精品解析：山东省聊城市莘县莘州初级中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：青岛版第1章~第2章． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 如图，和位似，原点是位似中心，位似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知且，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 18 D. 21 4. 如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. △ABC中，，是锐角，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6. 如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（ ） A. 100米 B. 200米 C. 米 D. 米 7. 如图，在四边形中，，与相交于点O，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，E是的中点，连接交于点F．若，则的长是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 9. 小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆的影子长，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角，则旗杆的高度是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（ ） A. 2或3.4 B. 或 C. 2或 D. 或3 第Ⅱ卷 二、填空题：(共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)． 11. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高________． 12. 若，则等于_______度． 13. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且 ，则坡面的长度为_________． 14. 如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是______．（只要写一个条件） 15. 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______cm 16. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离________． 三、解答题：共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，，，求的值． 19. 如图，相交于点O，，求证：． 20. 如图，E为上一点，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的． （2）画出绕C点逆时针旋转后得到的． 22. 某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）. 23. 如图，美丽的洛河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小霄在河西岸滨河大道一段上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得，．又已知，求观景台D到洛河西岸的距离（精确到1m）．（，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：青岛版第1章~第2章． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【详解】∵△ABC∽△A′B′C′, ∴ 又∵AB＝8，A’B’＝6， ∴= . 故选B. 【点睛】此题考查相似三角形的性质，难度不大 2. 如图，和位似，原点是位似中心，位似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且都在同一侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比，相似比为，则对应的坐标比也为或，即可解得点的坐标． 【详解】∵和位似，原点是位似中心，位似比为，点的坐标为， ∴点的坐标为(，，即， 故选：A． 3. 如图，已知且，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 18 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；理解平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 解得：， 故选：D． 4. 如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求角的正切值，根据网格特点和正切定义求解即可． 【详解】解：如图，设网格中小正方形的边长为1，则，， ∴， 故选：D． 5. △ABC中，，是锐角，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值与偶次方的非负性，特殊三角函数值，等腰三角形的判定等知识点，解决此题的关键是熟练运用这些知识点．由非负性及特殊三角函数值易得，，即可得到答案． 【详解】解：， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意． 故选：C． 6. 如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（ ） A. 100米 B. 200米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解答本题的关键． 根据山坡的坡度比，即可作答． 【详解】解：∵山坡的坡度为，米． ∴解得：(米)， 则小明上升的高度是100米， 故选：A． 7. 如图，在四边形中，，与相交于点O，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，E是的中点，连接交于点F．若，则的长是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，先根据矩形的性质得，再证明，结合E是的中点，得，故，再根据，，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆的影子长，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角，则旗杆的高度是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，利用正切的定义，可得出，解之即可得出旗杆的高度． 【详解】解：在中，， ， ． 故选：A． 10. 如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（ ） A. 2或3.4 B. 或 C. 2或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：(共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)． 11. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物体与影长成正比例是解题的关键． 【详解】解：设树高是x米，则， 解得：． 故答案为：． 12. 若，则等于_______度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数值，根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 故答案为：15． 13. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且 ，则坡面的长度为_________． 【答案】##10米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的含义是解题的关键．根据正弦三角函数的定义来求解即可． 【详解】解：由题知，，， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是______．（只要写一个条件） 【答案】或或 【解析】 【分析】由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【详解】解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 15. 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______cm 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形对应高的比等于相似比，正确理解相似三角形的性质是解题的关键．先根据正方形对边平行，可证得，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：是的高， ， 在正方形中，， ，四边形是矩形， 令厘米，则厘米， ，解得． 这个零件的边长为厘米． 故答案为：． 16. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据二次根式，负指数幂，非零数的零次幂，特殊角的三角函数值即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，理解和掌握特殊角的三角形函数值的计算，二次根式的运算，负指数幂的运算，非零数的零次幂的运算是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，根据勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得. 则 19. 如图，相交于点O，，求证：． 【答案】 证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】略 20. 如图，E为上一点，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定等知识． （1）先证明，再证明，即可证明； （2）证明，得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的． （2）画出绕C点逆时针旋转后得到的． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转： （1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到的坐标，然后描点连线即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B，C的对应点，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）. 【答案】建筑物的高度为. 【解析】 【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解. 【详解】解：过点作，垂足为.过点作，垂足为. ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，. ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∴，. 根据题意，，， 在中，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，. 又∵， ∴，解得， ∴. 答：建筑物的高度为. 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义. 23. 如图，美丽的洛河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小霄在河西岸滨河大道一段上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得，．又已知，求观景台D到洛河西岸的距离（精确到1m）．（，） 【答案】约为323米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 如图，过点D作于点E．通过解和分别求得的长度，然后根据图示知：，把相关线段的长度代入列出关于的方程，通过解该方程求得的长度即可． 【详解】如图，过点D作于E， ∵在中，， ∴， ∴， 同理，在中，得到， 又∵米， ∴米， 即， 则≈≈323（米）． 答：观景台D到洛河西岸的距离约为323米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $