精品解析：黑龙江省大庆市肇源县西部五校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度上学期联考 初四数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，将绕点E旋转得，则四边形一定是 A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 下列判断正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的菱形是正方形 5. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是矩形，则原四边形必须满足条件（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 8. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论： ①；②；③；④，其中正确的是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上）． 11. 如图，要使是菱形，需添加的条件是________． 12. 已知a、b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2+ab+2a的值为_____． 13. 已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为2，则另一条对角线的长为________． 14. 已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________． 15. 已知是关于x的方程的一个根，则________． 16. 一个等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 17. 如图，已知在矩形中，于点E，，则的度数是________． 18. 如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若，，则的最小值为___________． 三、解答题： 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）当点O运动到________时，四边形是矩形． （3）进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ 22. 某中学开展以“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级，八年级，九年级分别在12日，13日，14日进行植树活动．七年级学生在12日种植了25棵树苗，九年级学生在14日种植了49棵树苗．已知每天植树的增长率相同．求平均每天植树的增长率． 23. 如图矩形中，对角线，E为边上一点，，将矩形沿所在的直线折叠，B点恰好落在对角线上的处，求长． 24. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 25. 杭州亚运会顺利召开，吉祥物江南忆公仔爆红．市场调查发现，某一间店铺江南忆公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 26. 设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 27. 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期联考 初四数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程，逐一分析选项． 【详解】A． 方程形式为，但未明确，若则不是二次方程，不符合题意． B． 方程含两个未知数和，属于二元方程，不符合“一元”条件，不符合题意． C． 方程是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意． D． 方程含分式，不是整式方程，不符合题意． 故选C． 2. 如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，将绕点E旋转得，则四边形一定是 A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的证明，熟练掌握矩形证明的基本方法是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答： 【详解】∵绕点E旋转得， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵，点D是边的中点， ∴． ∴四边形为矩形． 故选：A． 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程配方变形后得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 配方得：， 变形得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4. 下列判断正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定，需根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一分析选项． 【详解】选项A：对角线相等的四边形不一定是矩形．矩形的判定要求“对角线相等的平行四边形”，而普通四边形（如等腰梯形）对角线也可能相等，故A错误． 选项B：对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形．正方形需满足对角线垂直、相等且平分，同时四边相等，而选项未说明是否为平行四边形，故B错误． 选项C：对角线垂直的四边形不一定是菱形．菱形的判定要求“对角线垂直的平行四边形”，普通四边形仅对角线垂直无法保证四边相等，故C错误． 选项D：菱形的对角线垂直且平分，若其对角线相等，则四个角均为直角，符合正方形的定义，故D正确． 故选D． 5. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 6. 如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是矩形，则原四边形必须满足条件（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由三角形中位线的性质可得出，，即证明四边形为平行四边形，即当有一个角为直角时，即证明四边形是矩形．结合平行线的性质得出当时，， 即此时四边形是矩形． 【详解】如图，连接， ∵E，F，G，H分别是的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当有一个角为直角时，即证明四边形是矩形． ∵当时，， ∴当时，四边形是矩形． 故选D． 【点睛】本题考查矩形的判定，三角形中位线的性质．正确连接辅助线是解题关键． 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等．根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而可求出，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点，分别是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 8. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，以及二次根式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 10. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论： ①；②；③；④，其中正确的是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质等知识，过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明在此基础上，通过等量代换可证明③，在中，，求得结论④正确，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过作于点，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，故③符合题意； 如上图，延长交于点， ∴， ∵， ∴，即，故②符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， 故④符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上）． 11. 如图，要使是菱形，需添加的条件是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：或． 故答案为∶ 或 12. 已知a、b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2+ab+2a的值为_____． 【答案】0 【解析】 【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两根是，则掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 13. 已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为2，则另一条对角线的长为________． 【答案】2或6． 【解析】 【详解】试题分析：因为菱形的一个内角为60°，所以菱形短的对角线与两邻边形成等边三角形，当2为短的对角线长时，菱形边长是2，短的对角线一半是，由勾股定理得较长的对角线一半是3，所以另一条对角线为6；当2为较长的对角线时，其一半是，短的对角线一半就是÷=1，所以另一条对角线长就是2，综上所述，另一条对角线的长是2或6． 考点：1．菱形性质；2．直角三角形计算． 14. 已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：设矩形的长为xcm，则宽为（x﹣2）cm，由题意得：x（x﹣2）=8，解得：x=4，即可得矩形的长为4cm，宽为2cm，故矩形周长=12cm．故答案为12． 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，关键是设出未知数，利用面积得出x的值． 15. 已知是关于x的方程的一个根，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入可得答案． 【详解】∵是关于x的方程的一个根， ∴． 故答案为：0 16. 一个等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】16或17 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形的定义等知识，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到答案． 【详解】解：， ， 或， ，， 等腰三角形的腰为5，底边为6时，等腰三角形的周长为， 或等腰三角形的腰为6，底边为5，等腰三角形的周长为， ∴该等腰三角形的周长是16或17， 故答案为：16或17． 17. 如图，已知在矩形中，于点E，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由四边形是矩形，则，，，，根据，得，，又，则，然后由三角形内角和定理得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 18. 如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得知A，C关于BD对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知AM为的最小值． 【详解】解：四边形ABCD为菱形， A，C关于BD对称，， 连接AM交BD于P， 则， 根据两点之间线段最短，AM的长即为的最小值， ，， 为等边三角形， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称——最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及等腰三角形的性质，转化为两点之间线段最短的问题来解． 三、解答题： 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各求解方法． （1）利用开平方法进行解一元二次方程即可； （2）利用配方法进行解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法进行解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法进行解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ∴； 【小问3详解】 解： ∴或 ∴； 【小问4详解】 解： ∴． 20. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由证明作答即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）当点O运动到________时，四边形是矩形． （3）进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ 【答案】（1）见解析 （2）当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形 （3），详见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键： （1）根据角平分线+平行线模型容易证明，根据等角对等边可得，同理可得，由此即可得出； （2）当O为中点时，结合（1）可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，邻边相等的矩形是正方形． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴. 【小问2详解】 解：当点O在边上运动到边中点时，四边形是矩形，理由如下， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形， 故答案为：边中点． 【小问3详解】 解：当的，且O在中点时，四边形是正方形，理由如下， 由（2）得，四边形是矩形， ∵，，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 22. 某中学开展以“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级，八年级，九年级分别在12日，13日，14日进行植树活动．七年级学生在12日种植了25棵树苗，九年级学生在14日种植了49棵树苗．已知每天植树的增长率相同．求平均每天植树的增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每天植树的增长率为，利用九年级学生在14日植树的棵数七年级学生在12日植树的棵数平均每天植树的增长率，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 【详解】解：设平均每天植树的增长率为x， 根据题意得：， 解得：， (不符合题意，舍去)． 答：平均每天植树的增长率为． 23. 如图矩形中，对角线，E为边上一点，，将矩形沿所在的直线折叠，B点恰好落在对角线上的处，求长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和翻折问题，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关的知识．先根据折叠得出，且，可知是直角三角形，证明，得出，从而得出，即可求出的长． 【详解】解：由折叠得：，， ， ， ， ，， ， ，即， ， ∵ ∴． 24. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 【答案】 （1）证明：如图，∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； ∴AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝DC＝BC， ∴四边形ADCF是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形； （2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案． 【详解】（1）证明：略； （2）解：连接DF， ∵AF∥BC，AF＝BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S＝AC•DF＝10． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键． 25. 杭州亚运会顺利召开，吉祥物江南忆公仔爆红．市场调查发现，某一间店铺江南忆公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得到答案． 【详解】解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意得： ∴， 整理得：， 解之得：，， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降价元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26. 设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 ∵， ∴ ． 27. 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，的面积为． （2）不存在t使为等腰三角形，理由： 由题意可得：，，， ∴， ∵为钝角三角形；且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴不存在t使为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程并检验即可； （2）由题意可得：，，，可得，由为钝角三角形；且为等腰三角形，可得，建立方程，再利用方程根的判别式可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴不符合题意，则， ∴当时，的面积为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，利用图形面积与等腰三角形的性质建立方程求解是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $