6.2.1 向量的加法运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.1 向量的加法运算 1 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用． 下面先学习向量的加法． 2 创设情境，提出问题 在物理学中，我们知道一个质点从点移动到点，再从点移动到点，与从点直接到点的位移结果相同.这说明位移这一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法运算的. 3 创设情境，提出问题 物理中的矢量与我们所学的向量有什么区别和联系？ 我们能不能把物理中位移的合成的有关方法和经验用于向量的合成？ 【预设的答案】 联系：矢量和向量都是既有大小又有方向的量； 区别：物理学中矢量通常是有作用点的，如：力、位移等，但是数学中向量是自由向量，可以任意平移的.即向量的应用范围是更广的. 4 发现问题，深入探究 矢量与向量都是既有大小又有方向的量. 在物理中，矢量通常是有作用点的(如：力)，作用点的变化会使得效果发生改变； 在数学中，向量是可以任意平移的，我们也称之自由向量. 启示 我们可以把物理中位移的合成有关方法和经验用于向量的合成！ 5 发现问题，深入探究 假设在平面内有任意两个非零向量, ，如何作出这两个向量的和向量呢？ 在平面内任取一点，作，，那么你能说出的和向量是什么吗？ 则向量叫做与的和. 6 归纳特征，形成概念 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和.所以，两向量可以相加，并且两个向量的的和还是一个向量. 一般的，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 定义 7 求上面两个向量的和向量时 ，你发现了什么特征吗？ 向量加法的三角形法则适用于首尾相连的两个向量. 注意 1.两向量的和仍然是一个向量 2.对与零向量与任意向量规定 3.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型 8 A B C 向量加法的三角形法则： 先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的起点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的中点，就能得到两个向量的和向量。 简记为：首尾相接，首指向尾 思考 2.当向量与是共线向量时， 又如何做出？ ①当与同向时， ②当与同向时， 即 即 使用向量加法的三角形法则的具体做法是什么？ 9 发现问题，深入探究 如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力和的作用，你能作出这个物体所受的合外力吗？ 想一想 现在这两个向量有什么特征？能否直接用三角形法则对其求和？ 10 (1) 根据图象，这两个向量并不是首尾相连的，而是具有公共起点的两个向量，因而不能直接使用三角形法则； (2) 三角形法则适用于首尾相连的两个向量，故考虑将其中一个向量的起点平行移动到另一个向量的终点处.在利用三角形法则进行求和. 我们知道，合力在以、为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长．从运算的角度看， 可以看作与的和，即力的合成可以看作向量的加法 发现问题，深入探究 想一想 观察四边形，这是一个什么四边形？ 四边形是一个平行四边形.因此，以同一点为起点的两个向量与，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量就是向量与的和向量.我们把这样的方法称为向量加法的平行四边法则. 12 学习新知 思考 使用向量加法的平行四边形法则的具体做法是什么？ 向量加法的平行四边形法则： 先把两个向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和。 简记为：起点相同，对角为和 D B C A 注意 1.对与零向量与任意向量规定 2.力的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型 3. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和， 平行四边形法则只适用于两个不共线向量求和 4.两向量不共线时，三角形法则与平行四边形法则本质上是一致的 5.作三个或三个以上向量求和时，三角形法则更简单 你能分析一下平行四边形法则和三角形法则的区别与联系吗？   三角形法则 平行四边形法则 适用条件 首尾相连的两个向量 有公共起点的两个向量 作法 在平面内任取一点，作，，则 作，，以为邻边作平行四边形，连接，则 结论 是与的和向量 对角线是与的和向量 图形 联系 平行四边形法则与三角形法则是可以相互转化的 14 深化理解 思考 1.如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量吗？ 2.结合例1，探索 之间的关系。 ，不共线时， ，同向时， ，反向时， 综上，有，当且仅当，同向时等号成立。 探究3 从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运算，定义了一种新的运算，自然要研究其运算律的问题．类比数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜测有哪些运算律，再说明理由． 向量加法的运算律 交换律: 结合律: 向量加法满足交换律和结合律 深化理解 思考 1.如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量吗？ 2.结合例1，探索 之间的关系。 ，不共线时， ，同向时， ，反向时， 综上，有，当且仅当，同向时等号成立。 18 $