第二十二章二次函数 第5讲 二次函数存在性问题讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第5讲 二次函数存在性问题 知识点1二次函数中直角三角形存在性问题 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），�由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 【典例】 1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限） （1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式； （2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标； （3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标． 【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴﹣﹣=1， ∴b=﹣2 ∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴c=﹣3， ∴抛物线的函数表达式为：y=x2﹣2x﹣3； ∵抛物线与x轴交于A、B两点， 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0． ∴x1=﹣1，x2=3． ∵A点在B点左侧， ∴A（﹣1，0），B（3，0） 设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m， 则， ∴ ∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3； （2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x﹣3， ∴∠OCB=45°， ∵点D在对称轴x=1与直线y=x﹣3交点上， ∴D坐标为（1，﹣2 ） Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，﹣1）， ∵点P在CE垂直平分线上， ∴点P纵坐标为﹣2， ∵点P在y=x2﹣2x﹣3上， ∴x2﹣2x﹣3=﹣2， 解得：x=1±， ∵P在第三象限， ∴P的坐标为（1﹣，﹣2）； （3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3 ∵直线BC的解析式为y=x﹣3， ∴K的坐标为（n+3，n）， ∴PK=n+3﹣m=m2﹣3m， ∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=， ∴×3KP= ∴m2﹣3m=， 解得：m=﹣或， ∵P在第三象限， ∴P的坐标为（﹣，﹣） ∵点P在CE垂直平分线上， ∴E的坐标为（0，﹣） 【方法总结】 探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下： （1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论； （2）找点：当所给定长没有说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点； ②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点； （3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。 【随堂练习】 1. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）． （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 【解答】解：（1）依题意得：， 解之得：， ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3 ∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0）， ∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n， 得， 解之得：， ∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3； （2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小． 把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2， ∴M（﹣1，2）， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）； （3）设P（﹣1，t）， 又∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10， ①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2； ②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4， ③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=； 综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）． 知识点2二次函数中等腰三角形存在性问题 此知识点是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（2）（3）问，符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论． 【典例】 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M． （1）求抛物线C1的表达式； （2）直接用含t的代数式表示线段MN的长； （3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值； 【解析】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1） ∴ 解得： ∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1 （2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M ∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1 ∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2 （3）共分两种情况 ①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1） ∴AN=t﹣（﹣2）=t+2 ∵MN=t2+2 ∴t2+2=t+2 ∴t1=0（舍去），t2=1 ∴t=1 ②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1） ∴AM=t﹣（﹣2）=t+2， ∵MN=t2+2 ∴t2+2=t+2 ∴t1=0，t2=1（舍去） ∴t=0 故t的值为1或0 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C． （1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标； （2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小； （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值． 【解析】（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），∴x=m或x=n时，y都为0， ∵m＞n，且点A位于点B的右侧，∴A（m，0），B（n，0）． ∵m=2，n=1，∴A（2，0），B（1，0）． （2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），∴﹣1=mn，∴n=﹣， ∵B（n，0），∴B（﹣，0）．∵AO=m，BO=﹣，CO=1 ∴AC==，BC==，AB=AO+BO=m﹣， ∵（m﹣）2=（）2+（）2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°． （3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）． ∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，∴AC==，BC==|n|，AB=xA﹣xB=2﹣n． ①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2； ②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣； ③当BC=AB时，|n|=2﹣n，当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣． 综上所述，n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形． 【方法总结】 探究等腰三角形的存在性问题时，具体方法如下： （1）假设结论成立； （2）找点：当所给定长未说明是等腰的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在； ②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在。 以上方法即可找出所有符合条件的点； （3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解。 【随堂练习】 1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c， 解得：b=﹣4，c=3， ∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3； （2）令y=0，则x2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B（3，0）， ∴BC=3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP=BC时，OP=OB=3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB=PC时， ∵OC=OB=3 ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）； （3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t， ∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1， 即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1． 知识点3二次函数中四边形存在性问题 本知识点重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 平行四边形的判定与性质 1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形两组对边分别相等； ③平行四边形两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分； 3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【典例】 1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【解析】解：（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1 ∴A（﹣1，0） 当x=0时，y=﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴ ∴， 抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3． 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3 ∴B（3，0）． （2）由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：y=x﹣3， 设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3） ∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+； ∴当x=时，ME的最大值为． （3）答：不存在． 由（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣），M（，﹣） ∴MF=，BF=OB﹣OF=． 设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形， 则BP∥MF，BF∥PM． ∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣） 当P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣ ∴P1不在抛物线上． 当P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣ ∴P2不在抛物线上． 综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形． 【方法总结】 在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下： （1）假设结论成立； （2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形； （3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。 【随堂练习】 1.如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式； ②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c， ，解得：， ∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3． （2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=1． 当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形． ∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3， ∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下： 若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2， ∴不存在． （3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n， ，解得：， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t， ∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+． ②∵﹣＜0， ∴当t=时，S取最大值，最大值为． ∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC==3， ∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）． 综合运用：二次函数存在性问题 1.如图所示，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（﹣1，0），过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为﹣3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）在直线x=﹣上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠OAC， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴BC=AC， 在△BDC和△COA中， ， ∴△BDC≌△COA（AAS）； （2）∵C点坐标为（﹣1，0）， ∴BD=CO=1， ∵B点横坐标为﹣3， ∴B点坐标为（﹣3，1）， 设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴BC所在直线的解析式为y=﹣x﹣； （3）存在． 若以AC为直角边，点C为直角顶点，直线x=﹣上有一点P1，是CP1⊥AC， ∴点P1为直线BC与直线x=﹣的交点， 由题意得，， 解得：， ∴P1（﹣，﹣）； 若以AC为直角边，点A为直角顶点，直线x=﹣有一点P2，是AP2⊥AC， 则过点A作AP2∥BC，交直线x=﹣于点P2， ∵CD=OA， ∴A（0，2）， 则直线AP2的解析式为y=﹣x+2， 由题意得，， 解得：， ∴P2（﹣，）． ∴P点坐标分别为：P1（﹣，﹣），P2（﹣，）． 2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标； （3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3， ∴A（1，0），B（4，3）， ∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B， ∴， 解得：， 则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5； （2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形， ∴∠APM=∠DPN=45°， ∴∠MPN=90°， ∴△MPN为直角三角形， 令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5， ∴D（5，0），即DP=5﹣1=4， 设AP=m，则有DP=4﹣m， ∴PM=m，PN=（4﹣m）， ∴S△MPN=PM•PN=×m×（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1， ∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）； （3）存在， 易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5）， 由题意得：∠BAD=∠ADC=45°， 当△ABD∽△DAQ时，=，即=， 解得：AQ=， 由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=， 解得：x=，此时Q（，﹣）； 当△ABD∽△DQA时，=1，即AQ=， ∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10， 解得：x=2，此时Q（2，﹣3）， 综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）． 3.如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B． （1）求抛物线的解析式． （2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标． （3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0）， 把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3； （2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3， ∵S△PBC=S△QBC， ∴PQ∥BC， ①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示， ∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5， 联立得：， 解得：或，即Q（2，3）； ②设G（1，2），∴PG=GH=2， 过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1， 联立得：， 解得：或， ∴Q2（，），Q3（，）； （3）存在点M，N使四边形MNED为正方形， 如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形， 设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b， 联立得：， 消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0， ∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b， ∵△MNF为等腰直角三角形， ∴MN2=2NF2=42﹣8b， ∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2， 若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2， ∴42﹣8b=（b2﹣6b+9）， 整理得：b2+10b﹣75=0， 解得：b=﹣15或b=5， ∵正方形边长为MN=， ∴MN=9或． 4.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，交x轴正半轴于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上任意一点，设点P的横坐标为x． ①若点P在第二象限，过点P作PN⊥x轴于N，交直线AC于点M，求线段PM关于x的函数解析式，并求出PM的最大值； ②若点P是抛物线上任意一点，连接CP，以CP为边作正方形CPEF，当点E落在抛物线的对称轴上时，请直接写出此时点P的坐标． 【解析】解：（1）当x=0时，y=x+3=3，则C（0，3）； 当y=0时，x+3=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0）， 把A（﹣4，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+3； （2）①设P（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则M（x，x+3）， ∴PM=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x+2）2+ 当x=﹣2时，线段PM的长有最大值，最大值为； ②作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图， ∵四边形PEFC为正方形， ∴PE=PC，∠EPC=90° ∵∠PGE=∠PKC=90°， ∴∠PEG=∠CPK， 易得△PEG≌△CPK， ∴CK=PG， 设P（x，﹣x2﹣x+3），抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3）， ∴PG=|﹣1﹣x|=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|， ∴|x+1|=|﹣x2﹣x|， 解方程x+1=﹣x2﹣x得x1=﹣4，x2=﹣； 解方程x+1=x2+x得x1=2，x2=﹣； ∴P点坐标为（﹣4，0）或（﹣，）或（2，0）或（﹣，）． 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 二次函数存在性问题 知识点1二次函数中直角三角形存在性问题 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），�由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 【典例】 1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限） （1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式； （2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标； （3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标． 【方法总结】 探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下： （1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论； （2）找点：当所给定长没有说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点； ②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点； （3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。 【随堂练习】 1. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）． （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 知识点2二次函数中等腰三角形存在性问题 此知识点是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（2）（3）问，符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论． 【典例】 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M． （1）求抛物线C1的表达式； （2）直接用含t的代数式表示线段MN的长； （3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值； 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C． （1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标； （2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小； （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值． 【方法总结】 探究等腰三角形的存在性问题时，具体方法如下： （1）假设结论成立； （2）找点：当所给定长未说明是等腰的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在； ②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在。 以上方法即可找出所有符合条件的点； （3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解。 【随堂练习】 1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 知识点3二次函数中四边形存在性问题 本知识点重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 平行四边形的判定与性质 1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形两组对边分别相等； ③平行四边形两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分； 3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【典例】 1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【方法总结】 在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下： （1）假设结论成立； （2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形； （3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。 【随堂练习】 1.如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式； ②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标． 综合运用：二次函数存在性问题 1.如图所示，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（﹣1，0），过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为﹣3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）在直线x=﹣上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标； （3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B． （1）求抛物线的解析式． （2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标． （3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 4.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，交x轴正半轴于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上任意一点，设点P的横坐标为x． ①若点P在第二象限，过点P作PN⊥x轴于N，交直线AC于点M，求线段PM关于x的函数解析式，并求出PM的最大值； ②若点P是抛物线上任意一点，连接CP，以CP为边作正方形CPEF，当点E落在抛物线的对称轴上时，请直接写出此时点P的坐标． 16 学科网（北京）股份有限公司 $