专题3.1 勾股定理的探究（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题3.1 勾股定理的探究 教学目标 1.通过方格纸作图与面积计算探究勾股定理的发现过程，培优学生的实践操作能力；‌ 2.理解勾股定理的代数意义和几何意义，掌握勾股定理及相关运用； 3.掌握常见勾股定理的证明方法； 4.通过学习赵爽弦图、毕达哥拉斯等证明方法，培养逻辑推理能力，感受数学文化价值。 教学重难点 1.重点 （1）勾股定理的基本运用（如计算边的长度、探究边的关系、解决生活实际问题）； （2）勾股定理的几何推导（如正方形拼接法、动态几何验证法等）。‌ 2.难点 （1）从特殊到一般的归纳思维，以及数形结合的直观想象能力； （2）定理的代数证明（如弦图法、毕达哥拉斯法的等）。‌ ‌‌ 知识点01 勾股定理的发现 1.勾股定理： 文字语言：如图，直角三角形两直角边的 等于斜边的 。 符号语言：如图，在中，，则： 。 注意：勾股定理的使用条件：必须是 ，其他三角形不能使用！且要确定好哪条边是 。 2.勾股定理的运用： ①已知直角三角形的任意两边长，求 ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的 ； ③在网格中绘制长度为无理数的 ； ④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题等； ⑤解决空间几何中的长度问题，解决简单的最值问题。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·广东随堂练习）在中，，，则的长是（　　） A．17 B．或13 C．17或 D．13或17 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 4．（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 知识点02 勾股定理的证明 1.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是 拼图 法。 图1：赵爽弦图证法；图2：毕达哥拉斯证法；图3：总统证法；图4：其他面积证法； 图1 图2 图3 图4 2.用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 ； ②根据同一种图形的面积 不同的表示方法，列出等式，推导出 。 【即学即练】 1．（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 3．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型01 以直角三角形三边为长的图形面积 【典例1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，则等于（   ） A．24 B．12 C． D．6 【变式2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，分别以，为边在外侧作正方形和正方形，其面积分别为4和5，再以为直角边在外侧作，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（   ） A．3 B． C． D． 题型02 勾股树相关问题 【典例1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 题型03 勾股定理的基本运用 【典例1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）已知：在中，，，，于D．(1)求的长；(2)求的长；(3)求的长． 【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E．若，，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端距离地面（即），将其展开至点距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端离地面的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 题型04 勾股定理中的分类讨论思想 【典例1】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）中，，，高，则 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古·期末）一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（　　） A．2 B．4 C．4或 D．2或 【变式2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，为边上的三等分点，点在直线上，且，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值． 题型05 勾股定理中的方程思想 【典例1】（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·随堂练习）如图，等腰三角形的底边，腰上的高，则的面积是 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式3】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长． 【变式4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）    【结论运用】（2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长．②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】（3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    题型06 勾股定理的证明方法 【典例1】（24-25八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________，______________________． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． ∵ 又∵， ∴，∴， ∴，∴，∴． 【变式1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【变式2】（25-26八年级上·成都·课后作业）如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：；(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【变式4】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 题型07 以弦图为背景的相关计算问题 【典例1】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】（2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】（3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是 ． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【变式3】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：；②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 题型08 勾股定理与无理数（数轴） 【典例1】（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【变式1】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上点，点分别表示1和3，，且，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点为，则点表示的数是 ． 题型09 用勾股定理构造图形解决问题（几何法解代数问题） 【典例1】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值． 【变式1】（24-25八年级下·山西大同·期中）我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【变式2】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的．(1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______；②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【变式4】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】（1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】（3）已知正数x满足，求x的值． 题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 【典例1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：；②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究（2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决（3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图1，在中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图2，当，且点D在线段上时，线段与的数量关系为 ； (2)如图3，当，且点D在线段上时， ①求证：；②猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【变式4】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接．(1)求的度数；(2)求证：(3)若，请直接写出的值． 题型11 利用勾股定理证明线段的数量关系（含根号） 【典例1】（24-25八年级下·广东·期末）如图1，在四边形中，，且，（1）请写出的数量关系并证明；（2）证明：平分； 【变式1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）（1）初步感知：如图1，在四边形中，，，平分，若，则的长是________． （2）渐悟明理：如图2，在四边形中，，，平分，试猜想，，三条线段之间的关系，并说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在等腰直角三角形中，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． [尝试发现]（1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为____________； [类比探究]（2）当点在线段的延长线上时，先在图（2）中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； [联系拓广]（3）若，请直接写出的值为____________ 【变式3】（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，过点B作交的延长线于点D，射线交直线AC于点E，连接． (1)若点P不与端点B，C重合，求证：；(2)求证：； (3)若点P在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系并说明理由． 1．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为，．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上，顶点在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点，当时，，两点分别落在直尺上的cm，cm处，则直尺的宽度为（   ）． A． B． C． D． 3．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 4.（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 5.（24-25山西吕梁·八年级统考阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，分别以三边为边向外作正方形，连接，若，则正方形的面积为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 8．（25-26八年级上·湖北·单元测试）晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 9．（24-25八年级下·重庆江北·期末）如图，中，，平分交于点，，，则长为 ． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为 ． 11．（25-26八年级上·重庆·单元测试）等腰三角形底边长为10，腰长为13，则面积为 ． 12．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 13．（25-26八年级上·全国·周测）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 14．（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 15．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，李丽参加一期小出探宝节目，她先从点P处登陆小岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离是 千米． 16．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）图甲是任意一个直角三角形，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c．如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形全等的三角形，放在边长为的正方形内．(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以______为边长的正方形，②是以______为边长的正方形，③是以______为边长的正方形；(2)图乙中①的面积为______，②的面积为______，图丙中③的面积为______；(3)图乙中①②面积之和为______； (4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？ 17．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点．(1)请在网格中画出格点三角形，使，，；(2)求的面积． 18．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，，D是上一点，，求的长． 19．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）实践活动 活动背景 我校结合校园内丰富的树木资源，坚持立德树人育人理念，着力打造学校“树惠文化”品牌，以培养学生扎根、向上的品质，逐步形成初一深扎知识土壤，培育基础和品德的“树根文化”，初二淬炼生命筋骨，注重承上启下、塑造责任与担当的“树干文化”，初三舒展理想苍穹，拼搏理想和勇争第一的“树冠文化”，八年级部分学生在学习勾股定理后，对“勾股树”产生了浓厚的兴趣，他们组建了兴趣小组并展开相关探究活动． 素材1 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（图中三角形均为直角三角形，四边形均为正方形）．因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树（勾股树）． 素材2 经过学生兴趣小组讨论，对图形作出改变，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2cm． 根据规则，三位同学分别画出了如下不同类型的树形图并进行探究． 解决问题 任务一 指导老师就图2，提出问题：你能找出“树根”面积（）、“树干”面积和（）的关系，请直接写出答案：_______． 任务二 图4中小明画出了锐角，则_______． 任务三 图5小金画出了直角，计算的值，写出过程． 任务四 图6小林画出了钝角，，则_______． 活动小结 综合以上三位同学的图形以及结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填锐角、直角或钝角）三角形形成的图形总面积最大． 20．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E，设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以； 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 21．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在数学活动课上，老师给出如下问题：在中，，，点和点位于直线异侧，且， 【问题初探】（1）当时，①如图1，点在的延长线上时，数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．易证是等边三角形，易证，将线段，，之间的数量关系转化为线段，，之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况， ②如图3，点不在的延长线上时，连接，请你直接写出线段，，之间的数量关系； 【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时，①发现点在的延长线上时，点与点重合（不需要证明）． ②如图4，点不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 22．（24-25八年级下·山东济南·期中）（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接，∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵∴______°∴______．即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．设L=，求L2的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 勾股定理的探究 教学目标 1.通过方格纸作图与面积计算探究勾股定理的发现过程，培优学生的实践操作能力；‌ 2.理解勾股定理的代数意义和几何意义，掌握勾股定理及相关运用； 3.掌握常见勾股定理的证明方法； 4.通过学习赵爽弦图、毕达哥拉斯等证明方法，培养逻辑推理能力，感受数学文化价值。 教学重难点 1.重点 （1）勾股定理的基本运用（如计算边的长度、探究边的关系、解决生活实际问题）； （2）勾股定理的几何推导（如正方形拼接法、动态几何验证法等）。‌ 2.难点 （1）从特殊到一般的归纳思维，以及数形结合的直观想象能力； （2）定理的代数证明（如弦图法、毕达哥拉斯法的等）。‌ ‌‌ 知识点01 勾股定理的发现 1.勾股定理： 文字语言：如图，直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 。 符号语言：如图，在中，，则： a2+b2=c2 。 注意：勾股定理的使用条件：必须是 直角三角形 ，其他三角形不能使用！且要确定好哪条边是 斜边 。 2.勾股定理的运用： ①已知直角三角形的任意两边长，求 第三边 ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的 数量关系 ； ③在网格中绘制长度为无理数的 线段 ； ④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题等； ⑤解决空间几何中的长度问题，解决简单的最值问题。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·广东随堂练习）在中，，，则的长是（　　） A．17 B．或13 C．17或 D．13或17 【答案】C 【详解】解：在中，，，若，则， 若，则； 综上，的长是17或．故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】解：连接，∵，，，∴， ∵是的垂直平分线，∴，∴．故选：B 3．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光，作于，    则，在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光．故选：B． 4．（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 【答案】B 【详解】解：在中，，由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ，故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则， 图1中， ，∵，∴，故图1符合题意； 图2中，，，， ∵，∴，故图2符合题意； 图3中，作于点G，则，， ∴，∴，同理：，， ∵，∴，故图3符合题意； 图4中，由图2中推导过程可得：，故图4符合题意 综上，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为4个，故选：D． 6．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 【答案】/49平方厘米 【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得， 由正方形的面积计算公式可得， ∴，同理可得，， ∴，故答案为：． 知识点02 勾股定理的证明 1.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是 拼图 法。 图1：赵爽弦图证法；图2：毕达哥拉斯证法；图3：总统证法；图4：其他面积证法； 图1 图2 图3 图4 2.用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过 割补 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 不会改变 ； ②根据同一种图形的面积 两种 不同的表示方法，列出等式，推导出 勾股定理 。 【即学即练】 1．（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ∴，∴原选项不能证明勾股定理，符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；故选：． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵，∴，∴． 根据“总统证法”进行证明：∵， ∴，∴，∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵，∴在中，， 在中，， ∴，解得，∴千米， ∴（千米）．答：新修路的长为0.8千米． 3．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由题知，因为大正方形的面积为49，所以大正方形的边长为7， 则由勾股定理得，．故①正确． 因为小正方形的面积为4，所以小正方形的边长为2，则．故③正确． 大正方形面积为49，小正方形面积为4，∴每个直角三角形面积为， ，∴，所以（舍负）．故②错误．故选：C． 题型01 以直角三角形三边为长的图形面积 【典例1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：． 【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1 ，即；故答案为：； 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2， ；即 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得：； 又，，∴． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，则等于（   ） A．24 B．12 C． D．6 【答案】D 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，∴， ∵，∴，即故选：D 【变式2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，分别以，为边在外侧作正方形和正方形，其面积分别为4和5，再以为直角边在外侧作，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正方形面积为， 正方形面积为， ∴ ， ．∴在中，，∴（边长为正，舍去负根）． ∵在中，，，∴ ． ∵，即，∴（边长为正，舍去负根）． ∴ ．故选： ． 【变式3】（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，，∴， 由勾股定理得，，以的三条边为直径作半圆， ∴阴影部分的面积之和为 ．故选：D． 题型02 勾股树相关问题 【典例1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 【答案】C 【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， ∴正方形A的面积为，正方形B的面积为． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：．∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4； ∴图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积，∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4．∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． ∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加． 同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； 4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加；…… ∴每增加一次操作，面积就增加4，∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为 当时，图中所有正方形的面积和为．故选C． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c，∴， ∵正方形的边长为1，∴，由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，∴此时，所有正方形的面积和为：， 由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：，…… ∴在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是：．故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形，∴，，∴． 观察，发现规律：，，，，∴． 当时，，故选：C． 【变式3】（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形，故答案为：31． 题型03 勾股定理的基本运用 【典例1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）已知：在中，，，，于D．(1)求的长；(2)求的长；(3)求的长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，，，∴； （2）解：∵，∴，； （3）解：∵，∴； 【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【详解】解：∵在中，斜边，∴， ∴，故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：∵中，，，，∴， ∵，平分交于点E．∴．故答案为：10． 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端距离地面（即），将其展开至点距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端离地面的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示：，，， 在中，，，，则由勾股定理可得， ，故选：C． 【变式4】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 【答案】9 【详解】解：，， ∴．故答案为：9． 题型04 勾股定理中的分类讨论思想 【典例1】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）中，，，高，则 【答案】14或4 【详解】解：∵是的高，∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即解得（负值舍去）． 分两种情况讨论：①当在内部时， ②当在外部时，．故答案为：或． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（　　） A．2 B．4 C．4或 D．2或 【答案】D 【详解】解：一个直角三角形的两边长分别是1和， 第三边为斜边时，边长为：， 第三边为直角边时，边长为：，故第三边长为2或，故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，为边上的三等分点，点在直线上，且，则 ． 【答案】2或1 【详解】如图1，当为上靠近点的三等分点时，，， ，，，． ，， ，，， 又，，，． 如图2，当为上靠近点的三等分点时，，， 过点作于点，过点作于点． ，，，， 由勾股定理得，，又，， ，，，， 设，则，，解得，，， ，，，．故答案为：2或1． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1)(2)或(3)或或 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，∴． （2）解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，，即，解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． （3）解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 题型05 勾股定理中的方程思想 【典例1】（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形， ，，， ，，在中，， ，解得，=，故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·随堂练习）如图，等腰三角形的底边，腰上的高，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：，腰上的高，∴， 是等腰三角形的底边，，设，则， 在中，，即，解得，∴， ∴的面积是．故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【详解】解：在中，，，，∴， 设，则，由折叠得，，∴， 在中，，∴，解得，，∴，故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长． 【答案】． 【详解】解：连接，∵D为的中点，，∴垂直平分，∴， ∵，，，∴， 设，则，在中，， 即，解得：，即． 【变式4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）    【结论运用】（2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长．②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】（3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，；（2）①5；②10；（3）84 【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为； ②∵小正方形的边长为，∴小正方形的面积为； ∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为，∴， ∴，∴； （2）①由（1）可得， ∵，∴，∴或（舍去）； ②∵的长比的长大2，∴， 又∵，，∴，∴； （3）如图所示，过点A作于D，设，则， 在中，，在中，， ∴，∴，解得， ∴，∴，∴．    题型06 勾股定理的证明方法 【典例1】（24-25八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则． ∵; 又∵， ∴，∴； （2）证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴，∴， ∴，∴，∴． 【变式1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【详解】解：甲同学的方案：由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ，整理得，因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案：大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ，，， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理；故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·成都·课后作业）如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由勾股定理可得，由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 【变式3】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：；(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴∴． （2）解：大正方形面积为13，，，， 又小正方形面积为3，，，， ． 【变式4】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为，，即； （2）设千米，千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米，（千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 题型07 以弦图为背景的相关计算问题 【典例1】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】（2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】（3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为；（4）当时， 的面积为定值． 【详解】解：（1）大正方形的面积为：或，则这个等式是； （2）大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为．，同时也有 所以，整理得； （3）∵在中，，，∴，， ∴，∴，∴的面积； （4）∵，，周长为n，∴， 在中，，∴， ∴， ∵长方形的面积为定值，∴与x、y无关， ∴，∴，∴当时， 的面积为定值． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是 ． 【答案】1 【详解】解：由题意知，在正方形中，，，和是四个全等的直角三角形， ∴，，，∴， ∴正方形的边长为：，正方形的面积．故答案为：1． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：根据题意，由勾股定理得，，， ∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意； 由得，，整理得，∴， ∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）； 由③得，；∴， ∴，∴选项①错误，不符合题意；故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，设， 由题意得，，， ，，，，，故选： 【变式4】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：；②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6(2)①证明见解析；②37 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴，∴，∴每个朱实的面积，故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②解：∵，∴， ∴阴影部分图形的面积，故答案为：37． 题型08 勾股定理与无理数（数轴） 【典例1】（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图， ∵，，∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b，∴，故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，∵，， 设点表示的数是，∴，∴，∴，故答案为； 【变式2】（24-25八年级下·上海·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，，∴， ∴，同理，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，， ∴，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上点，点分别表示1和3，，且，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点为，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意可知：，，， 点，点分别表示1和3，， 由勾股定理得：，， 设点表示的数为，，，或（不合题意舍去）， 点表示的数为，故答案为：． 题型09 用勾股定理构造图形解决问题（几何法解代数问题） 【典例1】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意得，，故答案为：、； （2）如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小，由题意得：，， 则，即的最小值为． 【变式1】（24-25八年级下·山西大同·期中）我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【答案】 【详解】解：如图，构造，点D，E，F都在格点上． 由勾股定理，得，，． 在中，，． 【变式2】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【答案】(1)①，；②5(2) 【详解】（1）解：①在中，， 在中，，故答案为：，； ②连接，由①得，而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1， ∵，，则四边形为长方形，∴，， 在中，， ∴的最小值为5，即的最小值是5；故答案为：5； （2）解：如图，设，，，，则， 在中，， 在中，；∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为长方形， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为， 即的最小值为．故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的．(1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______；②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【答案】(1)①，  ②(2)(3)①  ② 【详解】（1）解：①，，故答案为：，； ②连接，由①可得， ∵(当且仅当、、共线时取等号)，∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形，∴，， ∴，∴， ∴的最小值是，故答案为：； （2）解：根据（1）可得，作，，，，，点是线段上的动点，连接，，设，．∴，， ∴，连接， ∵(当且仅当、、共线时取等号)，∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形，∴，， ∴，∴， ∴的最小值是，故答案为：； （3）①解：画出边长为的正方形，在边上截取出长为，，的线段，作图如下： 则，， ， 利用两点之间线段最短可知：(当且仅当、、、共线时取等号) ， ，的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，取，的中点为， 连接， ，， 如图，则，， ，， ∴以为边的三角形的面积， ， ∴以为边的三角形的面积为，故答案为： ． 【变式4】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】（1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】（3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【详解】（1），，， ∴的最小值是13，故答案为13； （2）如图，， ，，∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则，， ，，，，∴方程的解是． 题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 【典例1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：；②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【答案】(1)(2)①见详解；②，证明见详解 【详解】（1）解：延长到E，使得，再连接，∵是边上的中线，∴ 又∵，则， ， 在中，，∴，∴，则； （2）解：①延长到G，使得，连接、． ∵D是边上的中点，∴，又∵，则， ， ， ．在中，，． ②若，.证明如下： 若，则，由①知， ∴， ，即， ∴在中，， 又∵，． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：连接． 因为，所以，所以，， 因为，所以．因为M为中点，所以， 所以． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究（2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决（3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【详解】（1）解：，， ，，， ，，故答案为：； （2）证明：于点，在中，，在中，， 在中，，在中，， ，； （3）解：，，，， ， ，，， 点为的中点，，，米，骑行小道的长为米． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图1，在中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图2，当，且点D在线段上时，线段与的数量关系为 ； (2)如图3，当，且点D在线段上时， ①求证：；②猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)(2)①见解析；②，见解析 【详解】（1）证明：，理由如下：如图： 将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，，，即， 在与中，，，． （2）①将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，，，即， 在与中，，． ②证明：线段、、之间的数量关系为， 证明如下：如图：，，，由①可证， ，，，，． 【变式4】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接．(1)求的度数；(2)求证：(3)若，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：与都是等腰直角三角形， ，， ，． ．； （2）证明：，，即． ，在中，，，即； （3）解：设，则， ，即，解得．． 题型11 利用勾股定理证明线段的数量关系（含根号） 【典例1】（24-25八年级下·广东·期末）如图1，在四边形中，，且，（1）请写出的数量关系并证明；（2）证明：平分； 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；． 【详解】（1）解：； 证明：延长使，连接，则， ，，， ，，，， ，，， 在中，，， ，故答案为：； （2）证明：将绕点逆时针旋转 至， ，、、三点共线， ，，是等腰直角三角形， ，平分； 【变式1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）（1）初步感知：如图1，在四边形中，，，平分，若，则的长是________． （2）渐悟明理：如图2，在四边形中，，，平分，试猜想，，三条线段之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）（2），理由见解析； 【详解】解：（1）在四边形中，，，∴， ∵平分，∴，∵，且，∴， 在与中，，∴；故答案为：； （2），理由如下：过点D作交的延长线于点E， 过点D作交于点F，如图， ∵在四边形中，，，∴， ∵，，∴， 在四边形中，，，∴， ∵，即，，即，∴， ∵平分，，，∴， 在与中，，∴≌，∴， ∵，平分，∴， 在中，，∴，在中，， 即，可得，同理可得，在，， ∴，∵，， ∴，∵，∴； 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在等腰直角三角形中，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． [尝试发现]（1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为____________； [类比探究]（2）当点在线段的延长线上时，先在图（2）中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； [联系拓广]（3）若，请直接写出的值为____________ 【答案】（1）；（2）见详解，，见解析；（3）或 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ，，， 在和中，，， ，，， ，，故答案为：． （2）补全图形如图：，理由如下：过点作交于点， 由旋转得，， ，，， 在和中，，， ，，， ，． （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，，； 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得，， ，，综上，为或． 【变式3】（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，过点B作交的延长线于点D，射线交直线AC于点E，连接． (1)若点P不与端点B，C重合，求证：；(2)求证：； (3)若点P在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)或，理由见解析 【详解】（1）证明：，， ∴，，∴． （2）证明：如图，过点作，交于点，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∵，∴． （3）解：或，理由如下： ①如图，当时，过点作，交于点， ，∴，∵，∴，∴， 又，，∴， 由对顶角相等得：，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，又∵，∴． ②如图，当时，延长至点，使得，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，∴， 又∵，∴． ③当时，∵在中，，，∴，， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴点重合，这与过点作交的延长线于点相矛盾，舍去， 综上，或． 1．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为，．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，得，， ∴，∴． ∴大正方形的边长为．故选D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上，顶点在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点，当时，，两点分别落在直尺上的cm，cm处，则直尺的宽度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，，， 在中，， ，即直尺的宽为，故选：D． 3．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 【答案】B 【详解】解：由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为， 图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形， ，即图2中两个直角三角形的直角边是， 线段的长为7，，则①， 图1中空白部分面积为37， ，即②， 由①②得，图2中两个直角三角形的面积和为，故选：B． 4.（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：，，，，∴由勾股定理得， ∵将沿翻折，使得点C与点B重合．∴， 设，则，在中，由勾股定理得，， ∴，解得：，∵，∴，故选：B． 5.（24-25山西吕梁·八年级统考阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， 由此推出第五代勾股树中正方形有（个）故选：B． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点, ∵等腰，斜边，∴， ∵以等腰的边为直径画半圆， ∴ ，， ， ∴，∴所得两个月形图案和的面积之和为， ∵的面积，∴所得两个月形图案和的面积之和为，故选：． 7．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，分别以三边为边向外作正方形，连接，若，则正方形的面积为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【详解】解：设，，∵，∴，， ∴（负值舍去），∴，∴正方形的面积，故选：D． 8．（25-26八年级上·湖北·单元测试）晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 【答案】B 【详解】解：如图所示：过C点作于点，连接， 由题意可得：米，米，∴米， ∴米，秒． ∴这条鱼至少6.5秒后才能到达鱼饵处．故选：B． 9．（24-25八年级下·重庆江北·期末）如图，中，，平分交于点，，，则长为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点． 平分，，，． 在中，，，∴． ，，，，． 设，则，． 在中，根据勾股定理，即． 解得，即长为．故答案为：． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：在中，为斜边上的中线，，， ，，在中，，故答案为：． 11．（25-26八年级上·重庆·单元测试）等腰三角形底边长为10，腰长为13，则面积为 ． 【答案】60 【详解】解：过点A作于D， ∵，∴，由勾股定理得：， ∴，故答案为：60． 12．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 【答案】60 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则，， ，，，， 在和中，，，， 同理可证，，∵，∴， ，， 长方形的面积为，∴空白部分的面积为：，故答案为：． 13．（25-26八年级上·全国·周测）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，四个直角三角形全等，，， ，， 同理，可得，在中，应用勾股定理得到：．故答案为：． 14．（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得表示的数是， 右侧最近的整数点为，表示的数是2，∴， ∵以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，∴，即表示的数是， ∵记右侧最近的整数点为，∴表示的数是3，∴，故答案为：． 15．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，李丽参加一期小出探宝节目，她先从点P处登陆小岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离是 千米． 【答案】13 【详解】解：根据题意可知：（千米），（千米），， ∴根据勾股定理得：（千米）， 即登陆点P与藏宝点Q之间的距离是13千米．故答案为：13． 16．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）图甲是任意一个直角三角形，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c．如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形全等的三角形，放在边长为的正方形内． (1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以______为边长的正方形，②是以______为边长的正方形，③是以______为边长的正方形； (2)图乙中①的面积为______，②的面积为______，图丙中③的面积为______； (3)图乙中①②面积之和为______； (4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？ 【答案】(1)a，b，c(2)，，(3)(4)，理由见解析 【详解】（1）解：由图知，①是以为边长的正方形， ②是以为边长的正方形，③是以为边长的正方形；故答案为：a，b，； （2）解：由题知，图乙中①的面积为，②的面积为，图丙中③的面积为；故答案为：，，； （3）解：图乙中①②面积之和为；故答案为：； （4）解：，理由如下： 图乙、图丙是边长为的正方形，图乙、图丙面积相等， 图乙个直角三角形的面积图丙个直角三角形的面积， ，． 17．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． (1)请在网格中画出格点三角形，使，，；(2)求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）解：如图， 理由：由网格可得，，， ∴即为所求作；（位置不唯一） （2）解：． 18．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，，D是上一点，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，∴， 在中，，由勾股定理，得，即，∴， 在中，由勾股定理，得； 19．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）实践活动 活动背景 我校结合校园内丰富的树木资源，坚持立德树人育人理念，着力打造学校“树惠文化”品牌，以培养学生扎根、向上的品质，逐步形成初一深扎知识土壤，培育基础和品德的“树根文化”，初二淬炼生命筋骨，注重承上启下、塑造责任与担当的“树干文化”，初三舒展理想苍穹，拼搏理想和勇争第一的“树冠文化”，八年级部分学生在学习勾股定理后，对“勾股树”产生了浓厚的兴趣，他们组建了兴趣小组并展开相关探究活动． 素材1 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（图中三角形均为直角三角形，四边形均为正方形）．因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树（勾股树）． 素材2 经过学生兴趣小组讨论，对图形作出改变，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2cm． 根据规则，三位同学分别画出了如下不同类型的树形图并进行探究． 解决问题 任务一 指导老师就图2，提出问题：你能找出“树根”面积（）、“树干”面积和（）的关系，请直接写出答案：_______． 任务二 图4中小明画出了锐角，则_______． 任务三 图5小金画出了直角，计算的值，写出过程． 任务四 图6小林画出了钝角，，则_______． 活动小结 综合以上三位同学的图形以及结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填锐角、直角或钝角）三角形形成的图形总面积最大． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：，过程见解析；任务四：；结论：钝角 【详解】解：任务一：如图， ∵是直角三角形，，∴， 又，，，∴，故答案为：； 任务二：由题意，，，，， ，故答案为：； 任务三：由题意可知，①， ，，，即，②， 联立①②得：，则． 任务四：如图，过点作，交延长线于点， ∵，∴， 设，则，，， ，在中，，即，解得， ，则，故答案为：． 结论：组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．证明如下： 在任务一中，，在任务二中，， 在任务三中，，， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．故答案为：钝角． 20．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E，设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以； 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 【答案】(1)见解析(2)结论还能成立，见解析 【详解】（1）证明：过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ，即． （2）解：结论仍成立，证明如下：过O点作垂直与分别交于点， 设，在直角三角形中，， 在直角三角形中，，所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以，所以． 21．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在数学活动课上，老师给出如下问题：在中，，，点和点位于直线异侧，且， 【问题初探】（1）当时，①如图1，点在的延长线上时，数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．易证是等边三角形，易证，将线段，，之间的数量关系转化为线段，，之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况， ②如图3，点不在的延长线上时，连接，请你直接写出线段，，之间的数量关系； 【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时，①发现点在的延长线上时，点与点重合（不需要证明）． ②如图4，点不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 【答案】（1）②，证明见解析；（2）②不成立，；（3）的长为或 【详解】（1）② 证明：如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，，∴是等边三角形∴， ∵，∴是等边三角形∴ ∴即∴∴， ∵，∴ ∵∴在中，∴ （2）② 中的结论不成立， 如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，，∴是等腰直角三角形∴， ∵，∴是等腰直角三角形∴ ∴即∴∴， ∵，∴ ∵∴ 在中，∴． （3）如图3，过点C作，交的延长线于点E， ∵，，∴是等边三角形∴， ∵∴∵在中，， ∴， 在中，∴∴ 由（1）②得，∴ 如图4，过点C作，垂足为点F， ∵，，∴是等边三角形∴， ∵∴ ∵在中，，∴， 在中，∴∴ 由（1）②得，∴ 答：的长为或． 22．（24-25八年级下·山东济南·期中）（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接，∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵∴______°∴______．即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．设L=，求L2的最小值． 【答案】（1）；等边；90 ；；（2），（或），见解析；（3）最小值为164 【详解】解：（1）  等边  90   （2），（或） 证明如下：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可得：，，， ∴为等腰直角三角形，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴． （3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、． ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴当点、、、四点共线时，最小 ∵，∴， 在中， 即L2的最小值为164． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$