精品解析：广东省汕头市潮南区陈店公办学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期 九年级数学科练习题（三） （内容：23.1~23.3） 一、选择题 1. 有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移和旋转的定义对各运动进行分析，即可找出其中的旋转运动． 【详解】解：③④⑤⑥属于旋转，共有4个． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键． 2. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 3. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 4. 从6点15分到6点30分，分针旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角的运算，理解题意是解决本题的关键． 根据一小时等于60分钟和一小时分针转进行求解即可． 【详解】解：∵一小时等于60分钟， ∴15分钟为小时， ∵一小时分针转， ∴小时转， 故选D． 5. 如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，推出四边形是正方形，于是得到结论． 【详解】解：∵将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段， ， ∴四边形是矩形， ， ∵不清楚旋转角度，故不能证明， 时，， ∴四边形是正方形， 故A，B，Ｄ正确， 故选：C． 6. 已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的概念结合坐标系的特点，利用全等三角形的知识，即可解答． 【详解】解：设点A（a，b）坐标平面内一点，逆时针方向旋转90°后A1应与A分别位于y轴的两侧，在x轴的同侧，横坐标符号相反，纵坐标符号相同．如图，作AM⊥x轴于M，A′N⊥x轴于N点， 在直角△OAM和直角△A1ON中，OA＝OA1，∠AOM＝∠OA1N，∠AMO＝∠ONA1＝90°， ∴△OAM≌△A1ON ∴A1N＝OM＝a，ON＝AM＝b ∵点A1在第二象限 ∴A1的坐标为（﹣b，a） 故选：C． 【点睛】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　） A. ﹣4 B. 4 C. 12 D. ﹣12 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案． 【详解】解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b）， ， 解得： 故选D 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数． 9. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出． 【详解】解：设与交于点E，连接． 在与中，， ， ∴（）， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度． 10. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N， 设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 二、填空题 11. 如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，则△ABB′是________三角形． 【答案】等边 【解析】 【详解】本题考查几何图形的旋转和正三角形的判断 点为旋转中心，按逆时针方向旋转，则；在因为是由点为中心旋转得来，则；所以在中，，即是有一个内角为的等腰三角形，故其必为正三角形 12. 若点P（m+1，8﹣2m）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是_____． 【答案】﹣1＜m＜4 【解析】 【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点判断出A点在第一象限，再根据第一象限内的点的坐标符号可得m+1＞0，8﹣2m＞0再解不等式即可． 【详解】点A（m+1，8﹣2m）关于原点对称的点在第三象限内， ∴点A在第一象限内， ∴m+1＞0，8﹣2m＞0， 解得﹣1＜m＜4， 故案为：﹣1＜m＜4. 【点睛】本题考查的是关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称点的坐标的性质是解题的关键. 13. 以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为______°． 【答案】 【解析】 【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用． 14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可以得出∠BAC=60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知∠C′AE=45°，可以求出AC=AC′=EC′=3，据此即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6， 则∠BAC=60°，AC=3，BC=3， 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后， 则∠C′AC=15°，AC= AC′=3，B′C′=BC=3， ∴∠C′AE=45°， 而∠AC′E=90°，故△AC′E是等腰直角三角形， ∴AC=AC′=EC′=3 ∴B′E= B′C′- EC′=33． 故答案为：33． 【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 15. 已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵等腰，，． ∴， ∴，, ∴， 如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点， ∵， ∴，， 在中，，， ∵等腰，，． ∴， ∵以点为旋转中心逆时针旋转， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴， 如图所示，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（一） 16. 如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． （1）直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角； （2）若正方形的边长是1，直接写出的长． 【答案】（1）旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的知识作答即可； （2）根据，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为； 【小问2详解】 解：∵正方形的边长是1， ∴，， ∴， ∴的长为． 17. 已知，如图，AC是菱形ABCD的对角线．用尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和旋转的基本概念．熟练掌握菱形的性质和旋转的基本概念是解题的关键． 以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点，连接、，就是所求的图形． 【详解】解：如图，就是将绕点A逆时针旋转得到的图形． 18. 如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α. 作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE. 求证：BE⊥CE. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】由线段BD绕点B顺时针旋转角α得到线段BE， 可得= α 然后证明△ABD与△CBE全等， 可得 所以 【详解】证明：∵线段BD绕点B顺时针旋转角α得到线段BE， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在△ABD与△CBE中， ∴△ABD≌△CBE. ∴ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质及三角形全等的证明. 19. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】（1）如图1所示； （2）如图2所示． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得； （2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可． 【详解】（1）略 （2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5． 【点睛】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 20. 如图，将一个钝角（其中）绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连结． （1）直接写出旋转角的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由题意可知：， ，， 由（1）知，， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）即为旋转角，其中，所以，； （2）由题意知，，易证是等边三角形，得到，继而得出结论； 【小问1详解】 解：， ， 旋转角为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点将绕点顺时针旋转90后得到. （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求得直线l与两人坐标轴的交点，现旋转的性质可得，从而可得的坐标，用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）两直线解析式联立组成方程组，即可求得点C的坐标，由面积公式即可求得所求三角形的面积． 【详解】解：（1）由直线分别交轴、轴于点 可知； ∵绕点顺时针旋转而得到 ∴ 故 设直线的解析式为（为常数） ∴有解之得： ∴直线的解析式为 （2）由题意得： 解之得： ∴ 又 ∴ 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，求两直线交点坐标等知识． 五、解答题（三） 22. 两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点． （1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______； （2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； （3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？写出结论，证明． 【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．证明见解析. 【解析】 【分析】（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，即可推出答案； （2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案； （3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案． 【详解】（1）∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°， ∴BE=AD， ∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点， ∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE， ∴FH=FG， ∵AD⊥BE， ∴FH⊥FG， 故答案为：相等，垂直． （2）答：成立， 证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC， ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE， 由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE， ∴FH=FG，FH⊥FG， ∴（1）中的猜想还成立． （3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG． 连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X， 同（1）可证 ∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE， ∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形， ∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE，∠EBC=∠DAC， ∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB， ∴∠DXB+∠EBC=90°， ∴∠EZA=180°﹣90°=90°， 即AD⊥BE， ∵FH∥AD，FG∥BE， ∴FH⊥FG， 即FH=FG，FH⊥FG， 结论是FH=FG，FH⊥FG. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，旋转的性质，能熟练地运用这些性质进行推理是解题的关键． 23. 如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：由题意，可知，，． ． 即． ． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解； （3）证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． 【小问3详解】 由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期 九年级数学科练习题（三） （内容：23.1~23.3） 一、选择题 1. 有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 4. 从6点15分到6点30分，分针旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 6. 已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　） A. ﹣4 B. 4 C. 12 D. ﹣12 9. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，则△ABB′是________三角形． 12. 若点P（m+1，8﹣2m）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是_____． 13. 以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为______°． 14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E=________． 15. 已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为_______． 三、解答题（一） 16. 如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． （1）直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角； （2）若正方形的边长是1，直接写出的长． 17. 已知，如图，AC是菱形ABCD的对角线．用尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α. 作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE. 求证：BE⊥CE. 19. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 20. 如图，将一个钝角（其中）绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连结． （1）直接写出旋转角的度数； （2）求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点将绕点顺时针旋转90后得到. （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点，求的面积. 五、解答题（三） 22. 两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点． （1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______； （2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； （3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？写出结论，证明． 23. 如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $