精品解析：山东省潍坊市潍城区潍坊市潍城区于河第二中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度初中数学10月月考卷 考试时间：60分钟 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 如图，在中， ，若，则的值为( ) A. B. C. D. 2. 某水坝的坡比为，坡长为20米，则该水坝的高度为（ ） A. 40米 B. 米 C. 20米 D. 10米 3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　） A. 3.1 B. 4.2 C. 5.3 D. 6.4 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则sin∠OBC为（　 ） A. B. C. D. 2 7. 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ） A. B. 3 C. D. 2 9. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ） A. 米 B. 25米 C. 米 D. 50米 10. 如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 在中，，是锐角，若，则的大小是_______． 12. 有6个大小相同的小正方形，恰好按如图所示的方式放置在中，则的值等于_____． 13. 如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里． 14. 如图，是的直径，A，B，C是上的三点，，点B是弧的中点，点P是上一动点，若的半径为2，则的最小值为________． 三、解答题 15. 如下图，在中，于点D，．求的值． 16. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 17. 如图，是的直径，过圆上一点作于点，点是弧的中点，连接交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 18. 如下图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500m后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300m，求桥头到公路的距离（结果保留根号）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中数学10月月考卷 考试时间：60分钟 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 如图，在中， ，若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 2. 某水坝的坡比为，坡长为20米，则该水坝的高度为（ ） A. 40米 B. 米 C. 20米 D. 10米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．依据题意画出示意图，由题意得坡比为，即，，，设，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：依据题意画出示意图： 由题意得坡比为，即，，， 设，则， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， 即该水坝的高度为10米， 故选：D． 3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 4. 如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　） A. 3.1 B. 4.2 C. 5.3 D. 6.4 【答案】B 【解析】 【分析】取AB的中点O，分别连接OC、OB，由垂径定理及勾股定理可求得OC的长，根据垂线段小于斜线段，则OP的值介于OC与OB之间，由此可求得结果． 【详解】如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且 在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得： 点P线段BC上，则，即 由对称性，当点P在线段AC上时， ∴当点P在弦AB上时， ∵ ∴选项B符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段小于斜线段等知识，垂线段小于斜线段是问题的关键． 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 6. 如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则sin∠OBC为（　 ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】分析：作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据余弦函数的定义求出sin∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可． 详解： 如图所示：作直径CD， 在Rt△OCD中，CD=6，OC=2， ∴sin∠CDO=, 又∵∠OBC=∠CDO（圆周角定理）， ∴sin∠OBC＝sin∠CDO. 故选A. 点睛：考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7. 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得： 米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8. 如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴ 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 在中, ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键． 9. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ） A. 米 B. 25米 C. 米 D. 50米 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 10. 如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 在中，，是锐角，若，则的大小是_______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了非负数的意义、三角形内角和定理及由特殊三角函数值求角度，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．本题根据非负数的意义求出、，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 有6个大小相同的小正方形，恰好按如图所示的方式放置在中，则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是补全图形，熟练掌握平行线的性质和正切的定义． 先将图形补全，依题意可得，，，进而得到，即可求出答案． 【详解】解：如图， 依题意得：，，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里． 【答案】20 【解析】 【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】如图，过点A作AC⊥BD， 依题意可得∠ABC=45° ∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里) ∴AC=BC=ABsin45°=10(海里) 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30° ∴AD=2AC=20 (海里) 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 14. 如图，是的直径，A，B，C是上的三点，，点B是弧的中点，点P是上一动点，若的半径为2，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作关于的对称点，连接，则，，，由轴对称的性质可知，，，则，，可知当三点共线时，值最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ． ∵， ∴， ∴， ∵点B是弧的中点， ∴， 由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 三、解答题 15. 如下图，在中，于点D，．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数值和三角形的内角和定理，解题的关键是构造直角三角三角形. 根据三角形的内角和定理求出，得出，求出即可． 【详解】解：， ， ． ， ． 16. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接，并设圆的半径为r；由垂径定理推论得，；在中，利用勾股定理建立方程即可求得半径． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为r； ∵D是中弦的中点， ∴，； ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：； 答：的半径为． 17. 如图，是的直径，过圆上一点作于点，点是弧的中点，连接交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由圆周角定理得，进而根据余角性质可得，再根据圆周角定理可得，即得，即可求证； （）由余角性质可得，即可得，再利用勾股定理可得，，得到，最后根据勾股定理即可求解； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴可设，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 18. 如下图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500m后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300m，求桥头到公路的距离（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 延长交直线于，设米，根据题意得，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交直线于点，则．设． 在中，， ， 在Rt中， ， 又， 解得， 故桥头到公路的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $