专题08 二次函数综合线段周长和面积相关最值问题（5种类型40道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题08 二次函数综合线段周长和面积相关最值问题 （5种类型40道） 目录 【题型1 线段的最值】 1 【题型2 线段和差的最值（不含系数）】 4 【题型3 线段和差的最值（含系数）】 8 【题型4 周长的最值】 12 【题型5 面积的最值】 16 【题型1 线段的最值】 1．如图，抛物线与轴交于点，点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点． ①求的最大值； ②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，求出使得长度取得最大值时P的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 4．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 6．如图，已知抛物线（b为常数）经过点P，点P与点关于原点对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数解析式及点A，B，C的坐标． (2)连接，抛物线上一点M在线段上方，其横坐标为m（），过点M作轴于点E，交线段于点F． ①当m为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ ②当线段取最大值时，连接，在抛物线上是否存在点Q（点Q不与点M重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，求线段的最大值． 8．已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点. (1)求抛物线的解析式和，两点的坐标； (2)如图，若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点； ①设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标； ②过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的横坐标的值． 【题型2 线段和差的最值（不含系数）】 9．如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若是抛物线在第四象限图象上一点，过作轴于点，并交于点，过点作轴交于点，求线段的最大值； (3)如图2，、是抛物线在第四象限图象上两动点，连接，，它们交于点．若点与点的横坐标之和为4，求点的横坐标的值． 13．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为．      (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求B的坐标； (3)在（2）的条件下，当点B在第一象限时，P是抛物线上的动点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，抛物线的图象与一次函数的图象交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，作交轴于点，点M，N是轴上的两动点（在上方），且满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点向下平移1个单位得到点，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线为新拋物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，S为顶点的三角形和全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，当取最大值时，求点的坐标以及此时的最小值； (3)如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点坐标为．点是抛物线上一点且位于第一象限，若点到轴的距离是它到直线距离的倍，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【题型3 线段和差的最值（含系数）】 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点．当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 18．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将此抛物线在轴下方的图像沿轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，若将直线向上平移个单位长度，使得平移后的直线与图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． (3)如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标； 19．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21．综合与探究：如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．是第四象限内抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)当的周长最大时，求点的坐标； (4)的最小值是_____． 22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 23．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． (3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【题型4 周长的最值】 25．如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式. (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为1． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接．设点的横坐标为． 当点在轴上方，为何值时，是等腰三角形； 当点在轴下方，为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点是该抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)求，两点的坐标； (3)请在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标； (4)点是轴上一个动点，点作直线交抛物线于点，试探究：随着点的运动，在抛物线上是否存在定点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 29．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 30．如图，抛物线的图象与x轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点M作x轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．若点P在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积； 31．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时点的坐标． 32．已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【题型5 面积的最值】 33．已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 34．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点． (1)求和的坐标； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是． 35．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点． (1)抛物线的对称轴是直线 ，k的值是 ； (2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； (3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标． 36．如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为D．过O作射线．过顶点D平行于x轴的直线交射线于点在x轴正半轴上，连结． (1)求该抛物线的解析式； (2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点P运动的时间为．问：当t为何值时，四边形为直角梯形？ (3)若，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为，连接，当t为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长． 37．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与轴交于点C，，点P为拋物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线下方时，过点A作交抛物线于点D，连接，，与相交于点E．当的面积最大时，求点P的坐标和面积的最大值； (3)如图2，连接，，直线交y轴于点N，过点B作直线交y轴于点M，求的长度． 38．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 39．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 40．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题08 二次函数综合线段周长和面积相关最值问题 （5种类型40道） 目录 【题型1 线段的最值】 1 【题型2 线段和差的最值（不含系数）】 24 【题型3 线段和差的最值（含系数）】 49 【题型4 周长的最值】 77 【题型5 面积的最值】 99 【题型1 线段的最值】 1．如图，抛物线与轴交于点，点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点． ①求的最大值； ②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形． 【答案】(1) (2)①4，②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）①求出直线的解析式，设，求出点坐标，将的长转化为二次函数，求最值即可； ②根据矩形的性质，推出，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点 设交点式 ，点在轴负半轴， ， 把点代入抛物线解析式得：， ， 抛物线解析式为； （2）①如图1， ， ， 设直线解析式为 ， 解得： 直线 设， 轴， ， 当时，的最大值为4． ②如图2，、关于点对称， 四边形是矩形 ，且与互相平分 ，为中点 由①得当时， 解得：， 的值为或时，四边形为矩形． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，求出使得长度取得最大值时P的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先得出，结合抛物线对称轴为直线，且，得，再运用待定系数法进行求出二次函数的解析式，即可作答． （2）先求出直线的解析式为，设（），则，所以，运用二次函数的图象性质，即可作答． （3）由（2）得最大时，证明四边形是矩形，得，故得出四边形是平行四边形，所以，，当共线时，取最小值，即取最小值，结合点为线段的中点，得，运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线，与y轴交于点C， ∴令，则， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，且 ∴ ， 将和代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图 由（1）得， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（）， 则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴． 此时， （3）解：由（2）得最大时， ∵过点P作轴，垂足为E， ∴， ∵ 则， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点，且， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的综合，二次函数的图象性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为 (2)线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解； （3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴； 上式中令，得，即； ∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称， ∴; 设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点E， 当时，，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 过F作轴交于点N，则， ∴为等腰直角三角形， ∴； 设，则， ∴， 由于二次项系数为负，则当时，有最大值， ∴； 即的最大值为； （3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即； 设直线的解析式，则有，解得， ∴直线的解析式， 上式中令，则，即； 设， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得：，即； ∵， ∴由平移得； 如图，当点P在的左边时， 同理：由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 由平移得：； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①求出点坐标，可得的长，即得的面积，设，表示出的面积，再根据列出方程解答即可求解；②过点作于点，使得，过点作轴交于点，可得是等腰直角三角形，即得，可得，当取最大值时，线段取最大值，利用待定系数法求出直线的函数解析，进而求出，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分、和三种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①当时，， 解得，， ∴， ∵、， ∴，， ∴， 设， ∵点在第一象限内， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴； ②如图，过点作于点，使得，过点作轴交于点，则，，， ∵，， ∴， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取最大值时，线段取最大值， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时，， ∴当线段最大时，点的坐标为，的最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，在范围内，随的增大而增大， ∴取最小值，取最大值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 当，，即时，在范围内，函数的最大值为，即， ∵， ∴， 把代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴此种情况不合题意； 当，即时，在范围内，随的增大而减小， ∴取最大值，取最小值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 6．如图，已知抛物线（b为常数）经过点P，点P与点关于原点对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数解析式及点A，B，C的坐标． (2)连接，抛物线上一点M在线段上方，其横坐标为m（），过点M作轴于点E，交线段于点F． ①当m为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ ②当线段取最大值时，连接，在抛物线上是否存在点Q（点Q不与点M重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为： (2)①当时，的最大值为：；②点Q的坐标为：或 【分析】（Ⅰ）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （Ⅱ）①设点，则点，则，即可求解； ②过点M作直线交y轴于点R，得到直线m的表达式为，即可求解；在点C的下方N处作直线，交抛物线于点Q，且使，同理可解． 【详解】（1）解： P与点关于原点对称，则点， 将点P的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； 当时，，令，则或1， 即点A、B、C的坐标分别为：； （2）①设直线的表达式为， 将点代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为， 设点，则点， 则， 故当时，的最大值为：； ②存在，理由如下： 由①知，点， ∴， 过点M作直线交y轴于点R， ∵轴，即轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即直线向上平移个单位得到直线m， 则直线m的表达式为：②， 联立①②得：, 解得：（舍去）； 在点C的下方N处作直线，交抛物线于点Q，且使， 则点， 则直线n的表达式为： ③， 联立①③得：， 解得：， 则点Q的坐标为：或， 综上，点Q的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算、线段长度的表达方法等，分类求解是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）设直线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设，则，可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设，则， ∴ ∵，， ∴当时，线段的值最大，最大值为． 8．已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点. (1)求抛物线的解析式和，两点的坐标； (2)如图，若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点； ①设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标； ②过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的横坐标的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为 (2)①用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出的值，即可求得抛物线解析式，在令其值为零，解一元二次方程即可求出和的坐标； （2）①易求点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，解出和的值，即得直线的解析式；设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长得出关于的二次函数，从而求得其最值及此时点的坐标；②由得中，，可得当时为等腰直角三角形，分点在对称轴右侧和点在对称轴左侧，根据得出关于的方程，从而求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 抛物线的解析式为：． 当时，，解得，， 点的坐标为，点的坐标为． ∴抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，的最大值是4， 点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合）， ， 此时点的坐标为． 用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为； ②， ， 当时，为等腰直角三角形， 点在对称轴右侧时，如图： ，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ，， 当时为等腰直角三角形， 的长为， ，解得：或（舍去）， ； 点在对称轴左侧时，如图： ，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ，， 当时为等腰直角三角形， 的长为， ，解得：或（舍去）， ； 存在，点的横坐标的值为或. 【题型2 线段和差的最值（不含系数）】 9．如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为，此时； (3)存在，． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，再求出直线表达式为，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． 【详解】（1）解：由题意知，解得， ∴解析式为； （2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴，解得， ∴直线表达式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可； （2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可； （3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴， 当时，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴． （3）解：当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （4）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4， ①当时， 当时，最大值为， 当时，最小值为， ∴，解得（舍）． ②当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴； ③当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴（舍），（舍） 综上所述，n的取值范围为． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；设，则，，求出，得出，，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）由题意可设，，分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， 在中，当时，， 解得，即， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； （3）解：由题意可设，， ∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，， ∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—特殊的四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若是抛物线在第四象限图象上一点，过作轴于点，并交于点，过点作轴交于点，求线段的最大值； (3)如图2，、是抛物线在第四象限图象上两动点，连接，，它们交于点．若点与点的横坐标之和为4，求点的横坐标的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，线段长度问题，一次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）利用交点��和直接写出抛物线方程； （2）通过坐标几何方法，推导和的长度表达式，并利用二次函数求最大值； （3） 设和的横坐标之和为 ，求出直线和的方程，解交点得横坐标恒为 ，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∵轴于点，轴交于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则， ∴ ∴当时，线段的最大值为； （3）解：设的横坐标为，根据题意可得 ∵、是抛物线在第四象限图象上两动点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 同理可得直线的解析式为： 联立 解得： 即点的横坐标的值为 13．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为．      (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求B的坐标； (3)在（2）的条件下，当点B在第一象限时，P是抛物线上的动点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系等知识点， （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）运用待定系数法求得直线的解析式为，当的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值． 利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点，且它的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 设抛物线解析式为，把代入，得， 解得：， ∴， 故此抛物线的解析式为； （2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，      ∴设， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点H，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为； （3）设直线的解析式为， 把，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 当的值最大时，A、B、P在同一条直线上， ∵P是抛物线上的动点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 此时，．    14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，抛物线的图象与一次函数的图象交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，作交轴于点，点M，N是轴上的两动点（在上方），且满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点向下平移1个单位得到点，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线为新拋物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，S为顶点的三角形和全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）设，则，求出，根据题意求出直线的解析式为，进而求出，再求出，即可求出，列出，利用二次函数的性质即可求出的最大值，得到；此时，将点沿y轴向下平移3个单位得到，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点，易证四边形是平行四边形，可得，再根据对称的性质可得，进而得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，此时重合，最小值为的长，利用两点间距离公式即可求解； （3）由（2）知取得最小值时，，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，进而得到，设点为抛物线的顶点，即，由抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线，为新拋物线的顶点，可得直线与直线平行，求出直线的解析式为，设，再根据在与中为公共边，分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入，可得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：设，则， ∴， ∵，直线的解析式为， ∴设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得为， ∴， 令，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 则， ∴； 此时，将点沿y轴向下平移3个单位得到，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称的性质可得， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时重合，最小值为的长， ∴的最小值为； （3）解：存在， 由（2）知取得最小值时，，且， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∵点向下平移1个单位得到点， ∴， 设点为抛物线的顶点，即， ∵抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线，为新拋物线的顶点， ∴直线与直线平行， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵在与中为公共边， 当时，则，如图， 此时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，解得（符合题意）， 则，即； 当时，则，如图， 则且， ∴且， 解得：或且或， ∴，则，即； 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与线段周长问题、一次函数图象的平移、二次函数图象的平移、平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，综合运用相关知识是解题关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）由题意得，进而可得，，然后把点B、D坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可； （3）如图所示，连接，由题意得，四边形是平行四边形，进而可得，则有，若使的值为最小，则需为最小，即当点三点共线时，的值为最小，然后求最小值，设线段的解析式为，代坐标求解析式，然后求时的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，点坐标为 ∴，A点坐标为 ∴， ∴点坐标为 把点的坐标代入抛物线得： 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在， 由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线 ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称 ∴点坐标为 ∴由两点距离公式可得 设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图1所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； ②当时，如图2所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； 综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或． （3）解：存在， 如图3所示： 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，点坐标为 ∴ ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时， 的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图4所示： ∵点坐标为 ∴ ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段的解析式为，代入点D的坐标得， 解得 ∴线段的解析式为 当时， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，坐标系中两点间的距离公式等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用． 16．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，当取最大值时，求点的坐标以及此时的最小值； (3)如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点坐标为．点是抛物线上一点且位于第一象限，若点到轴的距离是它到直线距离的倍，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入抛物线，得到，运用待定系数法求得直线的函数解析式为．设点，设直线的解析式为，把点P坐标代入，得到直线的解析式为． 令，则，从而，即可得到当时，由最大值，为，此时，．作点关于x轴的对称点，连接，，则，过点作于点H，根据垂线段最短可得．根据的面积求出，即可解答； （3）平移后的函数解析式为，过点E作轴，交于点F，作于点G，设，则，连接，，根据的面积求得，再根据点到轴的距离是它到直线距离的倍，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：把代入抛物线，得， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵直线过点和点， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． 设点， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 令，则， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，为， 此时，． 作点关于x轴的对称点，连接，， ∴， ∴， 过点作于点H， ∴根据垂线段最短可得． ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解∶∵平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的函数解析式为， 过点E作轴，交于点F，作于点G， 设，则， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∵点到轴的距离是它到直线距离的倍， ∴， 解得(不合题意，舍去)或， ∴点E的横坐标为． 【题型3 线段和差的最值（含系数）】 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点．当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）首先求出，再由可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，此时点M和点C重合，如图所示取点关于轴对称点，连接、、，可得，，进而可得，当、、、四点共线时，最小，由此即可求出最小值； （3）首先求出， 进而可得将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线时，点的对应点是的中点，由此确定平移方式，进而确定平移后的新抛物线表达式为，再根据，可得，分两种情况求出的函数表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴将，代入得 解得 ∴； （2）∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设 ∵， 设直线表达式为 则，解得 ∴直线表达式为 ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值 ∴此时， ∴此时点M和点C重合，如图所示， 取点关于轴对称点，连接、、， ∴， 又∵点、是关于抛物线对称轴的对称点， ∴， ∴，当、、、四点共线时，最小， ∵ ∴的最小值为； （3）∵，， ∴， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴点移动到的中点， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵ ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴当点Q在x轴上方时，如图所示，延长交抛物线于点， ∴， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为 设直线表达式为， ∵， ∴，即， ∴设直线表达式为， 联立得，，解得：，（不合题意舍去） ∴点坐标为， 当点Q在x轴下方时，如图所示，在轴负半轴上取点，连接并延长交抛物线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴可得直线表达式为 联立得，，解得：（不合题意舍去）， ∴点坐标为， 综上所述，点Q的坐标为，， 【点睛】此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，构造相等角的方法，解（2）问的关键利用轴对称线段和转化为两定点间的线段和，（2）根据已知条件利用平行或全等构造相等的角． 18．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将此抛物线在轴下方的图像沿轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，若将直线向上平移个单位长度，使得平移后的直线与图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． (3)如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)或 (3)最大值， 【分析】本题考查了二次函数与几何图形的综合问题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，求二次函数的最值，勾股定理，利用割补法表示出的面积时解题的关键． （1）待定系数法求出抛物线的解析式为； （2）先求得，得出当直线的解析式，平移后的解析式为：过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出的取值范围，进而可得答案． （3）连接，再设点，再根据表示，然后根据抛物线的对称性得 ，即可得出二次函数，再配方讨论最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2） 当时，，当时，， 解得， ∴， 设直线为 ∴ 解得： ∴ ∵将直线向上平移个单位长度， ∴ 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为． 当直线过点时，， 解得，； 当直线过点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 将代入， 得， 解得． 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得． ∴平移后的直线与图像有两个公共点时，的取值范围为或． （3）解：∵， ∴， 根据勾股定理，得． 连接，设点， 由，得 ， ． ∵点P与D关于直线对称， ， ， ∴当时，取得最大值，此时点． 19．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】对于（1），将点和代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先求出点B的坐标，再根据求出，则答案可得； 对于（3），先求出直线的解析式，再说明，并作轴，可得是等腰直角三角形，即，然后结合点，是直线下方抛物线上的两动点，且，表示出，，进而得出，最后根据二次函数图象的性质讨论极值得出答案． 【详解】（1）解：把点和代入抛物线中， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得：，， ． ， ， ， ， ， ∴． ∵点在第四象限， ∴， 令得，， ∴点的坐标为； （3）解：设的解析式为：，分别代入， ， 解得：， ∴的解析式为：． ∵，， ∴． 如图2，过点作轴交于， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵点，是直线下方抛物线上的两动点，且， ∴点，，， ∴，， ∴， ， 当时，有最大值，其最大值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形，待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． 20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出直线解析式为，过N作轴于D，设，则，故，判定是等腰直角三角形，得出，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平移法则得到抛物线的解析式为，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得， 解得． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：令，解得，， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 过N作轴于D， ， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； （3）解：存在．理由如下： 原抛物线，对称轴为直线， ∴F的横坐标为， ∵点，点， ∴，， ∴． ∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y， ∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y， ∴抛物线的解析式为． 设点． ①当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． ②当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为； ③当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． 综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 21．综合与探究：如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．是第四象限内抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)当的周长最大时，求点的坐标； (4)的最小值是_____． 【答案】(1) (2)，， (3)点的坐标为 (4) 【分析】（1）利用待定系数法将点和代入即可求得抛物线的解析式； （2）由抛物线的解析式求得点C，分两种情况：当以为边时，平行四边形，设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可；同理可得四边形为平行四边形时，求得点；当以为对角线时，求得点即可； （3）利用待定系数法求直线直线的解析式为，根据点坐标求得为等腰直角三角形，则，可求得的周长为，那么，当最大时的周长最大，设点，则点，有，当时的周长最大，求得点的坐标即可； （4）连接CD，过点B作，且过点D作，在中，，则，当点G、点D和点C共线时取得最小值，有，求得，和，结合计算即可． 【详解】（1）解：将点和代入得 ，解得， 则抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的解析式为， 令，得， 则点， 当以为边时，如图，存在点和， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， 则点； 同理可得四边形为平行四边形时，点； 当以为对角线时，如图，存在点， 同理可得四边形为平行四边形时，点； 故点，，； （3）解：设直线直线的解析式为， 将点和代入得 ，解得， 则直线直线的解析式为， ∵， ∴， ∵轴，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则的周长为， 那么，当最大时的周长最大， 设点，则点， ∴， ∴当时，的周长最大， 则点的坐标为； （4）解：连接，过点B作，且过点D作，如图， 在中，， 则， 当点G、点D和点C共线时取得最小值，此时， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、中点坐标公式、等腰直角三角形的判定和性质、二次函数的最值和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键熟悉二次函数的性质刚和直角三角形的性质，掌握分类讨论方能求的全部的解． 22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可； （2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可； （3）设点P的坐标为，表示，，然后分为为斜边，为斜边或为斜边三种情况，利用勾股定理求出m的值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A在负半轴， ∴点A的左边为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接， 则， 又∵，， ∴， ∴, 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴点C，N，B共线， ∴当时，最小为， 这时， ∴， ∴， 解得，（负值舍去） 即的最小值为． （3）解：， ∵， ∴对称轴为直线， 设点P的坐标为， 则，， ①当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为或； ②当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为； ③当为斜边时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 23．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． (3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或4或 【分析】（1）利用待定系数法，将、坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数，确定抛物线解析式； （2）先求抛物线对称轴与直线解析式，设坐标，通过作辅助线表示出的面积，利用二次函数性质求面积最大时坐标，再结合几何变换与最值原理，通过构造特殊角转化线段，求的最小值； （3）先确定抛物线平移规律得到新抛物线，再分点在上方、下方两种情况，通过构造全等三角形、对称点等方法，结合直线与抛物线联立，求满足条件的点横坐标 ． 【详解】（1）解：已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，A点的坐标是，C点坐标是， 将点A，点C的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：点G在直线上， 设直线的解析式为，将点A，点C的坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 如图，作轴交于N， 设，则， ， ， ，其图象开口向下 当时，的面积有最大值，最大为，此时， 作交于H，交对称轴于G，交x轴于F， 直线的解析式为， ， ， ， 当M、G、F、H四点共线时，的值最小， ，的面积为， ， ， 的最小值为； （3）解：点K的横坐标为或或．理由如下： ，直线的解析式为， ∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线， 在中，当时，，即， 当点K在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于Q，作直线交抛物线于K， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，满足题意， 设直线的解析式为，将点A，点P的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或； 此时点K的横坐标为4或； 如图3，当点K在的下方时，作点P关于直线的对称点R，作直线交抛物线于， 由轴对称的性质可得，， 此时，满足题意， 设，则 ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的横坐标为或， 综上所述，点K的横坐标为或或4或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数最值、几何变换（平移、对称）、全等三角形判定与性质、直线与抛物线联立等，熟练掌握二次函数性质、几何变换及方程思想是解题的关键． 24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或． 【题型4 周长的最值】 25．如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式. (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点P的坐标 (3)存在， 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合及其性质，待定系数法求函数解析式，函数图象中三角形最大面积，轴对称的性质等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）利用一次函数解析式求出点坐标，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴，交于点，假设，则，利用面积公式表示出，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）利用轴对称确定点关于对称轴的对称点为点，连接，交对称轴于点，连接，求出对称轴和点坐标，假设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：直线经过B，C两点．当时，， ∴， 当时，，， ∴， 将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴，交于点， 假设，则， ∴， ， ∵该二次函数的， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 顶点横坐标为，， ∴当时，最大，最大值为， ∴ 所以，面积的最大值为，点P的坐标； （3）解：存在，，理由如下： 如图所示，点关于对称轴的对称点为点，连接，交对称轴于点，连接， 此时，，长为定值，的周长最短， 根据对称轴的公式得，， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴， 当时，， ∴． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为1． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接．设点的横坐标为． 当点在轴上方，为何值时，是等腰三角形； 当点在轴下方，为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)①当时，是等腰三角形；②当时，的周长最大，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点M的坐标，用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立的周长关于的函数关系式，确定出最大值即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， 将点，代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设，则，当点M在x轴上方时，，，是钝角， ∵过点M作x轴的平行线，与直线交于点N， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴当时，是等腰三角形； ②设，则，当点M在轴下方时，，， ∵过点M作x轴的平行线，与直线交于点N， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点是该抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)求，两点的坐标； (3)请在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标； (4)点是轴上一个动点，点作直线交抛物线于点，试探究：随着点的运动，在抛物线上是否存在定点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质； （1）令，解方程求出、的坐标，再令求出点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可； （2）把函数解析式整理成顶点式形式求出顶点的坐标，即可求解； （3）根据轴对称确定最短路线问题，连接，与对称轴的交点即为所求的点，然后求出直线的解析式，再求解即可； （4）分点在点的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点、的坐标关系，用点的坐标表示出点的坐标，然后把点的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 整理得，， 解得，， 所以，点，， 令，则， 所以，点的坐标为， 设直线的解析式为 则， 解得． 所以，直线的解析式为； （2）， 顶点的坐标为， 由（）可得 （3）、关于对称轴直线对称轴， 直线与对称轴的交点即使的周长最小的点， 设直线的解析式为 则， 解得， 所以，直线的解析式为， 当时，， 所以，点的坐标为； （4）直线， 且， ，， 设点的坐标为， 则①若点在轴上方，则点的坐标为， 此时，， 解得 舍去，， 所以，点的坐标为， ②若点在轴下方，则点的坐标为， 此时，， 整理得，， 解得，， 综上所述，点的坐标为：或或 28．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 29．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 30．如图，抛物线的图象与x轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点M作x轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．若点P在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标为，则点P的坐标为，结合二次函数对称性得到点Q的坐标为，点N的坐标为，利用表示出矩形的周长，即可推出当矩形的周长最大时，的值，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点E的坐标，再利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，抛物线的图象过点，， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点的坐标为， 则点P的坐标为， 抛物线的对称轴为直线，， 点Q的坐标为， 点N的坐标为， 则矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长最大，最大值为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 则点E的坐标为， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数最值，图形与坐标，解题的关键在于灵活运用相关知识． 31．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形面积S的最大值为，此时点 【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可； （2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可； （3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值 ∴当点时，有最小值， ∴． （3）解：过点作轴交于点， 设点的横坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合是解题的关键． 32．已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）把，代入，解二元一次方程组即可得b，c的值，令即可得m的值； （2）设设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求解直线的解析式为： 可得 设，再利用勾股定理表示，，，再分三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得． ∴这个抛物线的解析式为：， 令，则， 解得，， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为； ∴对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ∵ ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为： ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴ 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； ③当时，， ∴ 解得：或 ∴点的坐标为或， 综上，所有符合条件的点P的坐标为或或或． 【题型5 面积的最值】 33．已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 34．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点． (1)求和的坐标； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②面积的最大值是8，此时点的坐标是 【详解】（1）解：令抛物线，即， 解得， ∴； （2）解：①∵， 当时，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ②设直线的解析式为：，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限内抛物线上一动点， ∴设，连接，，过点作轴交于点，如图： ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是． 35．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点． (1)抛物线的对称轴是直线 ，k的值是 ； (2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； (3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当点M运动到抛物线的顶点时，的面积最大为8，点M的坐标为 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 把代入 得， ， 故答案为：； （2）解：连接，交对称轴于点， ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为的长，此时点即为所求 对于，令，则， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 设直线的关系式为：， 把，代入 得， 解得， 直线的关系式为， 当时，， 点坐标为； （3）解：如图， 依题意得：当点M运动到抛物线的顶点时，的面积最大． ∵抛物线表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴的最大面积． 36．如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为D．过O作射线．过顶点D平行于x轴的直线交射线于点在x轴正半轴上，连结． (1)求该抛物线的解析式； (2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点P运动的时间为．问：当t为何值时，四边形为直角梯形？ (3)若，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为，连接，当t为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长． 【答案】(1) (2) (3)当时，的面积最小值为， 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 即； （2）解：如图， ∵D为抛物线的顶点， ∴， 作轴于E，则，，， ∴， ∵，轴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，四边形是直角梯形， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴当t等于时，对应四边形是直角梯形； （3）解：存在某个时刻，能够使四边形的面积最小．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∴； 如图2，作轴于F，则， ∴ ， ∵， ∴当时，， 此时，，，， ∴，， ∴． 37．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与轴交于点C，，点P为拋物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线下方时，过点A作交抛物线于点D，连接，，与相交于点E．当的面积最大时，求点P的坐标和面积的最大值； (3)如图2，连接，，直线交y轴于点N，过点B作直线交y轴于点M，求的长度． 【答案】(1) (2)面积的最大值为；此时点P的坐标为 (3)12 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）过点P作轴交于点Q，连接，证明当的面积最大时，的面积最大．得到．设，则．得到．则当时，面积的最大值为．即可求出答案； （3）设．求出直线析式为．得到．得到直线的解析式为．求出的解析式为．得到，得到线段的长度为． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）过点P作轴交于点Q，连接． ∵， ∴． ∴． ∴当的面积最大时，的面积最大． 设直线的解析式为， 解得 ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为． 过点， ∴， 解得， ∴． 令， 解得，． ∴． ∴．        设，则． ∴， ∴． ∴当时，面积的最大值为． ∴面积的最大值为．         此时点P的坐标为． （3）设． ∵，设直线析式为． ∴ 解得 ∴直线析式为． ∴． 同理，得直线的解析式为．    ∵， 设的解析式为． ∵， ∴， 解得． ∴的解析式为． ∴，     ∴线段的长度为． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式、一次函数的图象和性质、二次函数的最值、面积和线段的综合题，数形结合是解题的关键． 38．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)存在，，的周长为 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）连接，交直线于点，则此时的周长最小，求得直线的解析式为，得出，勾股定理求得即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，则，由的面积为，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 解得： ∴此抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交直线于点， ∵关于直线对称， ∴， 的周长为，此时的周长最小， ∵，令，得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长的最小值为：； （3）解：如图，过点作轴，交于点，设，则， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大 当时， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，线段问题，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 39．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)存在，面积的最大值为，点P的坐标为． 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． （1）设函数的解析式为，将B代入求出a值即可； （2）令，求出点A坐标，进而求出直线的解析式，中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，求出点N的坐标即可； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：存在， 函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点N的坐标是； （3）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时四边形的面积最大，最大值为 时，， 在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为． 40．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，则； （3）过点P作轴于点D．设点P坐标为则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接交对称轴于点Q， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 当C、B、Q三点共线时，的周长最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴； （3）解：过点P作轴于点D．设点P坐标为 则 ∴当时，． 此时 所以求面积S的最大值为，P点的坐标． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $