2.3.1 平均值不等式（1）课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2.3.1 平均值不等式（1） 1 知识框架 2 等式与不等式 等式与不等式的性质 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及根与系数的关系 不等式的性质 不等式的求解 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 一元二次不等式的求解 分式不等式的求解 含绝对值不等式的求解 基本不等式的运用 平均值不等式及其运用 三角不等式 导入 有一个矩形，它的两边边长分别表示为 能否找到一个与此矩形周长相同的正方形？它的边长是多少？ 能否找到一个与此矩形面积相同的正方形？它的边长是多少？ 3 导入 公元前6世纪，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义 算数中项： 几何中项： 现在 算数平均值： 几何平均值： 4 导入 现在 算数平均值： 几何平均值： 当分别表示对同一个量进行两次测量所得的数值时，其算术平均值可以理解为这两次测量的平均。 当分别表示一个矩形的两条边的边长时，其几何平均值可以理解为与此矩形面积相同的正方形的边长。 5 平均值不等式 【思考】两正数的算数平均值与几何平均值有怎样的大小关系？ 代入特殊值猜想：若时， 若时， ：两个正数的算数平均值大于等于它们的几何平均值. 即时，，且等号当且仅当时成立。 6 平均值不等式 【问题2】如何证明猜想： 时，，且等号当且仅当时成立？ 证明：时， 当，即时， 此时 当，即时， 此时 所以，且等号当且仅当时成立。 7 平均值不等式 【定理】平均值不等式 两个正数的算数平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数，有 ， 且等号当且仅当时成立。 8 A B C D 平均值不等式 欧几里得在《几何原本》卷六命题13中给出了两条已知线段之间的几何中项的作图法，以AB为直径作一半圆，C为直径AB上一点，过C作CD⊥AB，交半圆于点D，则CD即为线段AC和CB的几何中项。 9 平均值不等式 【问题3】能否借助这个模型，找到相关量，构造出平均值不等式的几何意义？ A B C D 0 10 平均值不等式 【问题3】能否借助这个模型，找到相关量，构造出平均值不等式的几何意义？ A B C D 0 11 平均值不等式 例1 已知，求证：，并指出等号成立的条件。 证明：因为由平均值不等式，得 且等号只有当，即时才成立。由于，因此. 所以当且仅当x=1时， . 12 平均值不等式 例1 已知，求证：，并指出等号成立的条件。 解：当，由平均值不等式，得 则 等号只有当，即时才成立。由于，因此. 所以当且仅当时， . 【思考】如果没有这个条件，结论还成立吗？ 13 平均值不等式 例2 已知，求证：，并指出等号成立的条件。 证明：因为则，由平均值不等式，得 且等号当且仅当，即时才成立。 【思考】 具有怎样的关系？能否发现例1与例2之间的关系？ 积为定值 14 平均值不等式 平均值不等式两边都为正数，将其两边平方会得到不等式 对于任意的正数，不等式成立。 【问题4】对于任意的实数，不等式还成立吗？ 15 平均值不等式 【问题4】对于任意的实数，不等式还成立吗？ 代入特殊值猜想：若时， 不等式成立 若时， 不等式成立 ：对于任意的实数，不等式依然成立。 16 平均值不等式 【问题5】如何证明：对于任意的实数，不等式成立？ 这个常用不等式两边，同时加上得： , 即，所以原不等式成立， 且等号当且仅当𝑎=𝑏时成立。 【定理】对于任意给定的实数，总有，且等号 当且仅当时成立。 17 平均值不等式 【定理】对于任意的实数，不等式成立，且等号 当且仅当时成立。 18 平均值不等式 例3 设，求二次函数的最大值。 解：由不等式， 当且仅当，即时，y取得最大值4. 【思考】具有怎样的关系？ 和为定值 19 教材P52 练习2.3（1）2 课堂练习 20 课堂小结 平均值 不等式 ， 常用不等式 积为定值 和为定值 和有 最值 积有 最值 21 课后作业 基础练习 《双基》P45/1-7,9-12 能力拓展（选做） 8、15 22 $