精品解析：广东省江门市鹤山市第一中学2025-2026学年高一上学期第一阶段考试数学试题

鹤山一中2025-2026学年度第一学期第一阶段考试 高一数学试题 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合交集的定义求解即可. 【详解】由题可得， 故选：C 2. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可. 【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为R， 所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数； 对于B，因为定义域为R，而的定义域为， 所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数； 对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数； 对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且， 所以是同一函数. 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 5. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 6. 若R，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】A.，不成立；B.作差法判断结论；C. ，可得到；D．时，不成立. 【详解】对于A，当时，不成立，A错误 对于B，，， ， ，，即，B正确 对于C，，所以若，则，C错误 对于D，当时，，D错误 故选：B 7. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 8. 若函数是一个单调递减函数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由单调性可知，二次函数的对称轴与1的关系，列出不等式组求解即可． 【详解】解：函数是减函数， ，解得， 实数a的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，注意单调性的本质，属于中档题． 二、多选题 9. 已知集合，则下列属于集合A的元素有（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示出集合A即可判断作答. 【详解】依题意，是的约数，而的约数有， 即，则， 因为，因此 所以CD正确，AB错误. 故选：CD 10. 关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的解集得到，同时和是的两个根，进而得到 ，，逐项判断即可； 【详解】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 11. 对，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，称为“高斯函数”，人们更习惯称之为“取整函数”.下列命题中正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. 函数值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，确定之间的关系，然后逐项分析可得结果. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：当是整数时，；当不是整数时，， 由上可知，成立，故B正确； 对于C：，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 由上可知，，成立，故C正确； 对于D：由B可知，，所以， 所以的值域为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，其中涉及函数值域以及函数不等式等问题，难度较大.处理高斯函数的相关问题时，一方面可以从函数定义入手解答问题，另一方面也可以利用函数图象解答问题. 三、填空题 12. 若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，列不等式求的取值范围. 【详解】因为“”为假命题， 所以“”为真命题， 即方程没有实数根， 所以，故， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 14. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】化简函数，设，，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】由， 设，， 则， 所以函数在上为奇函数， 所以， 由题意，得， 所以. 故答案为：8. 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，应用集合交运算求结果； （2）由题意，列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由题设，，， 所以. 【小问2详解】 由题意，则，可得. 16. 已知命题 （1）若且都为真，求实数的取值范围； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）先解出命题中的范围，再利用都为真，可知就是求命题中的范围的交集即可得解； （2）由是成立的充分不必要条件，得到是的真子集，分别讨论集合中，，求解. 【小问1详解】 ，，，， ，，， 都为真，，，实数的取值范围； 【小问2详解】 ，， 是成立的充分不必要条件， 是的真子集， 当时，， ，， ，，，； 当时，， ，， ，，，； 当时， ，， ，不是的真子集，不符合题意； 综上可得，实数的取值范围或. 17. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】（1） （2），宣传单的面积最小，最小的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【小问1详解】 由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. 【小问2详解】 设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 18. 已知函数． （1）判断函数是否具有奇偶性，并证明； （2）当时，判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； （3）当时，求函数的值域． 【答案】（1）为定义在上的奇函数，证明如下： 由题意可知：的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为定义在上的奇函数. （2）若，则在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析证明； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）可证在区间上单调递增，结合（2）可得：，再结合奇函数性质求值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，则， 当时，， 由（2）可知：在区间上单调递增， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在区间上单调递减. 则，且， 由（1）可知：为定义在上的奇函数， 可得当时，； 综上所述：函数的值域为. 19. 已知函数，，函数，其中 （1）若的解集为，求的值； （2）若， （i）求使得成立的的取值范围； （ii）求在区间上的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用韦达定理，即可求得的值； （2）（i）对当时和时，进行分类讨论，由此求得的取值范围；（ii）由（i）可知，分，进行讨论，得到． 【小问1详解】 依题意得，为方程的两个根， 则，即，此时不等式的解集恰为符合题意； 【小问2详解】 （i）因为，又，则， ①当时，，所以，解得； ②当时，，所以， 因为，，，所以， 所以无解， 综上所述：的取值范围是； （ii）由（i）可知：， 当时，，所以，所以； 当时，的对称轴为，所以， 且，，所以， 令，，所以， 综上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2025-2026学年度第一学期第一阶段考试 高一数学试题 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 若R，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 8. 若函数是一个单调递减函数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知集合，则下列属于集合A的元素有（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 10. 关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为或 11. 对，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，称为“高斯函数”，人们更习惯称之为“取整函数”.下列命题中正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. 函数值域为 三、填空题 12. 若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为________． 13. 已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为_____. 14. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______． 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知命题 （1）若且都为真，求实数的取值范围； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 18. 已知函数． （1）判断函数是否具有奇偶性，并证明； （2）当时，判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； （3）当时，求函数的值域． 19. 已知函数，，函数，其中 （1）若的解集为，求的值； （2）若， （i）求使得成立的的取值范围； （ii）求在区间上的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $