2.3.3 三角不等式 课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角不等式，通过“小明家到学校与书店路线距离”的生活情境导入，结合绝对值几何意义（数轴分同异号讨论）构建学习支架，衔接从具体情境到抽象定理的认知脉络。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过几何直观分析与分类讨论、两边平方证明发展数学思维，用符号语言精准表述不等式关系提升数学语言能力。学生能深化逻辑推理，教师可借助结构化流程高效教学。

2.3.3 三角不等式 1 知识框架 2 等式与不等式 等式与不等式的性质 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及根与系数的关系 不等式的性质 不等式的求解 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 一元二次不等式的求解 分式不等式的求解 含绝对值不等式的求解 基本不等式的运用 平均值不等式及其运用 三角不等式 小明家在 A 点，学校在 B 点，书店在 C 点，小明从家到学校可以直接走 A 到 B，也可以先到书店再去学校，也就是 A 到 C 再到 B。大家思考一下，这两条路线的距离哪一个更长呢？​ 导入 A B C 实数的绝对值||的几何意义是表示数轴上坐标为的点A到原点的距离： O A || 绝对值的几何意义 【思考】联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究||, ||, ||, ||等之间的关系： 绝对值的几何意义 【思考】联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究||, ||, ||, ||等之间的关系： 分和两种情形讨论： (1)当时，如下图可得 (2)当时，再次细分： 如果，如下图可得： O x 如果，如下图可得： x O (3)如果，则或，易得： 绝对值的几何意义 如果是实数，则 当且仅当时，等号成立。 绝对值的和 和的绝对值 三角不等式 法一：两边平方 要证 即证 即 即 因为显然成立， 【探究】证明：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立。 三角不等式 法二：分类讨论 当中至少一个为0时，显然 当时， 当时， 当时，不妨设 则 或 综上所述， 且等号当且仅当 【探究】证明：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立。 三角不等式 【定理】对于任意给定的实数，有 且等号当且仅当时成立。 三角不等式 两个实数和的绝对值 小于等于它们绝对值的和。 三角不等式 A B C 1) 三角不等式中，等号当且仅当 成立． 2) 通过三角不等式可知，则等号成立的条件为 . 3) 函数的最小值等于 ． 4) 函数的最小值为 . 课堂练习 例1 课堂练习 【探究】你能根据定理1的研究思路，探究, 等之间的关系。 如果是实数，那么 三角不等式 + 如果实数，那么 绝对值的差 绝对值的和 和/差的绝对值 三角不等式定理拓展 课堂练习 例2 对所有实数恒成立，则的取值范围是____________ 教材P55 练习2.3（3） 课堂练习 16 课堂小结 三角不等式 17 课后作业 基础练习 能力拓展（选做） 18 【解析】（1）当 时， ，当 时， ， 故当且仅当 时，等号成立，故答案为： 【解析】（2）解：由三角不等式可知 ， 当且仅当 ，即 时，取等号， 所以等号成立的条件为为 ，故答案为： . 【解析】（3）因为 , 当 时，取等号，所以 的最小值为4，故答案为：4 【解析】（4）由绝对值三角不等式得： 所以函数 的最小值是4，故答案为：4 【解析】因为 ， 当且仅当 时等号成立，即 ， 故不等式 对所有实数 恒成立，则 $