的面积． 四、解答题：本题共3小题，共24分． 18. 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． （1）①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形． （2）若是奇异三角形，，求的长． 19. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 20. 八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． （1）求风筝的高度． （2）若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 五、解答题：本题共2小题，共18分． 21. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的相反数． 22. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 六、解答题：本题共1小题，共12分． 23. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： （2）如图2，在中，，，，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，，，试猜想，，之间存在的等量关系，直接写出结论 ． （3）如图3，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论 是否成立？请说明理由． （4）如图4，在中，，三边分别为，，，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川六中、临川区第五实验学校 2025—2026学年度上学期八年级数学第一次集中训练 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根与立方根；根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：选项A： 是分数，属于有理数． 选项B：， 无法表示为整数或分数（5不是完全平方数），因此是无理数，负号不影响其性质． 选项C：，因 ，故 ，是整数，属于有理数． 选项D： 是有限小数，属于有理数． 综上，只有选项B是无理数． 故选：B． 2. 在中，所对的边分别是，则满足下列条件的三角形中不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形．分别判定即可． 【详解】解：A选项：由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B选项：由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C选项：由三角形三个角度和为180°，因为，又，即，所以是直角三角形； D选项：设三个角的度数分别为，，，即，解得：，三个角分别为，，，因而不是直角三角形． 故选D． 3. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】由4==5，即可确定的范围． 【详解】∵4==5， ∴， 故选：C. 【点睛】考点：本题主要考查了无理数的估算，解答本题的关键是熟练掌握“夹逼法”，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 4. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 5. 如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（ ） A. 170cm B. 70cm C. 145cm D. 130cm 【答案】D 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开可得到长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm的矩形，根据勾股定理即可求出AB的长，即为所求． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，连接AB，根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为AB的长度， 由题意，矩形的长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm， 根据勾股定理得：AB＝＝130（cm）， 故选：D． 【点睛】本题考查圆柱的展开图、最短路径问题、勾股定理，理解题意，熟练运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键． 6. 如图,Rt△MBC中,∠MCB=90°,点M在数轴﹣1处,点C在数轴1处,MA=MB,BC=1,则数轴上点A对应的数是（ ） A. +1 B. ﹣+1 C. ﹣﹣l D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】通过勾股定理求出线段MB，而线段MA=MB，进而知道点A对应的数，减去1即可得出答案． 【详解】解：在Rt△MBC中，∠MCB=90°， ∴MB=， ∴MB=， ∵MA=MB， ∴MA=， ∵点M在数轴-1处， ∴数轴上点A对应的数是-1． 故选D． 【点睛】题目考察了实数与数轴，通过勾股定理，在数轴寻找无理数．题目整体较为简单，与课本例题类似，适合随堂训练． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 的相反数是________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查实数和相反数的定义，理解定义是解题关键． 直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，即可得出答案． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 8. 的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键，注意：a（）的算术平方根是，a的立方根是. 先求出，再求出2的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为． 9. 若，都是实数，且，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得：，，从而得出代入式子求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得：， ， 故答案为：． 10. 如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键． 11. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2，在 AC 上截取 CD＝CB．在 AB 上截 取 AP＝AD，则 AP＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC 中利用勾股定理可求出AC的长，再由已知条件可知DC=BC＝1，即可得出答案． 【详解】解：∵在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2 ∴ ∵DC=BC＝1 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解此题的关键． 12. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为______． 【答案】5或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识．当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【详解】解：在中，， ； ①当时，如图1，； ②当时，如图2，，； ③当时，如图3，，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 故答案为：5或或． 三、计算题：本大题共5小题，共30分． 13. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与加减，平方根解方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减即可； （2）根据平方根解方程进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， 解得：． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，二次根式的乘法运算，先利用乘法公式与单项式乘以多项式计算乘法运算，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 15. 已知，． （1）已知x的算术平方根为3，求a的值； （2）如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【小问1详解】 解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； 【小问2详解】 解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等） 【答案】 （1）如图1所示，即为所求作的三角形： （2）如图2、3所示，即为所求作的三角形： 【解析】 【分析】（1）画一个直角边分别为3和4的直角三角形，根据勾股定理斜边为5符合题意； （2）画一个边长为和边长为的直角三角形即可（符合题意即可）． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件画图是解题关键． 17. 我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求这块空地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．直接利用勾股定理可求得，再用勾股定理的逆定理得出，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 四、解答题：本题共3小题，共24分． 18. 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． （1）①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形． （2）若是奇异三角形，，求的长． 【答案】（1）①是；②不是 （2）的长为或． 【解析】 【分析】（1）①设等边三角形的边长为，则，在由“奇异三角形”的定义即可得出结论； ②计算两边的平方和是否等于第三边平方的2倍，即可根据定义判断； （2）分；；三种情况进行讨论即可得出答案． 【小问1详解】 解：①设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”， 故答案为：是； ②∵，，， ∴，，， ∴该三角形不是“奇异三角形”， 故答案为：是； 【小问2详解】 ∵是直角三角形，， ∴，即． ∵是奇异三角形，， ∴有三种情况： ①，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ②，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ③，此种情况不成立． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，新定义“奇异三角形”，等腰三角形的性质等知识，理解新定义“奇异三角形”的定义是解本题的关键． 19. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 【答案】有危险，需要暂时封锁 【解析】 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴公路段有危险，需要暂时封锁． 20. 八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． （1）求风筝的高度． （2）若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论∶ 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 如图：由题意得，米，∴米， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 五、解答题：本题共2小题，共18分． 21. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】（1）5； （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先估算出在那两个整数之间，然后表示出其小数部分和整数部分即可； （2）先根据的小数部分为的整数部分为，求出a、b的值，然后求出即可； （3）根据，其中是整数，且，得出为的整数部分，y为的小数部分，得出，，求出，最后写出其相反数即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是； 【小问2详解】 ∵， ∴的小数部分为：， ∵， ∴的整数部分为， ∴． 【小问3详解】 ∵，其中是整数，且， ∴为的整数部分，y为的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 22. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ． 六、解答题：本题共1小题，共12分． 23. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： （2）如图2，在中，，，，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，，，试猜想，，之间存在的等量关系，直接写出结论 ． （3）如图3，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论 是否成立？请说明理由． （4）如图4，在中，，三边分别为，，，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）结论仍成立，理由如下： 由图可得出：，，， ∴ 在直角三角形中有：， ∴． 因此，结论仍成立． （4）30 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加两个长方形的面积即可得出答案； （2）分别求出三个正方形的面积，再用勾股定理求解即可； （3）分别求出三个半圆的面积，计算即可； （4）阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积． 【小问1详解】 解：由正方形的面积可得出：； 【小问2详解】 解：由图可得：，，， 在直角三角形中有： ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由图可知： 阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积，由（3）可知为两个小半圆的面积等于大的半圆的面积，因此，阴影部分的面积等于三角形的面积， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $