3.1勾股定理的探究（一）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学《3.1勾股定理的探究（一）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.知识与技能：能准确表述勾股定理的内容，明确其适用条件；能运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的简单计算问题。 2.过程与方法：经历 “ 观察格点图形 — 计算面积 — 猜想关系 — 归纳定理 ” 的探索过程，掌握将图形面积关系转化为三边数量关系的方法，体会数形结合思想。 3.情感态度与价值观：了解勾股定理的古今中外历史背景，感受其文化价值与应用魅力，增强民族自豪感和数学探究兴趣。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）直角三角形三边关系的探索过程， （2）勾股定理的内容理解与初步应用。 2.难点： （1）通过格点图形中正方形面积的计算推导直角三角形三边关系； （2）准确区分直角边与斜边，灵活运用勾股定理进行计算。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 任意三角形的三边满足的基本不等关系是 _____________ 。 2. 直角三角形的最大角是 ________ 度，它所对的边是三角形中最 _______ 的边。 3. 我国古代数学著作《周髀算经》中记载，数学家 __________ 与周公的对话中提到 “ 勾三股四弦五 ” ，这是勾股定理的早期体现。 4. 在西方，勾股定理通常被称为 ____________ 定理，相传由古希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明。 5. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长为 ________ 。 ) 四．课堂探秘 【情境引入】——感知特殊关系 观察下列纪念邮票图案 【思考】：直角三角形三边所对应的正方形面积之间是否存在特殊联系？ （一）转化归纳——形成猜想 【活动】（1）观察图1正方形A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积。 正方形B的面积是9个单位面积。正方形C的面积是18个单位面积。 （2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ 图1正方形A中含有4个小方格，即A的面积是4个单位面积。正方形B的面积是4个单位面积。正方形C的面积是8个单位面积。 （3）你能发现图1和图2中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积 【做一做】 分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积，填表完成 图形1 图形2 图形3 图形1中S1= S2= S3= 图形2中S1= S2= S3= 图形3中S1= S2= S3= 【归纳并猜想】: 若直角三角形三边长为a,b,c（其中c为斜边）， 如图：三边a,b,c之间的关系是a2+b2=c2 （二）定理明确——规范表述与理解 1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，则a2 + b2 = c2 3.概念辨析： （1）“勾”“股”“弦”：直角三角形中，较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。 （2）适用范围：仅适用于直角三角形，非直角三角形不满足此关系。 （三）历史溯源——感受文化价值 1.中国古代成就： （1）西周时期，商高提出“勾三股四弦五”，是勾股定理的特例记载。 （2）三国时期，吴国数学家赵爽在《周髀算经》注释中，明确表述“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”，准确概括了勾股定理的内容。 （3）古代将此定理应用于大禹治水的工程测量等实际场景。 2.西方发展历程：公元前6世纪，毕达哥拉斯学派发现并证明了该定理，因此西方称其为毕达哥拉斯定理，它成为西方几何体系的重要基础。 3.文化意义：勾股定理是最早实现“数”与“形”结合的数学定理之一，体现了古代中外数学家的智慧，现有约四百种证明方法，是数学史上的重要瑰宝。 （四）数形结合——无理数的几何表示 有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数怎么用数轴上的点来表示吗？ 1.你能画出长度分别为 cm；cm； cm的线段吗? 2.在数轴上画出表示；的点. 3.在数轴上画出表示；-的点. （五）经典例题 1.已知两直角边求斜边 例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC=6，BC=8，求斜边AB的长。 例2.求图中x的值. 2.已知斜边和一直角边求另一直角边 例3：在Rt△DEF中，∠D=90°，斜边EF=25，直角边DE=7，求另一直角边DF的长。 3.勾股定理的历史辨析 例4下列关于勾股定理的说法正确的是（ ） A. “勾三股四弦五”是勾股定理的唯一特例 B. 勾股定理仅由古希腊数学家毕达哥拉斯发现 C. 我国古代文献中早于西方记载了勾股定理的相关内容 D. 勾股定理适用于所有三角形 4.利用勾股定理解决问题 例5．求图中字母所代表的正方形的面积． 例6.已知：如图，中，，，， （1）求斜边的长； （2）计算的面积． 例7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=20,BC=15,CD⊥AB于点D.求: (1)CD的长; (2)BD的长. 例8.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E. (1)求△ABC的面积; (2)求DE的值. 五．课堂检测 （一）选择题 1.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=5，则斜边AC的长为（ ）。 A.9 B.11 C.13 D.15 2.若直角三角形的斜边为17，一条直角边为8，则另一条直角边的长为（ ）。 A.13 B.15 C.16 D.无法确定 3.下列对勾股定理的理解错误的是（ ） A. 直角三角形的三边必须满足a2 + b2= c2（c为斜边） B. 若三角形三边满足a2+ b2 = c2，则该三角形是直角三角形 C. “勾”“股”分别指直角三角形的两条直角边 D. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理 4.我国最早记载勾股定理相关内容的数学著作是（ ） A. 《九章算术》 B. 《周髀算经》 C. 《几何原本》 D. 《缀术》 5.在Rt△ABC中,若斜边AB上的中线CD的长为2.5,则AC2+BC2= (　　) A.5　　　　B.10　　　　C.20　　　　D.25 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 7．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　） A．3 B．5 C．6 D．4 8．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 9．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（　　） A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 （二）填空题 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15，c=25，直角边b的长为__________。 12.已知直角三角形的两条直角边分别为16和12，该三角形的斜边长为__________。 13.一架云梯长25米，斜靠在一面竖直的墙上，梯子底端离墙脚7米，梯子顶端到地面的距离为__________。 14．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为_______. 15．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为_____. 16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若DE＝15cm，BE＝8cm，则BC的长为_______. （三）解答题 17．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积． 18．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将此图形折叠得图②，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C′处，求C′F的长． 19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD． （2）计算（1）中线段CD的长． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4． （1）求AB的长； （2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.勾股定理的内容：_____三角形的两_____边的平方和等于______边的平方。 2.在Rt△ABC中，∠A=90°，则三边满足的关系式为____________。 3.古代称直角三角形的短直角边为_______，长直角边为_____，斜边为_______。 4.勾股定理是连接______与________的重要定理，体现了数形结合思想。 （二）强化训练 一．选择题 1.下列说法正确的是(　　) A.若a、b、c是△ABC的三边长,则a2+b2=c2 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边长,则a2+b2=c2 C.若a、b、c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则a2+b2=c2 D.若a、b、c是Rt△ABC的三边长,∠C=90°,则a2+b2=c2 2.若直角三角形的斜边为10，一条直角边为6，则另一条直角边的长为（ ）。 A.7 B.8 C.9 D.10 3.下列关于勾股定理的说法错误的是（ ） A. 勾股定理适用于所有三角形 B. 勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系 C. “勾三股四弦五”是勾股定理的特例 D. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理 4．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，下列说法错误的是（　　） A．∠C＝90°，则a2+b2＝c2 B．∠B＝90°，则a2+c2＝b2 C．∠A＝90°，则b2+c2＝a2 D．总有a2+b2＝c2 5.如图,以Rt△ABC(AC⊥BC)的三边为边,分别向外作正方形,它们的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=12,则S1的值是(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于(　　) A.2π　　　　B.4π　　　　C.8π　　　　D.16π 8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 9.如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度是h cm,则h的取值范围是(　　) A.5≤h≤12　 　B.12≤h≤19 C.11≤h≤12　　　 D.12≤h≤13 10.如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m,则BB'的长为(　　) A.1 m　　　　B.2 m　　　　C.3 m　　　　D.4 m 二．填空题 11.如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为　　　　.  12.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为________. 13．如图，△ABC中AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为_____. 14.如图,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN⊥AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为_________. 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是　　cm． 16．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　　． 17.已知三角形的边长是10、14、16，则这个三角形的面积是____. 18.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2=　　　　.  19．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有____个. 20．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD＝，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 　 　． 三．解答题 21．在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 22.如图,顺次连结4×4方格的四条边的中点,得到一个正方形ABCD.设每一个小方格的边长为1个单位. (1)正方形ABCD的边长在哪两个相邻的整数之间?请说明理由; (2)如果把正方形ABCD放到数轴上,使得边AB落在数轴上,且点A与数轴的原点重合,数轴的单位长度就是小方格的边长.请写出点B在数轴上所表示的数. 23.已知在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t． （1）求CD的长； （2）当P在AB边上运动，t为何值时，△ACP为等腰三角形？ 24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，BD⊥AC交AC于点D．动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/s，设出发时间为ts． （1）求BC上的高； （2）当点P在BC边上运动时，若△CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 25.在△ABC中，AB，BC，AC边的长分别为，，，求这个三角形的面积．晓辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长都为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)△ABC的面积为________； (2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC的三边长分别为a，2 a，a(a>0)，请利用图②中的正方形网格(每个小正方形的边长都为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积； (3)若△ABC的三边长分别为，，2 (m>0，n>0，且m≠n)，试运用构图法(自己重新设计一个符合结构特征的网格)求出这个三角形的面积． 26．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学《3.1勾股定理的探究（一）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.知识与技能：能准确表述勾股定理的内容，明确其适用条件；能运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的简单计算问题。 2.过程与方法：经历 “ 观察格点图形 — 计算面积 — 猜想关系 — 归纳定理 ” 的探索过程，掌握将图形面积关系转化为三边数量关系的方法，体会数形结合思想。 3.情感态度与价值观：了解勾股定理的古今中外历史背景，感受其文化价值与应用魅力，增强民族自豪感和数学探究兴趣。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）直角三角形三边关系的探索过程， （2）勾股定理的内容理解与初步应用。 2.难点： （1）通过格点图形中正方形面积的计算推导直角三角形三边关系； （2）准确区分直角边与斜边，灵活运用勾股定理进行计算。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 任意三角形的三边满足的基本不等关系是 _____________ 。 【 答案 】 ：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 2. 直角三角形的最大角是 ________ 度，它所对的边是三角形中最 _______ 的边。 【 答案 】 ：90；长 3. 我国古代数学著作《周髀算经》中记载，数学家 __________ 与周公的对话中提到 “ 勾三股四弦五 ” ，这是勾股定理的早期体现。 【 答案 】 ：商高 4. 在西方，勾股定理通常被称为 ____________ 定理，相传由古希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明。 【 答案 】 ：毕达哥拉斯 5. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长为 ________ 。 【 答案 】 ：5 ) 四．课堂探秘 【情境引入】——感知特殊关系 观察下列纪念邮票图案 【思考】：直角三角形三边所对应的正方形面积之间是否存在特殊联系？ （一）转化归纳——形成猜想 【活动】（1）观察图1正方形A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积。 正方形B的面积是9个单位面积。正方形C的面积是18个单位面积。 （2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ 图1正方形A中含有4个小方格，即A的面积是4个单位面积。正方形B的面积是4个单位面积。正方形C的面积是8个单位面积。 （3）你能发现图1和图2中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积 【做一做】 分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积，填表完成 图形1 图形2 图形3 图形1中S1=4 S2=1 S3=5 图形2中S1=9 S2=4 S3=13 图形3中S1=16 S2=9 S3=25 【归纳并猜想】: 若直角三角形三边长为a,b,c（其中c为斜边）， 如图：三边a,b,c之间的关系是a2+b2=c2 （二）定理明确——规范表述与理解 1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，则a2 + b2 = c2 3.概念辨析： （1）“勾”“股”“弦”：直角三角形中，较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。 （2）适用范围：仅适用于直角三角形，非直角三角形不满足此关系。 （三）历史溯源——感受文化价值 1.中国古代成就： （1）西周时期，商高提出“勾三股四弦五”，是勾股定理的特例记载。 （2）三国时期，吴国数学家赵爽在《周髀算经》注释中，明确表述“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”，准确概括了勾股定理的内容。 （3）古代将此定理应用于大禹治水的工程测量等实际场景。 2.西方发展历程：公元前6世纪，毕达哥拉斯学派发现并证明了该定理，因此西方称其为毕达哥拉斯定理，它成为西方几何体系的重要基础。 3.文化意义：勾股定理是最早实现“数”与“形”结合的数学定理之一，体现了古代中外数学家的智慧，现有约四百种证明方法，是数学史上的重要瑰宝。 （四）数形结合——无理数的几何表示 有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数怎么用数轴上的点来表示吗？ 1.你能画出长度分别为 cm；cm； cm的线段吗? 2.在数轴上画出表示；的点. 3.在数轴上画出表示；-的点. （五）经典例题 1.已知两直角边求斜边 例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC=6，BC=8，求斜边AB的长。 解：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即AC2 + BC2= AB2。代入数据得62+ 82= AB2，计算得36 + 64 = AB2，即AB2= 100。因为边长为正数，所以AB=10。 例2.求图中x的值. 解：根据勾股定理a2+b2=c2（其中a、b为直角边，c为斜边），在本题中a = 8，b = 15，则有x2=82+152。x2=64 + 225=289。因为x是三角形的边长，即x>0，对x2=289两边开平方可得x = 17。 2.已知斜边和一直角边求另一直角边 例3：在Rt△DEF中，∠D=90°，斜边EF=25，直角边DE=7，求另一直角边DF的长。 解：由勾股定理DE2 + DF2 = EF2，可变形为DF2= EF2- DE2。代入数据得DF2= 252- 72= 625 - 49 = 576。因为边长为正数，所以DF=24。 3.勾股定理的历史辨析 例4下列关于勾股定理的说法正确的是（ ） A. “勾三股四弦五”是勾股定理的唯一特例 B. 勾股定理仅由古希腊数学家毕达哥拉斯发现 C. 我国古代文献中早于西方记载了勾股定理的相关内容 D. 勾股定理适用于所有三角形 【答案】：C 【解析】：选项A错误，勾股定理有无数个特例，如5、12、13等；选项B错误，我国西周时期商高已提出相关特例，早于毕达哥拉斯；选项C正确，《周髀算经》中对勾股定理的记载早于西方；选项D错误，勾股定理仅适用于直角三角形。 4.利用勾股定理解决问题 例5．求图中字母所代表的正方形的面积． 解：A的边长为直角三角形的斜边，则A的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：225和400，A的面积＝225+400＝625， 同理B的边长为直角三角形的直角边，则存在B的边长的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方，斜边的平方为225，直角边的平方为81B的面积为225﹣81＝144． 例6.已知：如图，中，，，， （1）求斜边的长； （2）计算的面积． 解：（1）在中，，，，由勾股定理得 （2） 例7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=20,BC=15,CD⊥AB于点D.求: (1)CD的长; (2)BD的长. 解：(1)在△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=202+152=625, ∴AB=25.∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,∴AC·BC=AB·CD.∵AC=20,BC=15,AB=25, ∴20×15=25CD,∴CD=12,即CD的长是12. (2)∵CD⊥AB于点D,∴∠CDB=90°,在Rt△BCD中,∠CDB=90°,BC=15,CD=12,由勾股定理,得BD2=BC2-CD2=152-122=81,∴BD=9,即BD的长为9. 例8.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E. (1)求△ABC的面积; (2)求DE的值. 解：(1)如图,连接AD,∵在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,∴AD⊥BC,BD=BC=5,∴AD2=AB2-BD2=132-52=144,∴AD=12,∴S△ABC=BC·AD=×10×12=60. (2)∵DE⊥AB,∴S△ABD=BD·AD=AB·ED,∴ED===. 五．课堂检测 （一）选择题 1.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=5，则斜边AC的长为（ ）。 A.9 B.11 C.13 D.15 【答案】：C 【解析】：根据勾股定理AB^2 + BC^2 = AC^2，代入得12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = AC^2，故AC=13。 2.若直角三角形的斜边为17，一条直角边为8，则另一条直角边的长为（ ）。 A.13 B.15 C.16 D.无法确定 【答案】：B 【解析】：由勾股定理变形得，另一直角边²=17²-8²=289-64=225，所以另一直角边为15。 3.下列对勾股定理的理解错误的是（ ） A. 直角三角形的三边必须满足a2 + b2= c2（c为斜边） B. 若三角形三边满足a2+ b2 = c2，则该三角形是直角三角形 C. “勾”“股”分别指直角三角形的两条直角边 D. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理 【答案】：B 【解析】：选项B描述的是勾股定理的逆定理，而非勾股定理本身；其余选项均符合勾股定理的定义与历史背景。 4.我国最早记载勾股定理相关内容的数学著作是（ ） A. 《九章算术》 B. 《周髀算经》 C. 《几何原本》 D. 《缀术》 【答案】：B 【解析】：《周髀算经》中记载了商高与周公关于“勾三股四弦五”的对话，是我国最早涉及勾股定理的文献。 5.在Rt△ABC中,若斜边AB上的中线CD的长为2.5,则AC2+BC2= (　　) A.5　　　　B.10　　　　C.20　　　　D.25 【答案】D　 【解析】在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∴AB=2CD=5,∴AC2+BC2=AB2=25,故选D. 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 【答案】A　 【解析】∵△DAB的面积=DA·BC,∴×10·BC=40,解得BC=8,在Rt△DBC中,∠C=90°, DB=10,CB=8,∴CD2=BD2-BC2=102-82=36,∴CD=6,故选A. 7．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　） A．3 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【解析】由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B． 8．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 【答案】B 【解析】设正方形D的面积为x，∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，∴根据图形得：2+4＝x﹣3，解得：x＝9，故选：B． 9．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（　　） A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2 【答案】B 【解答】∵BC＝＝5，∵S△ABC＝4×4﹣×1×1﹣×3×4﹣×3×4＝， ∴△ABC中BC边上的高＝＝，故选：B． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，∴△ACD的周长为：4+3＝7．故选：A． （二）填空题 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15，c=25，直角边b的长为__________。 【答案】：20 【解析】：根据勾股定理a2 + b2= c2，可得b2 = c2- a2。代入数据得b2= 252 - 152 = 625 - 225 = 400，因为边长为正数，所以b=20。 12.已知直角三角形的两条直角边分别为16和12，该三角形的斜边长为__________。 【答案】：20 【解析】：设斜边长为c，由勾股定理得162+ 122= c2，即256 + 144 = c2，c2= 400，解得c=20（边长为正，舍去负值）。 13.一架云梯长25米，斜靠在一面竖直的墙上，梯子底端离墙脚7米，梯子顶端到地面的距离为__________。 【答案】：24米 【解析】：云梯、墙与地面构成直角三角形，云梯为斜边，梯子底端到墙脚的距离为一条直角边。设梯子顶端到地面的距离为h米，根据勾股定理得72+ h2= 252，即49 + h2 = 625，h2= 576，解得h=24（距离为正，舍去负值）。 14．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为_______. 【答案】65 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，∴AB＝＝，则正方形ABDE的面积为：（）2＝65． 15．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为_____. 【答案】12 【解析】过点A作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝18＝9，∴AD＝＝12（cm），∴它底边上的高为12cm； 16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若DE＝15cm，BE＝8cm，则BC的长为_______. 【答案】32cm 【解析】∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE＝15， 在Rt△BDE中，BD＝＝17，∴BC＝CD+BD＝15+17＝32（cm）． （三）解答题 17．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积． 解：连接BD，AB⊥AD，，在中，在中，，是直角三角形， 18．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将此图形折叠得图②，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C′处，求C′F的长． 解：由折叠得：AC'=AC=6，C'F⊥AB，CF=C'F，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6， ∴AB=10，∴BC'=10﹣6=4，在Rt△BC'F中，设C'F=x，则BF=8﹣x，∴x2+42=(8﹣x)2，解方程得：x=3．即C'F=3． 19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD． （2）计算（1）中线段CD的长． 解：（1）画角平分线正确，保留画图痕迹（2）设CD＝x，作DE⊥AB于E， 则DE＝CD＝x，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．∴AB＝10，∴EB＝10﹣6＝4．∵DE2+BE2＝DB2，∴x2+42＝（8﹣x）2，x＝3，即CD长为3． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4． （1）求AB的长； （2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形． 解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理可得AB＝5； （2）依题意得AP＝t，当AP＝AC时，t＝3，当AP＝PC时，∠A＝∠ACP， ∴∠PCB＝∠B，t＝5﹣t，∴t＝2.5； 当AC＝PC＝3时，过点C作CD⊥AB，垂直为D， 在△ABC中，×3×4＝×5CD，∴CD＝2.4，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AD＝，∴t＝3.6，当t＝3或t＝2.5或t＝3.6时，△ACP为等腰三角形． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.勾股定理的内容：_____三角形的两_____边的平方和等于______边的平方。 【答案】：直角；直角；斜 2.在Rt△ABC中，∠A=90°，则三边满足的关系式为____________。 【答案】：AB2 + AC2= BC2 3.古代称直角三角形的短直角边为_______，长直角边为_____，斜边为_______。 【答案】：勾；股；弦 4.勾股定理是连接______与________的重要定理，体现了数形结合思想。 【答案】：数；形 （二）强化训练 一．选择题 1.下列说法正确的是(　　) A.若a、b、c是△ABC的三边长,则a2+b2=c2 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边长,则a2+b2=c2 C.若a、b、c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则a2+b2=c2 D.若a、b、c是Rt△ABC的三边长,∠C=90°,则a2+b2=c2 【答案】D　 【解析】勾股定理只应用在直角三角形里,并且要指出明确的直角,故选项A、B中的说法错误;选项C中的斜边长为a,得出的表达式应为b2+c2=a2,故选项C中的说法错误;只有选项D中的说法正确.故选D. 2.若直角三角形的斜边为10，一条直角边为6，则另一条直角边的长为（ ）。 A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】：B 【解析】：由勾股定理变形得，另一直角边²=10²-6²=100-36=64，所以另一直角边为8。 3.下列关于勾股定理的说法错误的是（ ） A. 勾股定理适用于所有三角形 B. 勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系 C. “勾三股四弦五”是勾股定理的特例 D. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理 【答案】：A 【解析】：勾股定理仅适用于直角三角形，而非所有三角形，故选项A错误；其余选项均符合勾股定理的性质与历史背景。 4．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，下列说法错误的是（　　） A．∠C＝90°，则a2+b2＝c2 B．∠B＝90°，则a2+c2＝b2 C．∠A＝90°，则b2+c2＝a2 D．总有a2+b2＝c2 【答案】D 【解析】选项A：∠C＝90°，则c为△ABC中斜边，a，b为直角边，由勾股定理可得： a2+b2＝c2，故A正确，不符合题意；同理可得，选项B和选项C正确，故选项B和选项C不符合题意；选项D：只有直角三角形，且∠C为直角时，a2+b2＝c2，故D错误，符合题意．故选：D． 5.如图,以Rt△ABC(AC⊥BC)的三边为边,分别向外作正方形,它们的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=12,则S1的值是(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 【答案】C　 【解析】由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∴S3+S2=S1.∵S1+S2+S3=12,∴2S1=12,∴S1=6,故选C. 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，故选：C． 7.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于(　　) A.2π　　　　B.4π　　　　C.8π　　　　D.16π 【答案】A　 【解析】在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=42=16,S1=π=·AC2,S2=π=·BC2, ∴S1+S2=(AC2+BC2)=×16=2π.故选A. 8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 【答案】A　 【解析】∵△DAB的面积=DA·BC,∴×10BC=40,解得BC=8,Rt△DBC中,∠C=90°,DB=10,CB=8,∴CD2=BD2-BC2=102-82=36,∴CD=6,故选A. 9.如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度是h cm,则h的取值范围是(　　) A.5≤h≤12　 　B.12≤h≤19 C.11≤h≤12　　　 D.12≤h≤13 【答案】C　 【解析】如图1,此时筷子露在杯子外面的长度最大,为24-12=12 cm.如图2,此时筷子露在杯子外面的长度最短,AB2=BC2+AC2=52+122=169,∴AB=13 cm,此时h=24-13=11.故h的取 值范围是11≤h≤12.故选C. 10.如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m,则BB'的长为(　　) A.1 m　　　　B.2 m　　　　C.3 m　　　　D.4 m 【答案】B　 【解析】在Rt△ABC中,AC=10 m,BC=6 m,∴AB2=AC2-BC2=100-36=64,∴AB=8 m,在Rt△AC'B'中,AC'=10 m,B'C'=8 m,∴AB'2=AC'2-B'C'2=36,∴AB'=6 m,∴BB'=AB-AB'=8-6=2(m).故选B. 二．填空题 11.如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为　　　　.  【答案】100 【解析】　由题意可知,直角三角形中,一条直角边的平方=36,另一条直角边的平方=64, 则斜边的平方=36+64=100.故答案为100. 12.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为________. 【答案】5　 【解析】设小直角三角形的两条直角边的边长分别为a、b,由题意可得ab×4=13-1,a2+b2=13,∴ab=6,∴(a+b)2=a2+2ab+b2=(a2+b2)+2ab=13+2×6=13+12=25,∴a+b=5或a+b=-5(舍去), 13．如图，△ABC中AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为_____. 【答案】8 【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3， ∴BD==4，∴BC=2BD=8， 14.如图,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN⊥AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为_________. 【答案】3　 【解析】如图所示,连接BN,∵M为AB的中点,MN⊥AB,∴AN=BN,设NC=x,则AN=BN= AC-NC=8-x,∵∠C=90°,∴CN2+BC2=BN2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴NC=3,故选C. 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是　　cm． 【答案】1.75 【解析】连接AD，如图，∵∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，∴BC＝＝＝8（cm），由作法得PQ垂直平分AB，∴DA＝DB，设CD＝x，则DB＝DA＝8﹣x，在Rt△ACD中，x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝1.75，即CD的长为1.75cm．故答案为：1.75． 16．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　　． 【答案】10 【解答】易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10． 17.已知三角形的边长是10、14、16，则这个三角形的面积是____. 【答案】40 【解析】如图，△ABC中，AB＝10，AC＝14，BC＝16，作AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得，AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴102﹣BD2＝142﹣（16﹣BD）2，解得BD＝5， ∴AD＝＝＝5，∴S△ABC＝＝＝40，故选：D． 18.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2=　　　　.  【答案】20 【解析】　∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,∴AB2+CD2=AD2+BC2.∵AD=2,BC=4, ∴AB2+CD2=22+42=20.故答案为20. 19．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有____个. 【答案】3 【解析】过A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE=BC=4，∴AE==3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4，∵线段AD长为正整数，∴点D的个数共有3个， 20．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD＝，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 　 　． 【答案】 【解析】过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，∵∠ADC＝∠BDE＝90°，∴∠ADB＝∠CDE，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABD＝45°，∴BD＝DE，∴∠E＝∠ABD＝45°，∴△ABD≌△CED（ASA），∴AB＝CE＝1，∴CH＝EH＝，在Rt△DCH中，由勾股定理得，DH＝＝，∴DE＝DH+EH＝+＝3，∴BD＝3，故答案为：3． 三．解答题 21．在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 解：（1），，，； （2），，，． 22.如图,顺次连结4×4方格的四条边的中点,得到一个正方形ABCD.设每一个小方格的边长为1个单位. (1)正方形ABCD的边长在哪两个相邻的整数之间?请说明理由; (2)如果把正方形ABCD放到数轴上,使得边AB落在数轴上,且点A与数轴的原点重合,数轴的单位长度就是小方格的边长.请写出点B在数轴上所表示的数. 解：(1)正方形ABCD的边长在整数2和3之间.理由:∵正方形ABCD的面积=4×4-4××2×2=8,∴正方形ABCD的边长=.∵4<8<9,∴2<<3,∴正方形ABCD的边长在整数2和3之间. (2)分两种情况:当点B在原点左侧时,点B在数轴上所表示的数是- ;当点B在原点右侧时,点B在数轴上所表示的数是.综上,点B在数轴上所表示的数是± 23.已知在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t． （1）求CD的长； （2）当P在AB边上运动，t为何值时，△ACP为等腰三角形？ 解：（1）∵AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CD为AB边上的高，∴AC•BC＝AB•CD，∴CD＝4.8cm； （2）当点P在AB上，CA＝CP时，在Rt△ADC中，AD＝＝3.6，如图1，∵CA＝CP，CD为AB边上的高，∴DP＝AP＝3.6，则t＝（6+8+10﹣3.6×2）÷2＝8.4， 当AC＝AP时，t＝（24﹣6）÷2＝9，当PA＝PC时，如图2，作PH⊥AC于H，则AH＝CH＝3，HP＝BC＝4，由勾股定理得，AP＝5，则t＝（24﹣5）÷2＝9.5，故当t＝8.4、9、9.5时，△ACP为等腰三角形． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，BD⊥AC交AC于点D．动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/s，设出发时间为ts． （1）求BC上的高； （2）当点P在BC边上运动时，若△CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 解：（1）过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝BC＝15（cm），在Rt△ABH中，由勾股定理得，AH＝＝20（cm），∴BC上的高为20cm； （2）由S△ABC＝×BC×AH＝×AC×BD得，30×20＝25×BD，∴BD＝24cm，在Rt△BDA中，由勾股定理得，AD＝（cm），∴CD＝CA﹣CD＝25﹣7＝18（cm），当CP＝CD＝18cm时，t＝（25+25+30﹣18）÷2＝31，当DC＝DP时，过点D作DF⊥BC于F， 由面积法得，DF＝＝（cm），由勾股定理得，CF＝＝＝（cm），∴PC＝2CF＝（cm），∴t＝（25+25+30﹣）÷2＝29.2，当PD＝PC时，设PC＝xcm，则PF＝（x﹣）cm，在Rt△PDF中，由勾股定理 得，x2＝（x﹣）2+，解得x＝15，∴PC＝15cm，∴t＝（25+25+30﹣15）÷2＝32.5，综上：t＝31或14.2或32.5． 25.在△ABC中，AB，BC，AC边的长分别为，，，求这个三角形的面积．晓辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长都为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)△ABC的面积为________； (2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC的三边长分别为a，2 a，a(a>0)，请利用图②中的正方形网格(每个小正方形的边长都为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积； (3)若△ABC的三边长分别为，，2 (m>0，n>0，且m≠n)，试运用构图法(自己重新设计一个符合结构特征的网格)求出这个三角形的面积． 解：(1) (2)△ABC如图①所示(字母位置不唯一)．S△ABC＝2a×4a－×a×2a－×2a×2a－×a×4a＝3a2.(3)构造△ABC如图②所示(构造方法与字母位置均不唯一)． S△ABC＝3m×4n－×m×4n－×3m×2n－×2m×2n＝12mn－2mn－3mn－2mn＝5mn. 26．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）； （2）由题意知BP＝tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝； （3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $