2025-2026学年北师大版九年级上学期数学期中重难点特训之易错压轴题型（28易错+11压轴）

九年级上学期数学期中重难点特训之易错压轴题型（28易错+11压轴） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、菱形的判定 1．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用平行四边形的性质和题中条件证明，可得，进而可证明四边形是菱形． 【详解】在中，， 由题知，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 2．（24-25九年级上·福建·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接． (1)根据条件与作图信息知四边形是 ； A．非特殊的平行四边形      B．矩形       C．菱形       D．正方形 (2)设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及菱形的性质是解答此题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形得出，证明，得出四边形是平行四边形，再由即可得出结论； （2）先根据菱形的周长求出其边长，再由得出，根据勾股定理求出的长，再由菱形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：平分， ， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：C； （2）解：∵四边形是菱形，且周长为16， ∴．垂直平分， ∵， ∴． ∴， ∴． 易错必刷题二、菱形的性质 3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是利用这些性质和判定解决问题． （1）由题意可得四边形是平行四边形，由平分，可得，则结论可得 （2）连接交于点；则于点．由题意可得，，，可得的长即可求的长． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，即 ， ， ∴四边形为平行四边形， 平分， ， ∵， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点，    ∵四边形为菱形， ∴，， ，， ， ∵菱形的周长为， ， 在中， ， 由勾股定理可得：， ． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在菱形中，是对角线上一点，点在的延长线上，，交边于点． （1）求证：； 【问题探究】 （2）当时，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2） 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由菱形性质得出，，再证明，结合边的等量代换，即可作答． （2）由全等三角形的性质得出以及等边对等角，得出，结合菱形性质，则，即可证明是等边三角形，则． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 易错必刷题三、菱形的面积计算 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图．菱形的边长为，，对角线，交于点．求： (1)菱形的两条对角线长； (2)菱形的面积． 【答案】(1)菱形的对角线长， (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，熟练掌握菱形的各种性质是解题关键． （1）利用菱形的性质求得是等边三角形，由勾股定理求出的长，即可求得两条对角线长； （2）利用菱形的面积等于其两条对角线的乘积的一半即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，边长为， ，， ， ， 是等边三角形， ， ∴在菱形中，， 在中，， ， ∴在菱形中，． 菱形的对角线长，． （2）解：菱形的面积． 6．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （2）解：， 在中，，， ∴菱形的面积 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若交于点，且，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质及角平分线的定义证出，得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理可得出结论； （2）由直角三角形的性质，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 同理，平分， ， 又， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：菱形中，，，， ，，， ． 易错必刷题四、矩形的判定 8．（24-25八年级下·广西河池·期中）在平行四边形中，，，．求证： (1)求四边形的面积； (2)． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，熟练掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形的判定方法是本题解题的关键． （1）通过已知条件得到在中满足勾股定理逆定理，得到，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形从而证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求出矩形面积． （2）通过第一小问证出四边形是矩形，通过矩形的性质得到矩形的对角线相等即可得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 它的面积是． （2）由（1）可知平行四边形是矩形， ∴． 9．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，平分，交于，平分，交于． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可证明，再由角平分线的定义推出，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，由平行四边形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，再由三线合一定理得到，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形想平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形想平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴平行四边形是矩形． 易错必刷题五、矩形的性质 10．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，即可得出答案； 对于（2）根据菱形得性质得，再根据勾股定理得，进而得出，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形是矩形， ∴. 在中，由勾股定理得：. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，理解特殊平行四边形之间的关系是解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法． 易错必刷题六、矩形的折叠问题 12．（24-25八年级下·全国·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，等角对等边，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，则由平行线的性质和折叠的性质可证明，据此可证明； （2）由矩形的性质得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 【答案】(1)15 (2)①2；②的长为或． 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解； （2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果； ②分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠知， ∴， ． 如图1，过点作于点， ， ； （2）解：①如图2， 由折叠知， ． ， ． 又，， ， ， ， ； ②如图3，当点在边上时， 设，则，， ， ； 如图4，当点在边上时， 设，则，， ， ． 综上所述，的长为或． 易错必刷题七、正方形的判定 14．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形与正方形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可； （2）根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，得到只需，且，再利用四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：且，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是正方形． 16．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，正方形的判定，勾股定理等，灵活的选择判定定理是解题的关键． （1）连接，交于点O，根据菱形的性质，再结合，说明四边形是菱形，然后根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据正方形的性质求出 ，即可求出，再根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与垂直且互相平分， ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形； （2）解：∵菱形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 易错必刷题八、正方形的性质 17．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）过P分别作于E，于F，根据角平分线的性质，可得，可证得，即可； （2）先证得四边形是正方形，根据，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：过P分别作于E，于F， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 易错必刷题九、正方形折叠问题 18．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等．借助进而通过中位线的判定可以快速证明结论． （1）根据题意易得和，然后由即可证明结论； （2）由（1）的结论，得，,由，得，进而可得，得，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：根据翻折的性质，，， 又，，， ，， 在和中，， ． （2）证明：如图，连接，交于点． 由（1）知， ，, 又， ， ， ， ， 点为中点． 易错必刷题十、中点四边形 19．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．    (1)这个中点四边形的形状一定是______； (2)若，证明四边形是菱形． 【答案】(1)平行四边形 (2)见解析 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，根据平行公理得出，同理得出，即可得出答案； （2）先根据中位线性质证明，，得出四边形为平行四边形，再根据，得出，证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：连接、，如图所示：    ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． （2）证明：如图，连接、， E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，， ，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形．    【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 易错必刷题十一、一元二次方程的相关概念 20．（25-26九年级上·福建漳州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，但不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A ． 21．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 22．（24-25九年级上·湖南·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 易错必刷题十二、一元二次方程的解法 23．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)，； (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解法、公式法等． （1）方程，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解； （2）方程，尝试用因式分解法求解； （3）方程，用公式法求解； （4）方程，把看成一个整体，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：（1），即， 或， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， 设，则方程变形为， ， 即， 或， 或， 则或， 解得． 24．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)原方程没有实数根 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用配方法解方程． 【详解】（1）解： 因式分解得： 所以或 解得： （2）解： 整理得： 分解因式得： 即 所以或 解得： （3）解： 方程整理得： 配方得： 即 ∴原方程没有实数根． 25．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：， ， 化简，得 解得： （2）解：， 解得： （3）解：， 解得： 易错必刷题十三、配方法及其应用 26．（24-25九年级上·广西钦州·期中）把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 27．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，将配方得出，从而可得，，代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵把一元二次方程化为， ∴，， ∴， 故答案为：． 28．（24-25九年级上·江西抚州·期中）阅读：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．请阅读下面两个材料，并解决下面的问题． 材料一：等式配方： 已知，求的值． 解： ∴ ∴ 材料二：代数式配方： 把可配方成的形式． 解： 解决问题： (1)把可配方成的形式，则_____， ______； (2)若，且x、y是菱形的两条对角线的长． ①求x、y的值； ②求菱形的边长． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题考查了配方法的应用及菱形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解答即可； （2）①把配方，根据非负数的性质得到x、y的值； ②根据菱形性质求出边长即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）①， ， ， ， ； ②∵x、y是菱形的两条对角线的长， ∴菱形的边长． 易错必刷题十四、根据一元二次方程根的情况求参数 29．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． （1）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可； （2）直接把代入方程求出m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）根据题意，将x=1代入方程， 得：， 解得：． 30．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）把代入方程求出a即可． （2）由题意可得，根据不等式即可解决问题． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得； （2）解：∵方程有实数根， ∴且，即且， 解得：且， ∴满足条件的正整数a的值为． 易错必刷题十五、换元法 31．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体， 设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想． 类比应用：运用上述方法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程化为：，得出方程的解，当时，当时，代入原方程即可求解，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的一般步骤． 【详解】解：设，则：， 原方程化为：， 解得：，， 当时，，即：， 解得：，， 当时，，即：（舍去）， ∴原方程的解为，． 易错必刷题十六、一元二次方程根与系数的关系 32．（24-25八年级下·广东湛江·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； 【答案】(1)；方程另一个根为； (2)． 【分析】此题考查一元二次方程的解，根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答． （1）把已知的方程的根代入可求实数的值及另一个根； （2）根据根的判别式大于0，可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：因为方程有一根为， 所以有， ， 因为， 又因为， 所以， 故方程另外一个根为； （2）解：因为方程有两个不等的实数根， 所以，即， 解得． 33．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程总有两个实数根？ (2)若原方程的两个实数根的积为，求m的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （）利用根与系数的关系，解方程即可解题． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程总有两个实数根， 且， 且. （2）解：设原方程的两个实数根分别为和， 由题意，得， 根据一元二次方程的根与系数的关系，得， ， 解得． 经检验，是方程的解． 34．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【答案】(1)详见解析 (2)k的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式列出关于k的式子． （1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，利用，即可得到k的值． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即k的值为． 易错必刷题十七、一元二次方程实际应用 35．（24-25九年级上·湖北·期中）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 根据题意可得种植田的长为米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为米对求出的根进行取舍． 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米． 36．（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为 (2)这种玩具应降价2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 37．（24-25八年级下·安徽·期中）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 【答案】(1) (2)10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据商场获利1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价10元时，商场获利1250元． 易错必刷题十八、概率问题 38．（24-25九年级上·贵州·期中）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是， 故答案为：； （2）解：令微信、支付宝、现金三种支付方式分别为，列表如下： 由表可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 39．（24-25九年级上·天津河东·期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“校园安全”主题的概率为______； (2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． （2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 40．（24-25九年级上·福建三明·期中）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率． 【答案】(1)共有4种情况，见解析 (2) 【分析】本题考查了列举随机实验的所有可能结果，利用画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握利用画树状图或列表法求概率并能熟练运用求解． （1）由题意计算即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，和为可以到达点C，有3种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有4种情况， 即，，，； （2）画树状图如下： 共有种等可能的结果，和为可以到达点C，有3种结果， ∴棋子最终跳动到点C处的概率为． 易错必刷题十九、比例线段 41．（24-25九年级上·浙江·期中）已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查的是比例的性质； （1）设，得出，再代入计算即可； （2）根据（1）得到，代入求出k的值，再代入求出a，b，c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 易错必刷题二十、黄金分割 42．（24-25九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 43．（25-26九年级上·全国·期中）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，，， ∴， ∴， 即叶片的长度为， 故答案为：． 44．（2025·山西长治·二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ， 因为， 所以． 故选：B． 易错必刷题二十一、平行线分线段成比例 45．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 46．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 易错必刷题二十二、相似多边形 47．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．根据相似多边形的性质求解即可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，且它们的相似比是， ， ∵，， ， 解得，． 易错必刷题二十三、相似三角形的判定 48．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 49．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 50．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由是的中线可得，即，结合可得从而得证； （2）由（1）可得对应边成比例，从而求出，根据勾股定理即可求出，再由可得，代入数据即可求出． 【详解】（1）证明：是的中线， 即， ， ， ， ； （2）， ，即， 解得， 是的中线， ， ， ， ，即， 解得． 易错必刷题二十四、相似三角形的性质 51．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图， 在平行四边形 中，， 交 于点 ． (1)求证：； (2)如果的面积为， 求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定， （1）根据平行四边形的性质可得，进而即可得，进而即可判定； （2）根据，求得，进而根据面积比等于相似比的平方即可求得的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∵的面积为， ∴的面积为． 52．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． (1)当点P恰好为中点时， mm． (2)若矩形的周长为220mm，求出的长度． 【答案】(1)60 (2)20 【分析】对于（1），根据相似三角形的性质，可得到； 对于（2），根据可得，进而得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长． 【详解】（1）解：∵P为中点，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：60； （2）解：∵四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴. ∵矩形的周长为， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 53．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求解； （）由得到，求得，利用勾股定理可得，再证明即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题二十六、重心的问题 54．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为的重心，的面积为，连接并延长交于点F，求面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）根据角平分线以及线段垂直平分线的作法画图即可； （2）根据重心的性质进行计算即可． 【详解】（1）作的角平分线与线段的垂直平分线的交点即为点， （2）根据题意可得：点D为的重心， ． 易错必刷题二十七、相似三角形的实际应用 55．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 56．（2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】(1)， (2)43 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度． 【详解】（1）由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； （2）对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 57．（2025·河南周口·三模）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中， ，上都有相同单位的刻度，可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度 ． 如图（），小明站在自动扶梯的底部处，让测量工具的 平行于地面，的延长线交于点，滑动 使，，在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点， 滑动 ， 使，，在同一条直线上，此时．小明的 身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精 确到） 【答案】建筑物的高度约为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意可得， ∴即， ∴ 同理可得 ∴即 ∴ 解得： ∴ 答：建筑物的高度约为米 易错必刷题二十八、图形的位似问题 58．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为，并写出点，，的坐标． (2)若点P在内部，且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． 【答案】(1)作图见解析，；； (2) 【分析】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求 由图可得：，，； （2）解：变化后的对应点的坐标． 故答案为：． 59．（25-26八年级上·安徽·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． (1)点的一对“相伴点”的坐标是______与______； (2)若点的一个“相伴点”的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查的知识点是理解新定义，解二元一次方程组，解题关键是注意分情况讨论，不能丢解． （1）结合“相伴点”定义即可得解； （2）分两种情况列出方程组，再求出解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， 点的一对“相伴点”的坐标是与， 故答案为：，； （2）解：设点， 点B的一个“相伴点”的坐标为， 或， 或， 或． 60．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，小华利用网络画板在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)与的位似中心的坐标为___________； (2)以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为． 【答案】(1) (2)如图所示 【分析】本题考查了位似图形的定义与作图． （1）根据位似图形的对应点的连线交于一点，该点即为位似中心即可求解； （2）根据位似图形的定义和作图方法即可作出图形． 【详解】（1）解：与的位似中心为点M， 位似中心的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图所示． ． 压轴满分题一、菱形、矩形、正方形的存在性问题 61．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)从运动开始，存在某个时间，使得四边形恰好为正方形，运动时间为8秒 【分析】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质的应用，综合性较强，难度适中． （1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，如图： ∴， ∴， 所以当时，四边形是正方形． 62．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式可得n的值，进而可求解点B坐标； （2）由中点公式得点，则有直线的表达式为：，设点，则点，然后根据题意分类讨论进行求解即可； （3）设，点，而点、的坐标分别为、；由题意可分当是矩形的边时，当是矩形的对角线时，然后结合两点距离公式及中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 故直线的表达式为：， 令，则， ∴点； （2）解：点为线段的中点， 则由中点公式得，点，即， 设直线的表达式为：，则有：， ∴， 则直线的表达式为：， 设点，则点， 当点在轴右侧，且在点右侧时， ； 当点在轴右侧，且在点左侧时， ； 当点在轴左侧时， 同理可得：；故或； （3）解：设，点，而点、的坐标分别为、； ①当是矩形的边时， 则点与点A重合，故点，故点； ②当是矩形的对角线时， 由中点公式得：且①， 由矩形的对角线相等得：，即②， 联立①②并解得：， 故点，； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握中点坐标公式及一次函数的图象与性质是解题的关键． 63．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，则所有满足条件的点N的坐标为___________． 【答案】(1)或4 (2) 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分点P在点A的左侧，点P在点A的右侧，两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （2）分为边，或为对角线，不同情况画出图形，由菱形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：若点P在点A的左侧，四边形为平行四边形，， 由题意得， 解得， 若点P在点A的右侧，四边形为平行四边形，， ， 解得， 综上：或4时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形． （2）解：点坐标为，理由： 点， ， ， 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，点N的坐标为． 故答案为： 压轴满分题二、特殊平行四边形的综合问题 64．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． 如图，在正方形中，，是对角线上两点，，将绕点顺时 (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度． （1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证； （2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由(1)得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 65．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，点E为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度，点B、E的对应点分别为点． (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，见解析；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当时，与E重合，最短；当落在的延长线上时，，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ； （3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 66．（25-26九年级上·江西九江·期中）综合与实践 在综合与实践课上，八年级某兴趣小组的三位同学对含角的菱形进行了如下探究． 【背景】 如图，在菱形中，，作，，分别交边，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系：_____． 【探究】 （2）如图2，当为边上的任意一点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）若，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，详见解析；（3）的值为2或4． 【分析】本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． （1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；再证明，即可得到； （2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，证明，即可得到； （3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出，根据勾股定理求出，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴， ∵是边的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）仍然成立，理由如下： 连接， 同理和是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， 由（2）知， ∴， 当点在线段上， ∴； 当点在线段上， ∴； 综上所述，的值为2或4． 压轴满分题三、特殊平行四边形的动点问题 67．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图①，正方形中，点是边上的动点（不与正方形顶点重合），，与相交于点．设长为，长为，与的函数图象如图②所示，图象经过点． (1)结合函数图象，直接写出的长为___________； (2)连接，当时，直接写出的值___________； (3)在（2）的条件下，连接，直接写出的长为___________． 【答案】(1)5 (2) (3)5 【分析】（1）通过证明，得到，根据函数图象可得当时，，即可求出的长； （2）通过证明，得到，结合（1）中的结论有，求出此时的长，即可得出答案； （3）延长与交于点，通过证明，得到，得到，再利用全等三角形和直角三角形的性质得到，再利用斜边中线定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵与的函数图象经过点 ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：5； （2）解：如图， ∵正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：； （3）解：如图，延长与交于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、动点问题的函数图象，在图中正确找出全等三角形是解题的关键． 68．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，是以为直角边的等腰直角三角形，． (1)求点坐标； (2)点在直线上，，求点坐标； (3)点是线段上的一个动点（点、除外），试探索在轴的上方是否存在另一个点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】此题主要考查一次函数与几何图形、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，主要掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． （1）过点作轴于点，证明，即可求得和的长，则的坐标即可求得； （2）设与直线交于，求得点的坐标，根据点在直线上，设，根据，列出方程，解方程即可求解； （3）分当时；当时两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点、， 当时，，当时，， ， 如图1，过点作轴于点， ， ， 又中，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点的坐标为； （2）解：设与直线交于， 由，当时，， ， 点在直线上，设， ， ， ， 即， 解得：或， 或． （3）解：存在． ①如图2，当时，四边形为菱形． 则在的中垂线上，则的纵坐标是， 把代入中，得， 即的坐标是， 则点的坐标为． ②如图3，当时，四边形为菱形． 设， ， ， 解得：或（舍去），则点的坐标为， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 69．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：正方形，点是对角线所在直线上的动点，点在边所在的直线上，且随着点的运动而运动，总成立． (1)如图1，当点在对角线上时，请你猜想与有怎样的数量关系，并证明； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)如图2，当点运动到的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时与有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)（1）中猜想的结论成立，证明见解析 (3)图形见解析；结论：①，②．理由见解析 【分析】（1）证明，可得，即可解答； （2）证明，可得，即可解答； （3）根据题意补全图形，设交于J．证明，可得，再结合，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中猜想的结论成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示：结论：①，②．理由： 设交于J． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 70．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以为一边在第二象限内作正方形，为边上的一个动点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，斜边交于，连接． (1)求点的坐标； (2)如图2，当为的中点时，连接， ①求的长； ②线段上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①5；②存在， 【分析】（1）由题得，所以； （2）①坐标系中有等腰直角斜放则构造三垂直全等，进而可求坐标，进而求出解析式，得到坐标，即可得解； ②过作轴于点，过作轴于点，过作于点，通过平行线得，所以，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 四边形是正方形， ， ； （2）①过作轴于点，则， 是中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线解析式为，将代入得， ，解得， 直线．解析式为， ， ，解得， ， ， 在中，； ②如图，过作轴于点，过作轴于点，过作于点， 由可得直线解析式为， 设，则， 由辅助线可知四边形、四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 等腰直角三角形， ， ， 解得， ，即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理一次函数和几何综合、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 压轴满分题四、换元法压轴 71．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)14或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，换元法解分式方程，公式法因式分解，将原式进行正确的换元是解题的关键． （1）设则原方程化为即可． （2）设，则原方程化为，解方程检验即可； （3），从而得到关于a的一元二次方程，解方程并代入求值即可． 【详解】（1）解：若方程，设，则原方程可化为， 故答案为：； （2），设， 则原方程可化为， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． （3）设， 则原方程为， ， ， ， 当时，， 当时， 压轴满分题五、一元二次方程根与系数的关系压轴 72．（25-26九年级上·广东·期中）已知关于的方程 (1)求证：无论取何实数，这个方程总有实数根； (2)若这个方程的两个实根、满足，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． 首先把方程整理为一般形式，可得：，根据一元二次方程根的判别式可得：，根据平方的非负性质，可得：，从而可证结论成立； 利用一元二次方程根与系数的关系，可得：，因为，可得：，解方程求出的值即可． 【详解】（1）证明：， 整理得：， 其中，，， ， 根据平方的非负性质可知，， 无论取何实数，这个方程总有实数根； （2）解：方程的两个实根、， 则，， ， ， ， 可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：或． 73．（25-26九年级上·山东济宁·期中）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数 (3)或 【分析】（1）根据定义解答即可． （2）解方程，根据根与系数关系定理解答即可． （3）根据结论，结合方程解的定义解答即可． 本题考查了新定义，根与系数关系定理，方程解的定义，熟练掌握新定义，根与系数关系定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：已知一元二次方程的两根为， 解方程得， 故答案为：； 由方程的两根；，“友好方程”的两根， 则，， 故． 故方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数． 故答案为：互为倒数． （3）解：关于x的方程的两根是． 故方程的两根是， 故方程的两根是， 又， 故， 故是方程的根． 故或， 解得或， 故关于x的方程的两根为或． 74．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）【阅读材料一】若关于的一元二次方程（）的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系． 【阅读材料二】已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两根为、，则____________； (2)【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①证明：不论为何值，方程总有实数根； ②若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． (3)【思维拓展】已知实数，分别满足，，其中且，求的值． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解． （1）根据根与系数的关系进行计算即可； （2）①证明即可； ②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后根据完全平方公式变形求值即可； （3）把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，可得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）①证明：∵ ， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 整理得， 解得：； （3）解：把，两边同时除以得：， 则实数s和可看作方程的根， ∴，， ∴． 压轴满分题六、一元二次方程的实际应用压轴 75．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．虽然在几何图形的值不能取负数，但事实上，只要开平方得，即． 【理解应用】参照上述图1的方法，请在图2的三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是___________．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】利用上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据），并求解该方程． 【拓展应用】对于形如的一元二次方程，若可以通过由四个面积为3的相同矩形、中间围成的正方形面积为4构成的图形进行求解，求系数和的值，并求出方程的解． 【答案】【理解应用】②；【类比迁移】图见解析，；【拓展应用】；当时，，当时， 【分析】本题考查整式乘法与几何图形，解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． [理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． [类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案． [拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】解：【理解应用】变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； 【类比迁移】 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程， 解得原方程的根为； 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程， 解得原方程的根为； 【拓展应用】∵ ∴， ∴小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴， 解得，， 当时，， ∴，即； 当时，， ∴，即． 76．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）数学活动的内容是：三角点阵中前n行的点数计算． 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点， 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，你能发现200是前多少行的点数的和吗？你能用一元二次方程解决这个问题吗？ 针对活动内容，请你回答下列问题： (1)三角点阵中前n行的点数的和能是200吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理． (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是240吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)能， 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，图形类规律探索，解一元二次方程，正确找到图形的规律是解题关键． （1）通过对前4、5、6、7行的点数和进行分析，总结出点数和与行数的规律就能判断前n行的点数的和能否是200； （2）借助（1）中总结的点数和与行数的规律，将点数替换得出新的规律，判断前n行的点数的和能否是240． 【详解】（1）解：前4行的点数和为10，前5行的点数和为，前6行的点数和为，前7行的点数和为， 找出规律，，，， 则前n行的点数和为， 假设三角点阵中前n行的点数的和能是200，则， 即，解得， 由于为无理数，n不可能为整数，故前n行的点数的和不能是200． （2）由（1）知，每行的点数与行数一致时，前n行的点数和为， 当每行的点数变为时，此时前n行的点数和为， 假设三角点阵中前n行的点数的和能是240，则， 即，， 解得， 由于n为正整数，故n为15， 即这个三角点阵中前15行的点数的和是240． 77．（25-26九年级上·广东·期中）综合与实践 中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案? 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元? 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行，如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 【答案】任务1：每只龙泉青瓷茶杯的进价120元； 任务2：该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：方案可行，每售出一只茶杯就捐款2元，日捐款总额为160元．表格见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系列出方程和不等式是解题的关键． 任务1：先求出当时y的值，设每只龙泉青瓷茶杯的进价元，根据“当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元”列出一元一次方程，解方程即可； 任务2：根据“某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元”，列出一元二次方程，解方程取合适的值即可； 任务3：先求出当时y的值，再根据“日销售利润不低于3030元”列出关于的一元一次不等式，解不等式得的取值范围，取符合题意的值即可得方案． 【详解】解：任务1：当时，， 设每只龙泉青瓷茶杯的进价元， 根据题意得， 解得， 答：每只龙泉青瓷茶杯的进价120元； 任务2：根据题意得，，即， 整理方程得，， 解得或（不合题意舍去）， 答：该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：当时，， 根据题意得， 解得， 又∵且m为整数， ∴时满足条件， 当时，日捐款总额为（元）， 即方案可行，每售出一只茶杯就捐款2元，日捐款总额为160元． 填表如下： 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 2 160 压轴满分题七、相似三角形的判定与性质压轴 78．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：； （2）在（1）中，若，，求的长； （3）如图2，在平行四边形中，点E为边的中点，点F在边上，且，，，求的长； （4）如图3，在正方形中，点F在边上，点E为正方形外一点，，，．请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的求解： （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证出，再根据相似三角形的性质即可证明； （2）设，根据（1）中结论列方程求解即可； （3）延长与的延长线相交于点，先证明，得到，再证明，求得，，，求得，代入到前面得到的比例式，即，从而得解； （4）设正方形边长，，根据已知得是等腰直角三角形，则，，，，再证明，得到，用含、的式子代入，解得的值（含，再代入到中即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ，， ， ， ； （2）设，则， 由（1）知， ∴，即，即， ∴，即的长为4； （3）如图，延长与的延长线相交于点， ，， ， 在中，， ， ， 在与中， ，， ， ， 点是边上的中点， ， 在与中， ，，， ， ，，， ， ，即， ， ； （4）如图3，设正方形边长，则， ， ， 设交于，设， ，， 是等腰直角三角形，，， ，， ，，即， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， 解得， 此时，舍去； ， ． 79．（24-25九年级上·江苏南京·期中）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 【答案】（1）；（2）5，见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （2）根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论； （3）由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，作于O，过A作于P，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由（1）知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）； 理由：延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）与相似的三角形有． 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 将绕点A顺时针旋转得到， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相似的三角形有， 故答案为：5； （3）由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于O，过A作于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题． 80．（2025·重庆·模拟预测）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，证明见解析；②见解析，旋转过程中的最小值为1 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，点为中点， ∴， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①． 证明：如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴是等腰三角形，则， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ②如图所示，取中点，连接， ∵，则 又， ∴当取得最小值时最小 ∴当与点重合时，在上，此时点与点重合， ∴ 又 ∴ ∴旋转过程中的最小值为． 压轴满分题八、相似三角形的模型问题 81．（25-26九年级上·上海·期中）如图，正方形中，点是边上一点，连接、以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结、． (1)写出和的数量关系，并证明． (2)连接，求证： 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据正方形的性质，勾股定理等可得出，，然后证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质可得出，结合（1）中，可得出，证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解： 理由：∵四边形、都是正方形， ∴，，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 82．（25-26九年级上·四川·期中）在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】[特例感知]（1）①证明过程见详解；②；[深入研究]（2）的长为;[拓展提示]（3）的长为或或． 【分析】[特例感知]（1）①根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；②如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据①中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 83．（2025九年级·安徽·专题练习）如图1，的对角线与交于点，为上一点，，点在上． (1)若，为中点，连接，，求证：； (2)连接，． ①如图2，若为矩形，且，，求的值； ②如图3，若为菱形，为中点，连接，，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）延长，交于点H，由平行四边形的性质证明得，结合已知得，设，则，，推理得出，F为中点，再利用中位线的性质可得结论； （2）①连接交于点G，证明，由已知得出，，进而得，即可得出答案； ②延长，交于点G，证明，得，再证明，，设，则，，，，进而求得，再由得关于t的方程，解方程进一步求解即可 【详解】（1）证明：延长，交于点H， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴F为中点， 又∵G为中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：①连接交于点G， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴； ②延长，交于点G， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，中位线的判定及性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形、矩形以及菱形的性质等内容，熟练运用特殊四边形性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 压轴满分题九、相似三角形与函数结合 84．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，且， (1)求直线的函数解析式； (2)点是射线上一个动点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，连接，设的面积为，求与的函数关系； (3)在（2）的条件下，连接，若，求的值． 【答案】(1)直线的函数解析式为； (2)与的函数关系为； (3)． 【分析】（1）由直线的解析式，可得点的坐标，结合，可得点的坐标，设直线的函数解析式为，代入点和点的坐标，解方程组可得和，即可得直线的函数解析式； （2）当点在第二象限时，，当点在第一象限时，，根据题意可得，代入三角形的面积公式，即可得与的函数关系； （3）作于点，结合已知可得，可证，可得，根据勾股定理，结合的面积，可得线段和的长度，从而可得，进而可得的值，代入与的函数关系式，即可得的值． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，, ∵函数与轴交于点，与轴交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴上， ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：根据题意可知，，，且， ∵，， ∴， ∴， 当时，点在点的位置，， 当时，，（，也满足此式）， 当时，， ∴与的函数关系为． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 作于点，则，， ∴， ∵， ∴， ∵点，在轴上，点是射线上一个动点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． 压轴满分题十、相似三角形的存在性问题 85．（25-26九年级上·河南南阳·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图，，，的平分线交于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． (1)填空，________，________，点P到x轴的距离是________；（用含t的代数式表示） (2)设的面积为，的面积为，求当t为何值时，的值为18． (3)作于点M，是否存在t的值，使，且．若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，t (2)4 (3)存在，t的值为 【分析】本题考查动点问题，勾股定理，矩形的性质和相似三角形的性质，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾股定理和相似三角形的性质． （1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达，，根据等腰三角形的判定与性质可求出点P到x轴的距离； （2）连接，证明是等腰直角三角形求出，可得，结合（1）的结论求出，然后根据的值为18求解即可； （3）根据，且求出，进而可求出t的值． 【详解】（1）∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动 ∴；． ∵矩形， ∴． ∵的平分线交于点D， ∴． 作于点M， ∴， ∴． 故答案为：，，t； （2）连接，过点作于点 ∵四边形是矩形，点，点 ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴在直角三角形中， 由（1）知，，， ∴． ∵的值为18， ∴， 解得（负值舍去）． （3）∵，且， ∴． ∵点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动， ∴． 86．（25-26九年级上·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点B．直线经过，两点，点是轴正半轴上一点，且． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，在坐标平面内有一点．以，，，四点为顶点的四边形为菱形时，求出点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使其与，，三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1）？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，即，，待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设，则，，，由四边形为菱形分，，分别列出方程，进而可得点坐标，由中点坐标公式可求对应的点坐标； （3）设，则，，由勾股定理得，，由题意知，点与三点中的某两点构成的三角形与相似时，分，两种情况；当时，，可求，即，计算求出满足要求的解，进而可得的坐标；当时，同理求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵， 则，， 设， ①当时， ∴， 解得，， ∴， ∴， 解得： ∴， 当时， ∴ 解得：或， ∴或 当时，根据中点坐标公式得，解得：，则 当时，根据中点坐标公式得，解得：，则 综上所述，或或； （3）解：设， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， 由题意知，点与三点中的某两点构成的三角形与相似时，分，两种情况； 当时，，即， 解得，， ∴， 解得，（舍负）， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 综上所述，存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质．分情况求解是解题的关键． 压轴满分题十一、相似三角形的综合题 87．（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图1四边形中，，则四边形为邻等角四边形． 【理解】（1）以下平面图形中，是邻等角四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【应用】（2）如图2，中，点E为对角线上一点，连接并延长，交边于点F，若，求证： 【延伸】（3）如图3，矩形中，，，，过点E作直线交对角线于点F，交边所在直线于点G，若四边形为“邻等角四边形”，求的长． 【答案】（1）②④；（2）见解析，（3）或 【分析】（1）由平行四边形及特殊平行四边形性质，再结合邻等角四边形定义即可得解； （2）过A作，易证，可得，再通过，结合平行四边形性质导角可得，即可得证； （3）由题易知分两种情况讨论，画出符合题意的图形，结合（2）中思路求解即可． 本题主要考查了平行四边形及特殊平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：平行四边形及特殊平行四边形都是邻角互补，要满足相等，则为直角， 故矩形和正方形是邻等角四边形， 故答案为：②④； （2）证明：如图，过A作于点M， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ； （3）解：①当时，此时，如图， ，， ， ，， ， ，即， ， ， 四边形为矩形， ， ； ②当时，如图，过B作交于点N，过B作于点K， 则， ， 在中，，， ， 由等面积可知， 在中，， ，， ， ， ， ， ，即， 解得，， ， ， ， ，即， 解得； 综上，的长为或 88．（25-26九年级上·福建·期中）如图（1），在中，，，D是的中点，连接，过点C作交于点E，交于点F． (1)当时，如图（2）， ①求的值； ②求的值； (2)如图（1），请直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；②2 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）①证明，得到，进而得到，即可得出结果；②过点作于点；过点作于点；判定四边形是矩形，得；根据，，得；根据相似三角形的判定，得，则；根据等量代换，得；根据是的中点，得，则，得，再根据三角形的面积公式，即可求出； （2）过点作于点；过点作于点；判定四边形是矩形，得；根据相似三角形的判定，得，则；根据等量代换，得；根据是的中点，得，则，得，再根据三角形的面积公式，求出，证明，求出，，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作于点；过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）解：过点作于点，交于点；过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 89．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学期中重难点特训之易错压轴题型（28易错+11压轴） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、菱形的判定 1．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：四边形是菱形． 2．（24-25九年级上·福建·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接． (1)根据条件与作图信息知四边形是 ； A．非特殊的平行四边形      B．矩形       C．菱形       D．正方形 (2)设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 易错必刷题二、菱形的性质 3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在菱形中，是对角线上一点，点在的延长线上，，交边于点． （1）求证：； 【问题探究】 （2）当时，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 易错必刷题三、菱形的面积计算 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图．菱形的边长为，，对角线，交于点．求： (1)菱形的两条对角线长； (2)菱形的面积． 6．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若交于点，且，，求菱形的边长． 易错必刷题四、矩形的判定 8．（24-25八年级下·广西河池·期中）在平行四边形中，，，．求证： (1)求四边形的面积； (2)． 9．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，平分，交于，平分，交于． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 易错必刷题五、矩形的性质 10．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 11．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 易错必刷题六、矩形的折叠问题 12．（24-25八年级下·全国·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点． (1)求证：； (2)如果，求的长． 13．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 易错必刷题七、正方形的判定 14．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 15．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 16．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求菱形的周长． 易错必刷题八、正方形的性质 17．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 易错必刷题九、正方形折叠问题 18．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 易错必刷题十、中点四边形 19．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．    (1)这个中点四边形的形状一定是______； (2)若，证明四边形是菱形． 易错必刷题十一、一元二次方程的相关概念 20．（25-26九年级上·福建漳州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·湖南·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 易错必刷题十二、一元二次方程的解法 23．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 24．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 25．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 易错必刷题十三、配方法及其应用 26．（24-25九年级上·广西钦州·期中）把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 28．（24-25九年级上·江西抚州·期中）阅读：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．请阅读下面两个材料，并解决下面的问题． 材料一：等式配方： 已知，求的值． 解： ∴ ∴ 材料二：代数式配方： 把可配方成的形式． 解： 解决问题： (1)把可配方成的形式，则_____， ______； (2)若，且x、y是菱形的两条对角线的长． ①求x、y的值； ②求菱形的边长． 易错必刷题十四、根据一元二次方程根的情况求参数 29．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m的值； 30．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 易错必刷题十五、换元法 31．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体， 设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想． 类比应用：运用上述方法解方程：． 易错必刷题十六、一元二次方程根与系数的关系 32．（24-25八年级下·广东湛江·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； 33．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程总有两个实数根？ (2)若原方程的两个实数根的积为，求m的值． 34．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 易错必刷题十七、一元二次方程实际应用 35．（24-25九年级上·湖北·期中）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 36．（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 37．（24-25八年级下·安徽·期中）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 易错必刷题十八、概率问题 38．（24-25九年级上·贵州·期中）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 39．（24-25九年级上·天津河东·期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“校园安全”主题的概率为______； (2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 40．（24-25九年级上·福建三明·期中）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率． 易错必刷题十九、比例线段 41．（24-25九年级上·浙江·期中）已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 易错必刷题二十、黄金分割 42．（24-25九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    43．（25-26九年级上·全国·期中）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 44．（2025·山西长治·二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 易错必刷题二十一、平行线分线段成比例 45．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 46．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 易错必刷题二十二、相似多边形 47．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长． 易错必刷题二十三、相似三角形的判定 48．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：． 49．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 50．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 易错必刷题二十四、相似三角形的性质 51．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图， 在平行四边形 中，， 交 于点 ． (1)求证：； (2)如果的面积为， 求的面积． 52．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． (1)当点P恰好为中点时， mm． (2)若矩形的周长为220mm，求出的长度． 53．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 易错必刷题二十六、重心的问题 54．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为的重心，的面积为，连接并延长交于点F，求面积． 易错必刷题二十七、相似三角形的实际应用 55．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 56．（2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 57．（2025·河南周口·三模）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中， ，上都有相同单位的刻度，可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度 ． 如图（），小明站在自动扶梯的底部处，让测量工具的 平行于地面，的延长线交于点，滑动 使，，在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点， 滑动 ， 使，，在同一条直线上，此时．小明的 身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精 确到） 易错必刷题二十八、图形的位似问题 58．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为，并写出点，，的坐标． (2)若点P在内部，且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． 59．（25-26八年级上·安徽·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． (1)点的一对“相伴点”的坐标是______与______； (2)若点的一个“相伴点”的坐标为，求点的坐标． 60．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，小华利用网络画板在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)与的位似中心的坐标为___________； (2)以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为． 压轴满分题一、菱形、矩形、正方形的存在性问题 61．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 62．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 63．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，则所有满足条件的点N的坐标为___________． 压轴满分题二、特殊平行四边形的综合问题 64．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． 如图，在正方形中，，是对角线上两点，，将绕点顺时 (1)求证：； (2)若，求的长． 65．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，点E为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度，点B、E的对应点分别为点． (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 66．（25-26九年级上·江西九江·期中）综合与实践 在综合与实践课上，八年级某兴趣小组的三位同学对含角的菱形进行了如下探究． 【背景】 如图，在菱形中，，作，，分别交边，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系：_____． 【探究】 （2）如图2，当为边上的任意一点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）若，，求线段的长． 压轴满分题三、特殊平行四边形的动点问题 67．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图①，正方形中，点是边上的动点（不与正方形顶点重合），，与相交于点．设长为，长为，与的函数图象如图②所示，图象经过点． (1)结合函数图象，直接写出的长为___________； (2)连接，当时，直接写出的值___________； (3)在（2）的条件下，连接，直接写出的长为___________． 68．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，是以为直角边的等腰直角三角形，． (1)求点坐标； (2)点在直线上，，求点坐标； (3)点是线段上的一个动点（点、除外），试探索在轴的上方是否存在另一个点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 69．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：正方形，点是对角线所在直线上的动点，点在边所在的直线上，且随着点的运动而运动，总成立． (1)如图1，当点在对角线上时，请你猜想与有怎样的数量关系，并证明； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)如图2，当点运动到的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时与有怎样的关系，并说明理由． 70．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以为一边在第二象限内作正方形，为边上的一个动点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，斜边交于，连接． (1)求点的坐标； (2)如图2，当为的中点时，连接， ①求的长； ②线段上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 压轴满分题四、换元法压轴 71．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 压轴满分题五、一元二次方程根与系数的关系压轴 72．（25-26九年级上·广东·期中）已知关于的方程 (1)求证：无论取何实数，这个方程总有实数根； (2)若这个方程的两个实根、满足，求的值． 73．（25-26九年级上·山东济宁·期中）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 74．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）【阅读材料一】若关于的一元二次方程（）的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系． 【阅读材料二】已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两根为、，则____________； (2)【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①证明：不论为何值，方程总有实数根； ②若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． (3)【思维拓展】已知实数，分别满足，，其中且，求的值． 压轴满分题六、一元二次方程的实际应用压轴 75．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．虽然在几何图形的值不能取负数，但事实上，只要开平方得，即． 【理解应用】参照上述图1的方法，请在图2的三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是___________．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】利用上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据），并求解该方程． 【拓展应用】对于形如的一元二次方程，若可以通过由四个面积为3的相同矩形、中间围成的正方形面积为4构成的图形进行求解，求系数和的值，并求出方程的解． 76．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）数学活动的内容是：三角点阵中前n行的点数计算． 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点， 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，你能发现200是前多少行的点数的和吗？你能用一元二次方程解决这个问题吗？ 针对活动内容，请你回答下列问题： (1)三角点阵中前n行的点数的和能是200吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理． (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是240吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 77．（25-26九年级上·广东·期中）综合与实践 中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案? 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元? 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行，如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 压轴满分题七、相似三角形的判定与性质压轴 78．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：； （2）在（1）中，若，，求的长； （3）如图2，在平行四边形中，点E为边的中点，点F在边上，且，，，求的长； （4）如图3，在正方形中，点F在边上，点E为正方形外一点，，，．请直接写出的值． 79．（24-25九年级上·江苏南京·期中）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 80．（2025·重庆·模拟预测）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 压轴满分题八、相似三角形的模型问题 81．（25-26九年级上·上海·期中）如图，正方形中，点是边上一点，连接、以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结、． (1)写出和的数量关系，并证明． (2)连接，求证： 82．（25-26九年级上·四川·期中）在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 83．（2025九年级·安徽·专题练习）如图1，的对角线与交于点，为上一点，，点在上． (1)若，为中点，连接，，求证：； (2)连接，． ①如图2，若为矩形，且，，求的值； ②如图3，若为菱形，为中点，连接，，，，求的值． 压轴满分题九、相似三角形与函数结合 84．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，且， (1)求直线的函数解析式； (2)点是射线上一个动点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，连接，设的面积为，求与的函数关系； (3)在（2）的条件下，连接，若，求的值． 压轴满分题十、相似三角形的存在性问题 85．（25-26九年级上·河南南阳·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图，，，的平分线交于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． (1)填空，________，________，点P到x轴的距离是________；（用含t的代数式表示） (2)设的面积为，的面积为，求当t为何值时，的值为18． (3)作于点M，是否存在t的值，使，且．若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 86．（25-26九年级上·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点B．直线经过，两点，点是轴正半轴上一点，且． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，在坐标平面内有一点．以，，，四点为顶点的四边形为菱形时，求出点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使其与，，三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1）？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 压轴满分题十一、相似三角形的综合题 87．（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图1四边形中，，则四边形为邻等角四边形． 【理解】（1）以下平面图形中，是邻等角四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【应用】（2）如图2，中，点E为对角线上一点，连接并延长，交边于点F，若，求证： 【延伸】（3）如图3，矩形中，，，，过点E作直线交对角线于点F，交边所在直线于点G，若四边形为“邻等角四边形”，求的长． 88．（25-26九年级上·福建·期中）如图（1），在中，，，D是的中点，连接，过点C作交于点E，交于点F． (1)当时，如图（2）， ①求的值； ②求的值； (2)如图（1），请直接写出的值（用含n的式子表示）． 89．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $