精品解析：河南省周口市淮阳区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性巩固与提高（1/4） 九年级数学（HS） 测试范围：21.1-22.3 注意事项： 1.本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3.答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 2. 下列根式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. ﹣3 B. 3 C. 0 D. 0或3 7. 如图是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（ ） … 0 1 2 … … 0 6 14 … A. B. C. 或 D. 或 8. 目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为（ ） A. 42 B. 27 C. 12 D. 10 10. 已知实数a，b满足，则的值为（　　） A. 3 B. 5 C. 或5 D. 3或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义的实数x的取值范围是__________． 12. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响），则物体从的高空落到地面的时间为__________． 13. 若关于的方程有实数根，则的值可以是_____（写出一个即可） 14. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 15. 阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0 的解．解决问题：求方程的解为___________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）． 18. 已知，． （1）直接写出，的值； （2）求代数式的值． 19. 已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 20. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B． （1）图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ； （2）图①中阴影部分的面积为 ； （3）乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 21. 东方超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出千克．经市场分析，销售单价每涨价元，月销售量就减少千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价元，请解答以下问题： （1）填空：每千克水产品获利___________元，月销售量减少___________千克； （2）要使月销售利润达到8750元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ （3）月销售利润能否达到10000元，若能，销售单价应涨价为多少元？若不能，请说明理由． 22. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用： （3）在中，，，，那么边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简） 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性巩固与提高（1/4） 九年级数学（HS） 测试范围：21.1-22.3 注意事项： 1.本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3.答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数、常数项分别是，， 故选：A． 2. 下列根式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．中被开方数为无意义，故A不符合题意； B．是二次根式，故B不符合题意； C．当时，是二次根式，故C不符合题意； D．是5的立方根，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义和有意义的条件，一般地，形如的代数式叫作二次根式，其中a叫作被开方数． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，分母有理化，熟知二次根式的四则运算法则和分母有理化法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、原式计算正确，符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 5. 若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 6. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. ﹣3 B. 3 C. 0 D. 0或3 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟记一元二次方程的解的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解）是解题关键． 7. 如图是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（ ） … 0 1 2 … … 0 6 14 … A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或． 故选：D． 8. 目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意，得：； 故选A． 9. 一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为（ ） A. 42 B. 27 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．先根据2个正方形的面积求出两个正方形的边长，再分别求出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：． 故选：C． 10. 已知实数a，b满足，则的值为（　　） A. 3 B. 5 C. 或5 D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程变为，解这个方程即可求得的值． 【详解】解：设， 原方程变为：， ， 解得：， 因为平方和是非负数， 所以的值为5； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义的实数x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且x≠0， 解得且x≠0， 故答案为且x≠0． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，熟记分式有意义的条件是解题的关键． 12. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响），则物体从的高空落到地面的时间为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意熟练掌握二次根式的性质．将，代入公式进行求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 13. 若关于的方程有实数根，则的值可以是_____（写出一个即可） 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况结合根的判别式得出关于的关系式，然后进一步求解即可. 【详解】∵关于的方程有实数根， ∴， ∴， ∴要使原方程有实数根，可取的值为4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 14. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由n为正整数，也是正整数，知3n是一个完全平方数，从而得出结果． 【详解】解：n为正整数，也是正整数， 则3n是一个完全平方数， 所以n的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数． 15. 阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0 的解．解决问题：求方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可． 【详解】解：∵x3−10x＋3＝0， ∴x3−9x−x＋3＝0， x（x2−9）−（x−3）＝0， （x−3）（x2＋3x−1）＝0， ∴x−3＝0或x2＋3x−1＝0， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法即可解答； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 17. 解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知，． （1）直接写出，的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意，利用合并同类二次根式的法则和平方差公式计算即可得解； （2）利用完全平方公式变形计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，． ∴；； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ． 19. 已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【答案】（1） 证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）7． 【解析】 【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论． （2）运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根， 即以3为底，则，为腰， ∴以3为底，，为腰能构成等腰三角形， ∴周长 ∴等腰三角形的周长为7． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 20. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B． （1）图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ； （2）图①中阴影部分的面积为 ； （3）乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， ∴阴影部分宽为， ∴阴影部分面积为， 故答案为：6； 【小问3详解】 略 21. 东方超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出千克．经市场分析，销售单价每涨价元，月销售量就减少千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价元，请解答以下问题： （1）填空：每千克水产品获利___________元，月销售量减少___________千克； （2）要使月销售利润达到8750元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ （3）月销售利润能否达到10000元，若能，销售单价应涨价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）15元 （3）不能达到 【解析】 【分析】（1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而利用销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，得出月减少的数量； （2）利用每千克水产品获利×月销售量=总利润，进而求出答案； （3）利用每千克水产品获利×月销售量=总利润，进而判断即可． 【小问1详解】 由题意可得：每千克水产品获利元，月销售量减少千克； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意可列方程：， 化为：， 解得：， 因为又要“薄利多销”， 所以不符合题意，舍去． 答：销售单价应涨价15元． 【小问3详解】 由题意可列方程： 整理得：， ， 故此方程无实数根； 答：月销售利润不能达到10000元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题关键． 22. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用： （3）在中，，，，那么边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式变形即可得到答案； （2）根据完全平方公式变形即可得到答案； （3）根据勾股定理进行求解，再根据完全平方公式变形即可得到答案； 【详解】（1），． ，， ，， ． （2）． ，， ，， ，， ． （3）． ， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，解题关键是根据已知条件找到根式转变完全平方的规律． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，的长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $